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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 2021}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 2 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I- Exercice 1} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

\textbf{Indiquer les réponses dans la colonne de droite du tableau}

\textbf{Aucune justification n'est attendue}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{9cm}|X|}\hline
			&Questions			&Réponses\\ \hline
\textbf{1.}&Ranger les nombres suivants dans l'ordre croissant :
\begin{center}$\dfrac43, \quad  1+ \dfrac14$ \quad et \quad $2 \times \dfrac37$\end{center}&\\ \hline
\textbf{2.}&Dans une assemblée de 80 personnes, il y a 48 femmes.

Déterminer la part féminine, exprimée en pourcentage, de cette assemblée.&\\ \hline
\textbf{3.}&Factoriser l'expression $(2x - 3)^2 + (x + 1)(2x - 3)$.&\\ \hline
\textbf{4.}&On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par: 
\[f(x) = x^2 - 2x + 3.\]
Déterminer l'ordonnée du point A d'abscisse $- 1$ de la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan.&\\ \hline
\textbf{5.}&On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
\[f(x) = 2(x - 1)(x + 4).\]
Déterminer le signe de la fonction $f$ sur $\R$.&\\ \hline
\textbf{6.}&Soit la fonction $f$ dérivable sur $\R$ et définie par: 
\[f(x) = - x^3 + 5x^2 - 2x + \dfrac15.\]
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$.

Compléter la phrase :&Pour tout réel $x$,

$f'(x) = $\\ \hline
\textbf{7.}&Déterminer le taux d'évolution réciproque d'une baisse de 20\,\%.&\\ \hline
\end{tabularx}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{11cm}|X|}\hline
			&Questions			&Réponses\\ \hline
\textbf{8.}&Pour les questions 8. a. et 8. b., dans le plan muni d'un repère 
 ci-dessous, on a construit la représentation graphique d'une fonction dérivable $f$ et la droite (AB), qui est la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.

Répondre aux deux questions suivantes avec la précision que permet le graphique.

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-2,-1)(5.5,5.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-0.9)(5.5,5.5)
\psdots(0,3)(3,0)\uput[ur](0,3){A}\uput[dl](3,0){B}
\psplot[plotpoints=500]{-2}{4.5}{3 x sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{4.5}{1.5 x add 2.71828 x exp div 2 mul}
\end{pspicture*}
\end{center}&\\ \hline
&\textbf{a.}~Déterminer la valeur de $f' (0)$.&\\ \hline
&\textbf{b.}~ Construire la droite $(d)$ d'équation $y = 3x + 1$ dans le repère ci-dessus.&\\ \hline
\textbf{9.}&L'indice de masse corporelle (IMC) d'un individu, exprimé en 
kg/m$^2$, est égal à $\dfrac{m}{t^2}$ où $m$ est la masse de l'individu exprimée 
en kilogramme et $t$ sa taille exprimée en mètre.

Calculer la taille d'un individu pesant 64 kg et ayant un IMC de $25$~kg/m$^2$.&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\begin{center}\textbf{PARTIE II} \end{center}

La calculatrice est autorisée selon la réglementation en vigueur.

Cette partie est composée de trois exercices indépendants.

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

le tableau suivant donne l'évolution de la masse (exprimée en gramme) d'un panda né dans un zoo le 04.08.2017 (jour.mois.année) au cours de ces cinq premiers mois.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Date &04.08.2017 &04.09.2017 &04.10.2017 &04.11.2017 &04.12.2017 &04.01.2018\\ \hline
Rang du mois $x_i$& 0 &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline
Masse $y_i$ en gramme&142 &\np{1280} &\np{3314} &\np{5679} &\np{7997} &\np{10634}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer le pourcentage d'évolution de la masse de ce panda entre le 4 octobre 2017 et le 4 janvier 2018.
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer l'équation réduite d'une droite associée au
nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$, pour i entier variant entre 0 et 5, et obtenue
par la méthode des moindres carrés, dans un plan muni d'un repère.

On exprimera le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de cette droite à l'unité près.
\end{enumerate}

Pour la suite de l'exercice, on a représenté dans le plan ci-dessous muni d'un repère , le nuage de
points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ pour $i$ entier variant entre 0 et 5, et la droite $(d)$ d'équation $y = \np{2142}x - 514$ représentant un ajustement affine de ce nuage de points.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.0005cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1,-2000)(7,15000)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=2000]{->}(0,0)(-1,-1900)(7,15000)
\psdots(0,3)(3,0)\uput[dl](0,0){A}\uput[dr](1,1280){B}\uput[dr](2,3314){C}\uput[dr](3,5679){D}
\uput[dr](4,7997){E}\uput[dr](5,10634){F}
\psdots(0,0)(1,1280)(2,3314)(3,5679)(4,7997)(5,10634)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{2105 x mul 470 sub}
\uput[u](6,0){\small Rang du mois}\uput[r](0,14000){\small Masse (en grammes)}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}[]
\item On considère le point $G$ du plan dont l'abscisse est la moyenne arithmétique des réels $x_i$ et dont l'ordonnée est la moyenne arithmétique des réels $y_i$, pour $i$ entier variant de 0 à 5.

