\documentclass[10pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage{xspace}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,amstext,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{multirow}
\usepackage[euler]{textgreek}
\usepackage{textcomp,enumitem}
\usepackage[table,dvips]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
%aTpuscrit Denis Vergès
%Relecture François Hache
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pst-func,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=1.9cm, bottom=2.4cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat STMG },
pdftitle = {e3c},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\definecolor{aliceblue}{rgb}{0.94, 0.97, 1.0}
\usepackage[np]{numprint}
\renewcommand\arraystretch{1.1}
\newcommand{\e}{\text{e}}
%\frenchbsetup{StandardLists=true}
\usepackage{babel}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{janvier 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat STMG Métropole-La Réunion~e3c \no 218~\decofourright\\[5pt] janvier 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - Séries technologiques}

\medskip

%Début 218

\textbf{PARTIE II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur}

\smallskip

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}

\medskip 

On s'intéresse à la population d'une ville et on étudie plusieurs modèles d'évolution de cette population. En 2018, la population de la ville était de \np{15000} habitants. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Modèle 1}

\medskip

On fait l'hypothèse que le nombre d'habitants augmente de \np{1000} habitants par an. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d'habitants pour l'année $(2018 + n)$. On a ainsi $u_0 = \np{15000}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_1$ et indiquer ce que représente $u_1$. 
		\item Donner la nature de la suite $\left(u_n\right)$ sans justifier la réponse. 
		\item On considère l'algorithme ci-dessous : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline 
$N = 0$\\
$U = \np{15000}$\\ 
while $U < \np{30000}$\\
\hspace{0.6cm}$U = U + \np{1000}$\\
\hspace{0.6cm}$N = N +1$\\\hline 
\end{tabularx}
\end{center}

À la fin de l'exécution de cet algorithme, la variable $N$ est égale à 15.

 Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Modèle 2}

\medskip

On fait l'hypothèse que le nombre d'habitants augmente de $4,7\,\%$ par an. On note $v_n$ le nombre d'habitants pour l'année $(2018 + n)$. 

Ainsi on a $v_0 = \np{15000}$. 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique. Déterminer sa raison. 
		\item Calculer, selon ce modèle, le nombre d'habitants de la ville en 2023, arrondi à l'unité.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%
\bigskip

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points}

\medskip 

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-4~;~4]$ par 
\[f(x) = x^2 - 2x - 3.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'image de $- 1$ par $f$.
\item Montrer que $3$ est solution de l'équation $f(x) = 0$.
\item En utilisant les questions 1 et 2, donner une forme factorisée de $f(x)$.
\item Dresser le tableau de signes de $f$ sur l'intervalle $[-4~;~4]$.
\item Parmi les trois courbes suivantes, déterminer, en justifiant, celle qui représente graphiquement la fonction $f$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1.75cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-5)(4.5,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(-2.5,-5)(4.5,5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{4}{x dup mul x 4 mul sub}\uput[r](-1.5,2.5){\red $\mathcal{C}_2$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{4}{x 1 add  x 3 sub mul}\uput[r](-0.7,3.5){\blue $\mathcal{C}_3$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{-2}{4}{x 1 add  x 3 sub mul neg}\uput[r](2.4,2.5){\green $\mathcal{C}_1$}
\end{pspicture*}
\end{center}
%%%%%%%%
\bigskip

\textbf{EXERCICE 4  \hfill 5points}

\medskip

Dans un club multisport de 400 adhérents, le tennis, le squash et le badminton sont pratiqués. Les adhérents sont classés suivant leurs catégories : enfant, senior, vétéran.

On sait que :

\setlength\parindent{0.8cm}
\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item 15\,\% pratiquent le badmington et parmi ceux-là, le tiers sont des enfants.
\item75\,\% pratiquent le tennis et parmi eux, 32\,\% sont des seniors.
\item Parmi les adhérents pratiquant le squash, aucun n'est enfant et 20 sont des vétérans.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&Badminton&Tennis&Squash&Total\\ \hline
Enfant&&130&&\\ \hline
Senior&30&&&\\ \hline
Vétéran&&&&\\ \hline
Total&&&&400\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\emph{Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.}

\medskip

\item  On choisit au hasard un adhérent parmi les $400$ adhérents du club.

On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{0.8cm}
\begin{description}
\item[ ] $E$ : \og l'adhérent est un enfant\fg.
\item[ ] $S$ : \og l'adhérent est un senior\fg.
\item[ ] $V$ : \og l'adhérent est un vétéran\fg.
\item[ ] $T$ : \og l'adhérent joue au tennis\fg.
\item[ ] $D$ : \og l'adhérent joue au squash\fg.
\item[ ] $B$ : \og l'adhérent joue au badminton\fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0cm}
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité des évènements $S$ et $T$.
		\item Décrire à l'aide d'une phrase l'évènement $S \cap T$ puis calculer sa probabilité.
	\end{enumerate}
\item  On choisit au hasard un adhérent parmi les joueurs de badminton.

Calculer la probabilité que ce soit un vétéran.
\item  Calculer la probabilité conditionnelle de $E$ sachant $T$, notée $P_T(E)$.
\end{enumerate}
\end{document}