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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 16}
\lfoot{\small 06302}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 16 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{9cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.} &Calculer $15\,\%$ de $600$.&\\ \hline
\textbf{2.} &Une grandeur voit sa valeur subir une hausse de 20\,\%
suivie d'une baisse de 20\,\%.

Quelle a été l'évolution globale de cette grandeur en pourcentage ?&\\ \hline
\textbf{3.} &Comparer les fractions en utilisant le symbole $<$ ou $>$.&\\ \hline
\textbf{4.} &Écrire sous la forme d'une seule puissance de 3 :
\vspace{-0.3cm}\[\dfrac{3^5 \times 3^{-7}}{3^4}.\]\vspace{-0.3cm}&\\ \hline
\textbf{5.} &Développer et réduire l'expression :
\vspace{-0.3cm}\[- 4(x + 2)^2 + 3.\]\vspace{-0.3cm}&\\ \hline
\textbf{6.} &La fonction $f$ est définie sur $\R$ par
\vspace{-0.3cm}\[f(x) = - 3x^2 + 5x - 2.\]\vspace{-0.3cm}

On note $f'$ la dérivée de $f$. Déterminer $f'(x)$.&\\ \hline
\end{tabularx}

%\newpage

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
On considère la fonction $f$ définie sur $[- 2~;~8]$ dont la représentation graphique est donnée ci-dessous. La droite $D$ est la représentation graphique d'une fonction affine $g$ définie sur $\R$.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-2.5,-2.5)(8.5,5.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2.5,-2.5)(8.5,5.5)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=red](-2,3)(0,5)(1,4)(2,1)(3,0)(4,-1)(5,-2)(6,-1)(7,0)(8,2)
\psplot[linewidth=1.25pt]{-2.2}{8.2}{2 0.5 x mul sub}
\uput[ul](8,2){\red $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}
Répondre avec la précision permise par le graphique.\\ \hline
\end{tabularx}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{9cm}|X|}\cline{2-3}
\textbf{7.} &Résoudre sur l'intervalle $[-2~;~8]$ l'inéquation $f(x) > 0$.&\\ \hline
\textbf{8.} &Donner les solutions sur l'intervalle $[- 2~;~8]$ de l'équation $f(x) = g(x)$.&\\ \hline
\textbf{9.} &Donner l'équation réduite de la droite $D$.&\\ \hline
\textbf{10.} &Dresser ci-contre le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2~;~8]$.&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\textbf{Partie II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}
\medskip

Une entreprise qui vend des fruits et des légumes mène une enquête auprès de sa clientèle
concernant son service de commande par internet.

Elle obtient les résultats suivants :

$\bullet$ \parbox[t]{14cm}{18 \% de ses clients sont âgés de moins de 30 ans.

Parmi eux, 85 \% ont déjà utilisé le service de commande par internet.}
\vskip1.5mm
$\bullet$ \parbox[t]{14cm}{34 \% de ses clients ont entre 30 et 59 ans.

Parmi eux, 70 \% ont déjà utilisé le service de commande par internet.}
\vskip1.5mm

$\bullet$ \parbox[t]{14cm}{Parmi ses clients âgés de plus de 60 ans, 40 \% ont déjà utilisé le service de
commande par internet.}

\medskip

On interroge au hasard un des clients. On considère les événements suivants :

$\bullet$ $J$ :  \og le client interrogé est âgé de moins de 30 ans \fg ;

$\bullet$ $M$ : \og le client interrogé a entre 30 et 59 ans \fg ;

$\bullet$ $S$  : \og le client interrogé est âgé de 60 ans ou plus \fg ;

$\bullet$ $C$ : \og le client interrogé a déjà utilisé le service de commande par internet \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l’aide des résultats de l’enquête, compléter l’arbre pondéré fourni en annexe à
rendre avec la copie.
\item \begin{enumerate}
	\item Définir par une phrase l’événement $S\cap\overline{C}$.
	\item Calculer la probabilité de l’événement $S\cap\overline{C}$, notée $P\left(S\cap\overline{C}\right)$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la probabilité que le client interrogé n’ait jamais utilisé le service de
commande par internet est égale à $0,417$.
\item Sachant que le client interrogé n’a jamais utilisé le service de commande par
internet, calculer la probabilité qu’il soit âgé de plus de 60 ans. Arrondir à $0,01$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points}
\medskip

En 2011, on comptait \np{2620} immatriculations de véhicules électriques en France.
Le nombre de véhicules électriques vendus annuellement en France a ensuite connu une
croissance exceptionnelle. Depuis 2011, les ventes annuelles de véhicules électriques
augmentent, chaque année, de 42\,\%.

