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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small }
\lfoot{\small 06307}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 21 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE 1- Exercice 1} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

Pour chaque question, indiquer la réponse dans la case correspondante. Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{9cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.} &Calculer 20\,\% de $150$~\euro.&\\ \hline
\textbf{2.} &Un prix passe de $50$~\euro{} à $52$~\euro.

Déterminer le pourcentage d'évolution du prix.&\\ \hline
\textbf{3.} &Calculer et simplifier :
\[\dfrac35 + \dfrac75 \times \dfrac53.\]&\\ \hline
\textbf{4.} &Factoriser l'expression :
\[A(x) =(x + 1)(x - 7)+(x + 1)(2x - 3).\]&\\ \hline
\textbf{5.} &On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
\[f(x) =2x^3 - 5x^2 + 2x - 1\]
et on note $f'$ sa dérivée.

Exprimer, pour tout réel $x,\: f'(x)$ en fonction de $x$.&\\ \hline
\textbf{6.} &Résoudre dans $\R$ l'équation $-2x - 10 = 0$.&\\ \hline
\textbf{7.} &Compléter: &$3,2 \times  10^{10}$ est égal à \ldots\ldots milliards.&\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{9cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{8.} &On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle [0~;~8] dont la courbe représentative est donnée ci-dessous. La droite $(d)$ est la tangente à la courbe au point A d'abscisse $2$.

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1,-3.1)(8,6.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1,-3.1)(8,6.2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{8}{x 4 sub dup mul 0.5 mul 1 sub}
\psplotTangent[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{2}{5}{x 4 sub dup mul 0.5 mul 1 sub}
\uput[r](0.5,5){\red $\mathcal{C}_h$}\uput[ur](4,-3){$(d)$}
\psdots(2,1)\uput[ur](2,1){\red A}
\end{pspicture*}
\end{center}&\\ \hline
&On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[- 3~;~9]$ dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.

Répondre aux questions avec la précision permise par le graphique.

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-3.1,-4)(9.2,5.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3.1,-4)(9.2,5.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-3.1,-4)(9.2,5.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{9}{x dup mul 9 mul x 3 exp sub 6 x mul sub 16 sub 22 div}
\uput[r](-2.9,5){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}&\vspace{-2cm}
\textbf{9.} Le tableau de signes de $f$ sur l'intervalle $[- 3~;~9]$ est :

\vspace{2cm}

\hline

\textbf{10.} Les solutions sur l'intervalle $[- 3~;~9]$ de l'équation $f(x) = 2$ sont :

\vspace{0.5cm}\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\textbf{Partie II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}

\medskip

Deux groupes industriels A et B sont soumis à une nouvelle réglementation qui limitera en
2030 la quantité des rejets polluants à 30 000 tonnes par an.

\begin{enumerate}
\item Les rejets polluants du groupe A sont évalués à \np{53 000} tonnes en 2020.

 Ce groupe industriel planifie de réduire chaque année ses rejets polluants de \np{1 800} tonnes.
	\begin{enumerate}
	\item  Quelle sera la quantité de rejets polluants du groupe A en 2025 ?
	\item  Recopier et compléter le programme ci-dessous écrit en langage Python
pour qu’à la fin de son exécution, la variable n contienne le nombre d’années
nécessaires pour que l’entreprise A respecte la nouvelle réglementation.	
	\end{enumerate}
	
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$u = \np{53000}$\\
$n = 0$\\
while $\cdots\cdots\cdots\cdots$ :\\
\hspace{0.5cm}$n = n + 1$\\
\hspace{0.5cm}$u =u-\np{18000}$\\

 \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item  Les rejets du groupe industriel B sont évalués à \np{52 000} tonnes en 2020. Ce groupe
industriel décide de réduire chaque année ses rejets polluants de 4 \%.


On modélise la quantité de rejets polluants à l’aide d’une suite $(r_n)$. Pour tout entier
naturel $n$, $r_n$ représente donc la quantité de rejets polluants, exprimée en tonnes,
pour l’année $2020+n$.
	\begin{enumerate}
	\item Préciser $r_0$ et $r_1$.
	\item Donner sans justifier la nature de la suite $\left(r_n\right)$ , puis exprimer, pour tout
entier naturel $n$, $r_n$ en fonction de $n$.
	\item La nouvelle réglementation sera-t-elle respectée pour le groupe industriel B en 2030 ?
	\end{enumerate}

\end{enumerate}
\bigskip

\newpage 

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise fabrique et commercialise de la peinture écologique. Sa capacité de
production est limitée à 10 milliers de litres de peinture par mois.
Le coût total de production mensuel, exprimé en milliers d'euros, est modélisé par la
fonction $C$ définie sur l’intervalle $[0~;~10]$ par
\[C(x)= 0,8x^2 -12x + 63,368\]
où $x$ désigne la quantité de peinture fabriquée chaque mois, exprimée en milliers de litres.

\begin{enumerate}
\item On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction $C$ sur l’intervalle $[0 ; 10]$.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1mm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-5.5)(12,75)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray,xunit=1,yunit=10](0,0)(-0.5,-0.5)(10.4,7.4)
\multido{\n=0.0+1}{11}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=gray](\n,-0.5)(\n,74)}
\multido{\n=0+10}{9}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=gray](-0.5,\n)(10.4,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-5)(10.5,75)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{0.8*x^2 -12*x + 63.368 }
\end{pspicture}
\end{center}

Répondre avec la précision permise par le graphique.

\begin{itemize}
\item Quel est le coût de production mensuel de \np{3000}~L de peinture ?
\item Pour quelles valeurs de la quantité de peinture à produire
mensuellement, le coût de production est-il inférieur ou égal à \np{20000}~\euro\ ?
\end{itemize}
\item Le coût moyen unitaire de production, exprimé en euros, correspondant à la production de $x$
milliers de litres de peinture, est donné sur l’intervalle $]0~;~10]$ par $f(x)=
\dfrac{C(x)}{x}$.

{\bf Ainsi \boldmath$f(6)$\unboldmath{}  représente le coût de production, en euros, d’un millier de litres de peinture
lorsque l’entreprise produit \np{6000}~L de peinture.}
	\begin{enumerate}
	\item  Montrer que $f(x)= 0,8x - 12 + \dfrac{63,368}{x}$.
	\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~10]$, $f'(x)=\dfrac{
0,8(x - 8,9)(x + 8,9)}{x^2}$.
	\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0~;~10]$.
	\item En déduire le coût moyen unitaire de production minimal ainsi que la quantité
de peinture à produire pour obtenir ce coût minimal.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}

{\it Tous les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.}

\medskip


Une usine métallurgique fabrique des boîtes de conserve pour des entreprises spécialisées
dans le conditionnement industriel de légumes.

La probabilité qu'une boîte prélevée au hasard soit non conforme est 0,04.

Un lot de 20 boîtes choisies au hasard est livré à une entreprise spécialisée dans le
conditionnement des légumes. Le nombre de boîtes fabriquées par cette usine
métallurgique est assez important pour pouvoir assimiler un tel prélèvement à un tirage
avec remise de $20$~boîtes.

\medskip

La variable aléatoire $X$ désigne le nombre de boîtes non conformes dans un tel lot.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les
paramètres.
\item Calculer la probabilité que le lot ne contienne aucune boîte non conforme.
\item Interpréter l’évènement $\{X = 4\}$ dans le contexte de l’exercice et calculer sa
probabilité.
\item Calculer la probabilité que le lot contienne au moins une boîte non conforme.
\item Calculer l’espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat
dans le contexte de l’exercice.
\end{enumerate}
\end{document}