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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\small }
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 18}
\lfoot{\small 06304}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 18 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{9cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.} &Résoudre dans $\R$ l'inéquation suivante:
\[5x- 1 \geqslant 8x + 11\]&\\ \hline
\textbf{2.} &Quel est le taux d'évolution du prix d'un
article qui passe de $120$~\euro{} à $156$~\euro{} ?&\\ \hline
\textbf{3.} &Dans le repère orthonormé ci-dessous, on a
tracé la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $[- 1~;~5]$.

Résoudre graphiquement l'inéquation
\[f(x) \geqslant - 3.\]

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1.5,-8.5)(5.5,1.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1.5,-8.5)(5.5,1.5)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.5}{5.5}{1  x 2 sub dup  mul sub}
\uput[r](4,-8){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}&\\ \hline
\textbf{4.} &Calculer l'ordonnée du point d'abscisse 4 appartenant à la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par
\[(x) = 3(x - 5) (x + 2).\]& \\ \hline


\end{tabularx}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{7cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{5.} &Compléter le tableau de signes de l'expression factorisée:
\vspace{-0.3cm}\[(- 2x + 8)(5x -10).\]\vspace{-0.3cm}
&\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(7.25,2.5)
\psframe(7.25,2.5)\psline(0,1)(7.25,1)\psline(0,1.5)(7.25,1.5)\psline(0,2)(7.25,2)
\psline(1.75,0)(1.75,2.5)
\uput[u](0.5,1.9){\small $x$}\uput[u](2.1,1.9){\small $- \infty$}\uput[u](6.5,1.9){\small $+ \infty$}
\uput[u](0.875,1.4){\small $- 2x + 8$}\uput[u](0.875,0.9){\small $5x - 10$}
\uput[u](0.875,0.4){\small Signe du}\uput[u](0.875,-0.1){\small produit}
\end{pspicture*}\\ \hline
\textbf{6.} &Résoudre dans $\R$ l'équation $x^2 = 10$.&\\ \hline
\textbf{7.} &Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
\[f(x) = 5x^3 - 8x^2 + 4x + 9.\]
Déterminer $f'(x)$.&\\ \hline
\textbf{8.} &Dans un repère orthonormé, on considère les points A$(-2~;~5)$ et B(2~;~3).

Déterminer l'équation réduite de la droite (AB).
&\\ \hline
\textbf{9.} &Dans le repère orthonormé ci-contre, tracer 
la droite passant par le point F $(-1~;~1)$ et de coefficient directeur égal à 3.
&\\ \hline
\textbf{10.} &\vspace{-4cm}Dans le repère orthonormé ci-dessous, on a tracé la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $\R$ et sa tangente $(T)$ au point A de coordonnées (0~;~1).

Déterminer graphiquement le nombre dérivé $f'(0)$.&
\psset{unit=0.6cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-4.5,-4.5)(4.5,4.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4.5,-4.5)(4.5,4.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-4.5,-4.5)(4.5,4.5)
\end{pspicture*}\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\textbf{\large Partie II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}
\medskip

Une entreprise a produit 20 tonnes de déchets en 2020. Chaque année, l’entreprise veut
diminuer de 5\,\% la masse de déchets qu’elle produit par rapport à l’année précédente.
On modélise la masse de déchets produits par une suite $\left(u_n\right)$. Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente donc la masse de déchets produits, exprimées en tonnes, à la fin de l’année
$2020 + n$. Ainsi $u_0 = 20$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Justifier que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique et préciser sa raison.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Quelle sera la masse de déchets produite par l’entreprise en 2028 ? On donnera la
valeur au kilogramme près.
\item L’entreprise souhaite connaître le nombre d’années nécessaires pour que la masse de
déchets produits devienne inférieure à $15$~tonnes.

\medskip

Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’à la fin de son exécution la
variable $n$ contienne le nombre d’années nécessaires pour atteindre ce seuil.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$u = 0$\\
$n = 0$\\
while $\cdots\cdots$ :\\
\hspace{0.5cm}$u = 0.95*u$\\
\hspace{0.5cm}$n = n + 1$\\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}
Déterminer le nombre d’années nécessaires pour atteindre ce seuil.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points}

\medskip

Pour son traitement, on injecte à un malade une dose de $4$~mg d’un médicament par voie
intraveineuse.
La quantité de ce médicament, exprimée en mg, présente dans le sang du patient est
modélisée par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0~;~ +\infty[$ par 
\[f(t) = 4\times 0,93^t\] où $t$
désigne le temps écoulé, exprimé en heures, depuis l’injection.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la quantité de médicament dans le sang du patient au bout de 5 heures et 30
minutes. Arrondir la valeur au centième.
\item On admet que la fonction $f$ a le même sens de variation que la fonction $g$ définie sur
$[0~;~+\infty[$ par $g(t) = 0,93^t$.

Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0~;~+\infty[$.

Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
\item On donne en annexe à rendre avec la copie, la courbe représentative de la fonction
$f$. Avec la précision permise par le graphique, déterminer le temps nécessaire pour
que la quantité de médicament dans le sang soit divisée par 2. On fera apparaître les
traits utiles à la lecture.
\item Le patient recevra une deuxième injection lorsque la quantité du médicament
présent dans son sang sera inférieure à $0,5$~mg.
	\begin{enumerate}
	\item Résoudre l’inéquation $4 \times  0,93^t < 0,5$.
	\item En déduire au bout de combien de temps le patient recevra la deuxième
injection. On donnera le résultat arrondi à 0,1 près, puis on le convertira en
heures et minutes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}

\medskip

Le tableau suivant donne la tension artérielle systolique moyenne $y_i$ d’une population de
femmes à différents âges $x_i$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4,8cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Âge $x_i$(en années)		&25	&35	&45		&55		&65\\\hline
Tension artérielle moyenne
 $y_i$ (en mm de mercure)	&111&118&122	&129	&136\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ dans le repère orthogonal
fourni en annexe à rendre avec la copie. 

Pourquoi un ajustement affine du nuage de points est-il envisageable ?
\item À l’aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$
obtenue par la méthode des moindres carrés sous la forme $y=ax+b$ en donnant
les valeurs exactes des coefficients $a$ et $b$.
\end{enumerate}

Dans toute la suite de l’exercice, on prendra comme modèle d’ajustement la droite $(d)$
d’équation $y = 0,6x + 96$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Tracer cette droite dans le repère en annexe. Indiquer sur la copie les coordonnées
des points utilisés pour tracer la droite $(d)$.
\item  Avec ce modèle d’ajustement, estimer la tension artérielle d’une femme de $50$~ans.
\item Avec ce modèle d’ajustement, déterminer, par le calcul, à partir de quel âge une
femme a une tension artérielle moyenne supérieure à $140$.
\end{enumerate}

\newpage 

\begin{center}
\textbf{\Large Annexe de l'exercice 3}
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(25,6)
\multido{\n=0.0+0.5}{51}{\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,6)}
\multido{\n=0+0.5}{13}{\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=lightgray](0,\n)(25,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(25,6)
\uput[u](23,-0.1){$t$ (en heures)}
\uput[r](0,5.6){Quantité de médicament (en mg)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{24}{4 0.93  x  exp mul }
\end{pspicture}
\end{center} 

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\Large Annexe de l'exercice 4}

\bigskip

\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(-0.7,-2)(75,60)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray,xunit=5,yunit=5](0,0)(0,0)(15,12)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=100,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(75,60)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=100,Dx=5,Dy=5](0,0)(0,0)(75,60)
\uput[u](68,-0.1){Âge (en années)}
\uput[r](0,58){Tension moyenne artérielle (en mm de mercure))}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}