Le point $G$ appartient-il à la droite $(d)$ ? Justifier votre réponse.
\item le jour du premier anniversaire du panda, le 04.08.2018, les soigneurs de l'animal lui ont confectionné un gâteau au bambou et aux fruits. La masse de ce gâteau était égale à celle prévue par cet ajustement. Quelle était cette masse ?
\item On considère que l'ajustement affine représenté par la droite $(d)$ n'est valide que pour une masse du panda inférieure ou égale à $75$~kg.

Déterminer pour cet animal, l'âge maximal en mois pour lequel on peut considérer cet ajustement valide.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Le dioxyde de carbone ou CO$_2$ est un des gaz à effet de serre.

En 1960, les émissions de CO$_2$ dans le monde ont été estimées à $15,4$milliards de tonnes. Depuis, on estime que ces émissions augmentent chaque année de 1,8\,\% par rapport à l'année précédente.

Pour tout entier naturel $n$, le nombre $u_n$ désigne les émissions de CO$_2$, exprimées en milliard de tonnes, pendant l'année $(1960 + n)$. On a ainsi : $u_0 = 15,4$.

\medskip

\begin{enumerate}[]
\item Vérifier que $u_1 = \np{15,6772}$.
\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de l'entier naturel $n$.
\item Selon ce modèle défini par la suite $\left(u_n\right)$, déterminer l'année à partir de laquelle les émissions annuelles de CO$_2$ émises dans le monde dépasseront les $75$~milliards de tonnes.
\item Selon ce même modèle, un journaliste prétend que les émissions totales de CO$_2$ émises dans le monde depuis 1960 dépasseront les \np{2000} milliards de tonnes en 2030. 

A-t-il raison ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur [0,1~;~4] par :
\[f(x) = 4x + \dfrac 1x.\]

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur [0,1~;~4] et on note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur [0,1~;~4].

À l'aide d'un tableur, on veut obtenir un tableau de valeurs de la fonction $f$ pour $x$ variant de 0,1 à 4 avec un pas de $0,1$ ainsi qu'une allure de la représentation graphique de la fonction $f$ sur[0,1~;~4].

On donne ci-dessous un extrait de la feuille automatisée de calcul ainsi obtenue :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|m{1.75cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
& A&B&C&D&E&F&G&H&I\\ \hline
1&$x$&$f(x)$&&&&&&&\\ \hline
2&0,1&10,4&&&&&&&\\ \hline
3&0,2 &5,8&&&&&&&\\ \hline
4&0,3&4,53333333&&&&&&&\\ \hline
5&0,4& 4,1&&&&&&&\\ \hline
6&0,5& 4&\multirow{16}{12cm}{\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.3cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4.5,20)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=2](0,0)(0,0)(4.5,20)
\psplot[plotpoints=19,plotstyle=dots]{0.1}{4}{x 4 mul 1 x div add}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0.1}{4}{x 4 mul 1 x div add}
\rput(2.75,19){\small Allure de la représentation graphique de la fonction $f$}
\end{pspicture}} \\ \cline{1-3}
7&0,6&4,06666667\\ \cline{1-3}
8&0,7&4,22857143\\ \cline{1-3}
9&0,8& 4,45\\ \cline{1-3}
10&0,9&4,71111111\\ \cline{1-3}
11&1&5\\ \cline{1-3}
12&1,1&5,30909091\\ \cline{1-3}
13&1,2&5,63333333\\ \cline{1-3}
14&1,3&5,96923077\\ \cline{1-3}
15&1,4&6,31428571\\ \cline{1-3}
16&1,5&6,66666667\\ \cline{1-3}
17&1,6& 7,025\\ \cline{1-3}
18&1,7& 7,38823529\\ \cline{1-3}
19&1,8& 7,75555556\\ \cline{1-3}
20&1,9& 8,12631579\\ \cline{1-3}
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle formule, destinée à être ensuite étirée vers le bas, peut-on saisir dans la cellule B2 afin d'obtenir l'affichage de l'image $f(x)$ pour $x$ variant de 0,1 à 4 avec un pas de 0,1 ?
\item Après avoir dérivé la fonction $f$ démontrer que pour tout réel $x$ de [0,1~;~4] :
\[f'(x)= \dfrac{(2x - 1)(2x +1)}{x^2}.\]
\item Justifier que pour tout réel $x$ de [0,1~;~4], le nombre dérivé $f'(x)$ a le même signe que l'expression $(2x - 1)(2x + 1)$.
\item Déterminer le signe de la fonction dérivée $f'$ sur [0,1~;~4].
Est-il vrai que pour tout réel $x$ de [0,1~;~4], l'image $f(x)$ est toujours supérieure ou égale à 4 ? 

Justifier votre réponse.
\end{enumerate}






\end{document}