On modélise le nombre de véhicules électriques vendus en France chaque année par une
suite $(v_n)$. Pour tout entier naturel $n$, $v_n$ représente donc le nombre de véhicules électriques
vendus en France l’année 2011 +$n$. Ainsi $v_0 = \np{2620}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item  Calculer $v_1$. Arrondir le résultat à l’unité et interpréter dans le contexte de
l’exercice.
	\item Quelle est la nature de la suite $\left(v_n\right)$ ? Justifier la réponse et préciser la raison de cette suite.
	\item  Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$. En déduire le nombre de
véhicules électriques vendus en France en 2021 si cette tendance se poursuit.
	\end{enumerate}
\item Calculer le nombre total de véhicules électriques vendus en France entre le
1\up{er} janvier 2011 et le 31 décembre 2019. Arrondir à l’unité.
\item On considère l’algorithme ci-contre écrit en langage Python :

\vskip-5mm \hskip105mm \begin{tabular}{|l|}\hline
def seuil() :\\
\hspace{0.5cm}$v = \np{2620}$\\
\hspace{0.5cm}$n = 0$\\
\hspace{0.5cm}while $v<s$ :\\
\hspace{0.8cm}$v = v*1,42$\\
\hspace{0.8cm}$n = n+1$\\
\hspace{0.5cm}return ($n$)\\ \hline
\end{tabular}


L’appel de cette fonction \og seuil \fg{} avec l’argument $S = \np{100000}$ vaut 11.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise fabrique un produit pour désinfecter des surfaces. Sa capacité de fabrication
est limitée à $30$~m$^3$ par jour.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le coût de fabrication journalier de ce produit, exprimé en euros, est modélisé par la
fonction $C$ définie sur l’intervalle $[0~;~30]$ par $C(x) = 2x^2 + 10x + 800$, où $x$ désigne
le volume de produit fabriqué, exprimé en m$^3$.
	\begin{enumerate}
	\item Quel est le coût de fabrication de $25$m$^3$ de ce produit ?
	\item Vérifier que le coût moyen de fabrication d’un mètre cube de ce produit,
lorsque $25$~m$^3$ sont fabriqués, est de $92$~\euro.
	\end{enumerate}
	
\medskip

Dans la suite de l’exercice, on admet que le coût moyen de fabrication d’un volume de $x$ $m^3$
de ce produit est défini sur l’intervalle $[1~;~30]$ par :
\[C_M(x) = 2x+10 + \dfrac{800}{x}.\]

\item On désigne par $C_M'$ la fonction dérivée de la fonction $C_M$.

Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[1~;~30]$, on a :
\[C_M'(x)=\dfrac{2(x - 20)(x + 20)}{x^2}.\]
\item En déduire le signe de $C_M'(x)$ sur l’intervalle $[1~;~30]$ puis dresser le tableau de
variations de la fonction $C_M$ sur l’intervalle $[1~;~30]$.
\item Quelle est la quantité, en m$^3$, de produit à fabriquer par jour pour que le coût moyen
soit minimal ? Quel est ce coût moyen ?
\end{enumerate}
\newpage 

\begin{center}\textbf{\Large Annexe – Exercice 1
\hfill À rendre avec la copie}
\end{center}

\bigskip

\begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=2.5cm,treesep=1cm]{\TR{}}
{
\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$J$}\naput{$\ldots\ldots$}}
	{
	\TR{$C$}\naput{$\ldots\ldots$}
	\TR{$\overline{C}$}\nbput{$\ldots\ldots$}	   
	}
\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$M$}\naput{$\ldots\ldots$}}
	{
	\TR{$C$}\naput{$\ldots\ldots$}
	\TR{$\overline{C}$}\nbput{$\ldots\ldots$} 
	}
\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$S$}\nbput{$\ldots\ldots$}}
	{
	\TR{$C$}\naput{$\ldots\ldots$}
	\TR{$\overline{C}$}\nbput{$\ldots\ldots$} 
	}
}

\end{center}
\end{document}