\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{colortbl} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} %\usepackage[dvips]{hyperref} %\hypersetup{% %pdfauthor = {APMEP}, %pdfsubject = {e3c}, %pdftitle = {06310} %allbordercolors = white, %pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{} \lhead{\small L'année 2021} \rfoot{\small } \lfoot{\small 06310} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 29 Terminale technologique ~\decofourright}} \medskip \textbf{PARTIE 1} \end{center} \medskip \textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes} \medskip \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8cm}|X|}\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline \textbf{1.} &Par combien faut-il multiplier une quantité positive pour que celle-ci diminue de 2,3\,\% ?&\\ \hline \textbf{2.} &Après une augmentation du prix de $20\,\%$, un article est vendu $180$~\euro. Quel était le prix de départ ?&\\ \hline \textbf{3.} &Développer $\left(x - \dfrac12\right)^2$.&\\ \hline \textbf{4.} &Résoudre dans $\R$ l'équation suivante: \[2x - \dfrac47 = 5x +1.\]&\\ \hline \textbf{5.} &Combien l'équation suivante a-t-elle de solutions dans $\R$ ? \[(2x - 5)^2 = -3\]&\\ \hline \textbf{6.} &Quel est le signe de l'expression $4(x - 5)(x - 8)$ lorsque $x \in [5~;~8]$ ?&\\ \hline \textbf{7.} &Déterminer le signe sur $\R$ de l'expression $5 - \dfrac14 x$ &\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(6.5,1.5) \psframe(6.5,1.5)\psline(0,1)(6.5,1)\psline(1.5,0)(1.5,1.5) \uput[u](0.75,0.9){$x$} \uput[u](2,0.9){$-\infty$} \uput[u](6,0.9){$+\infty$} \rput(0.75,0.5){\small$5 - \dfrac14 x$} \end{pspicture}\\ \hline \textbf{8.} &En 1965, le circuit intégré électronique le plus performant comportait 64 transistors. On suppose qu'à partir de cette date le nombre de transistors dans un circuit intégré (ou un microprocesseur) a doublé tous les 2 ans. Si on modélise cette situation par une suite géométrique de premier terme $u_0 = 64$ et de raison $q = 2$, quel terme de la suite permet d'estimer le nombre de transistors dans un microprocesseur en 1997 ?&\\ \hline \end{tabularx} \newpage \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline \textbf{Pour les questions 9 et 10}, on considère la formule suivante qui donne la puissance fluidique $P$ (en watt) portée par les courants en fonction de la surface balayée $A\: \left.(\text{en m}^2\right)$, de la vitesse $v$ (en m.s$^{-1}$) et de la masse volumique du fluide $\rho$ en kg.m$^{-3}$ : \[P = \dfrac12 A \rho v^3.\]\\ \hline \end{tabularx} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8cm}|X|}\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline \textbf{9.} &Calculer la valeur de $P$, pour $A = 0,1$ m$^2$, $\rho~=~20$ kg.m$^{-3}$ et $v= 10$ m.s$^{-1}$.&\\ \hline \textbf{10.} &Exprimer $A$ en fonction de $P,\: \rho$ et $v$.&\\ \hline \end{tabularx} \vspace{1cm} \textbf{\large Partie II} \medskip \textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur} \textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants} \bigskip \textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points} \medskip On considère la fonction $p$ définie sur l’intervalle $[0~;~20]$ par : \[p(t)= \np{22865} \times 0,9^t.\] \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation de $p$ sur $[0~;~20]$. \bigskip On étudie l’évolution du prix d’un certain modèle de voiture. On admet que la fonction $p$ représente le prix de la voiture, en euro, en fonction du temps $t$, exprimé en année, écoulé à partir de l’achat. \item Quelle la valeur de cette voiture mise en circulation depuis 2 ans ? depuis 5 ans et 3 mois ? \item Quelle est la valeur de cette voiture à l’achat ? \item Un propriétaire souhaite revendre sa voiture \np{15000} \euro. À quel moment doit-il la mettre en vente ? \item Comment peut-on interpréter la valeur 0,9 dans l’expression de la fonction $p$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points} \medskip Dans l’objectif de réduire son empreinte environnementale, une grande entreprise a décidé de réduire la quantité de déchets qu’elle produit. L’entreprise a ainsi produit $320$ tonnes de déchets en 2018, $272$ tonnes en 2019 et $231$ tonnes en 2020. \begin{enumerate} \item Pourquoi peut-on estimer que la diminution annuelle de la masse de déchets produits par l’entreprise est de 15\,\% ? \item On suppose qu’à partir de 2020 les déchets produits par l’entreprise diminueront de 15\,\% chaque année. On note alors, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n$ la quantité de déchets, exprimée en tonnes, pour l’année (2020 + $n$). Ainsi $u_0 = 231$. \begin{enumerate} \item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. \item Évaluer la quantité de déchets qui seront produits par l’entreprise en 2030. \item L’exécution de la fonction {\bf dechets()}, écrite ci-dessous en langage Python, renvoie le nombre 2026. \begin{center}\begin{tabular}{|l|}\hline def dechets() :\\ \hspace{0.5cm}$n = 0$\\ \hspace{0.5cm}$u = \np{231}$\\ \hspace{0.5cm}while $u>100$ :\\ \hspace{0.8cm}$n = n+1$\\ \hspace{0.8cm}$u = 0.85*u$\\ \hspace{0.5cm}return ($2020+n$)\\ \hline \end{tabular} \end{center} Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice. \item Comment peut-on calculer la quantité totale de déchets produits par l’entreprise de 2020 à 2030 ? Donner une estimation de cette quantité. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points} \medskip Une plateforme de vidéos à la demande a fait un sondage auprès de ses abonnés. Dans cette étude, on a demandé à des abonnés s’ils ont regardé des séries au cours des 12 derniers mois. \medskip Les résultats de ce sondage indiquent que 20\% des personnes interrogées ont entre 15 et 24 ans. \medskip Dans cette tranche d’âge, 70\,\% ont répondu regarder des séries, contre seulement 35\,\% des autres tranches d’âge. \medskip On interroge au hasard une personne de cette étude. On note : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]L’évènement $J$ : \og La personne a entre 15 et 24 ans \fg{} ; \item[$\bullet~~$]L’évènement $S$ : \og La personne a déclaré avoir regardé une série \fg. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item Donner la valeur de la probabilité $P_J(S)$. \item \parbox[t]{8cm}{Reproduire sur la copie l’arbre de probabilité ci- contre et compléter l’arbre en indiquant les valeurs des probabilités sur les différentes branches.} \vskip-12mm\hskip85mm\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=2.5cm,treesep=1cm]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$J$}\naput{$\ldots\ldots$}} { \TR{$S$}\naput{$\ldots\ldots$} \TR{$\overline{S}$}\nbput{$\ldots\ldots$} } \pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline{J}$}\nbput{$\ldots\ldots$}} { \TR{$S$}\naput{$\ldots\ldots$} \TR{$\overline{S}$}\nbput{$\ldots\ldots$} } } \item Calculer la probabilité $P(J\cap S)$. \item Montrer que la probabilité que la personne ait regardé une série est de 0,42. \end{enumerate} \end{document}