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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
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\lfoot{\small 06310}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 29 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE 1} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.} &Par combien faut-il multiplier une  quantité positive pour que celle-ci
diminue de 2,3\,\% ?&\\ \hline
\textbf{2.} &Après une augmentation du prix de $20\,\%$, un article est vendu $180$~\euro.

Quel était le prix de départ ?&\\ \hline
\textbf{3.} &Développer $\left(x - \dfrac12\right)^2$.&\\ \hline
\textbf{4.} &Résoudre dans $\R$ l'équation suivante: 
\[2x - \dfrac47 = 5x +1.\]&\\ \hline
\textbf{5.} &Combien l'équation suivante a-t-elle 
de solutions dans $\R$ ?
\[(2x - 5)^2 = -3\]&\\ \hline
\textbf{6.} &Quel est le signe de l'expression
$4(x - 5)(x - 8)$ lorsque $x \in [5~;~8]$ ?&\\ \hline
\textbf{7.} &Déterminer le signe sur $\R$ de l'expression
$5 - \dfrac14 x$ &\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(6.5,1.5)
\psframe(6.5,1.5)\psline(0,1)(6.5,1)\psline(1.5,0)(1.5,1.5)
\uput[u](0.75,0.9){$x$} \uput[u](2,0.9){$-\infty$} \uput[u](6,0.9){$+\infty$} 
\rput(0.75,0.5){\small$5 - \dfrac14 x$}
\end{pspicture}\\ \hline
\textbf{8.} &En 1965, le circuit intégré électronique le plus performant comportait 64 transistors. On suppose qu'à partir de cette date le nombre de transistors dans un circuit intégré (ou un microprocesseur) a doublé tous les 2 ans.

Si on modélise cette situation par une suite géométrique de premier terme $u_0 = 64$ et de raison $q = 2$, quel terme de la suite permet d'estimer le nombre de transistors dans un microprocesseur en 1997 ?&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Pour les questions 9 et 10}, on considère la formule suivante qui donne la puissance fluidique $P$ (en watt) portée par les courants en fonction de la surface balayée $A\: \left.(\text{en m}^2\right)$, de la vitesse $v$ (en m.s$^{-1}$) et de la masse volumique du fluide $\rho$ en kg.m$^{-3}$ :
\[P = \dfrac12 A \rho v^3.\]\\ \hline
\end{tabularx}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{9.} &Calculer la valeur de $P$, pour $A = 0,1$ m$^2$, 

$\rho~=~20$ kg.m$^{-3}$ et $v= 10$ m.s$^{-1}$.&\\ \hline
\textbf{10.} &Exprimer $A$ en fonction de $P,\: \rho$ et $v$.&\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\textbf{\large Partie II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}

\medskip

On considère la fonction $p$ définie sur l’intervalle $[0~;~20]$ par :
\[p(t)= \np{22865} \times 0,9^t.\]

\begin{enumerate}
 \item Déterminer le sens de variation de $p$ sur $[0~;~20]$.

\bigskip
 
On étudie l’évolution du prix d’un certain modèle de voiture.
On admet que la fonction $p$ représente le prix de la voiture, en euro, en fonction du
temps $t$, exprimé en année, écoulé à partir de l’achat.
\item Quelle la valeur de cette voiture mise en circulation depuis 2 ans ? depuis 5
ans et 3 mois ?
\item Quelle est la valeur de cette voiture à l’achat ?
\item Un propriétaire souhaite revendre sa voiture \np{15000} \euro.

À quel moment doit-il la mettre en vente ?
\item Comment peut-on interpréter la valeur 0,9 dans l’expression de la fonction $p$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points}

\medskip

Dans l’objectif de réduire son empreinte environnementale, une grande entreprise a
décidé de réduire la quantité de déchets qu’elle produit.
L’entreprise a ainsi produit $320$ tonnes de déchets en 2018, $272$ tonnes en 2019 et
$231$ tonnes en 2020.
\begin{enumerate}
\item Pourquoi peut-on estimer que la diminution annuelle de la masse de déchets
produits par l’entreprise est de 15\,\% ?
\item On suppose qu’à partir de 2020 les déchets produits par l’entreprise
diminueront de 15\,\% chaque année.
On note alors, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n$ la quantité de déchets, exprimée
en tonnes, pour l’année (2020 + $n$). Ainsi $u_0 = 231$.
	\begin{enumerate}
	\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
	\item Évaluer la quantité de déchets qui seront produits par l’entreprise en
2030.
	\item  L’exécution de la fonction {\bf dechets()}, écrite ci-dessous en langage
Python, renvoie le nombre 2026.

\begin{center}\begin{tabular}{|l|}\hline
def dechets() :\\
\hspace{0.5cm}$n = 0$\\
\hspace{0.5cm}$u = \np{231}$\\
\hspace{0.5cm}while $u>100$ :\\
\hspace{0.8cm}$n = n+1$\\
\hspace{0.8cm}$u = 0.85*u$\\
\hspace{0.5cm}return ($2020+n$)\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.


	\item  Comment peut-on calculer la quantité totale de déchets produits par
l’entreprise de 2020 à 2030 ? Donner une estimation de cette quantité.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\newpage

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}

\medskip


Une plateforme de vidéos à la demande a fait un sondage auprès de ses abonnés.
Dans cette étude, on a demandé à des abonnés s’ils ont regardé des séries au cours
des 12 derniers mois.

\medskip

Les résultats de ce sondage indiquent que 20\% des personnes interrogées ont entre
15 et 24 ans.

\medskip
Dans cette tranche d’âge, 70\,\% ont répondu regarder des séries, contre seulement
35\,\% des autres tranches d’âge.

\medskip
On interroge au hasard une personne de cette étude.

On note :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]L’évènement $J$ : \og La personne a entre 15 et 24 ans \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]L’évènement $S$ : \og La personne a déclaré avoir regardé une série \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de la probabilité $P_J(S)$.
\item \parbox[t]{8cm}{Reproduire
sur la copie l’arbre de probabilité ci-
contre et compléter l’arbre en
indiquant les valeurs des
probabilités sur les différentes
branches.}

\vskip-12mm\hskip85mm\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=2.5cm,treesep=1cm]{\TR{}}
{
\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$J$}\naput{$\ldots\ldots$}}
	{
\TR{$S$}\naput{$\ldots\ldots$}
\TR{$\overline{S}$}\nbput{$\ldots\ldots$}
	}
\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline{J}$}\nbput{$\ldots\ldots$}}
	{
\TR{$S$}\naput{$\ldots\ldots$}
\TR{$\overline{S}$}\nbput{$\ldots\ldots$} 
	}
}
\item Calculer la probabilité $P(J\cap S)$.
\item Montrer que la probabilité que la personne ait regardé une série est de 0,42.
\end{enumerate}
\end{document}