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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 31}
\lfoot{\small 06312}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 31 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Pour chaque question, indiquer la réponse dans la case correspondante.

Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.} &Résoudre l'inéquation $3x - 4 \geqslant 11$.								&\\ \hline
\textbf{2.} &Donner la forme développée et réduite de l'expression : $- 6(x + 2)(x - 1)$.&\\ \hline
\textbf{3.} &Factoriser l'expression: $(2x + 1)^2 + (2x + 1)(x - 5)$.					&\\ \hline
\textbf{4.} &Calculer 11\,\% de $120$.													&\\ \hline
\textbf{5.} &Augmenter une quantité de 8\,\% revient à la multiplier par \ldots			&\\ \hline
\textbf{6.} &Résoudre l'équation $x^2 = - 9$.											&\\ \hline
\textbf{7.} &Comparer $\dfrac54$ et $\dfrac{11}{7}$.\rule[-4mm]{0mm}{10mm}									&\\ \hline
\end{tabularx}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Dans la suite de l'exercice, on considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I = [-10~;~10]$ par 
\vspace{-0.4cm}\[f(x)= -2x^3 - 3x^2 + 12x - 2.\]\vspace{-0.4cm}\\ \hline
\end{tabularx}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8cm}|X|}
\textbf{8.} &Calculer $f(1)$.&\\ \hline
\textbf{9.} &Donner l'expression de $f'(x)$, où $f'$ est la fonction dérivée de $f$ sur $I$.&\\ \hline
\textbf{9.} &Déterminer l'équation de la tangente à la 
courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 1.&\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{\large Partie II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}
\bigskip

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}

\medskip

Un condensateur est un composant électronique dont la propriété principale est de
pouvoir stocker des charges électriques.

\medskip

En phase de décharge, la charge $q(t)$ en fonction du temps $t$ ($t\geqslant 0$, est donnée par
la formule $q(t)=Q\times 2^{-\frac{t}{T}}$ où $Q$ est la charge maximale du condensateur exprimée
en microfarads (µF) et $T$ le temps nécessaire, exprimé en seconde (s), pour que la
charge du condensateur diminue de 50 \%.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère un condensateur tel que $Q = 100\  $µF et $T= 10$~s.
	\begin{enumerate}
	\item Donner l’expression de la fonction q pour ce condensateur.
	\item Calculer $q(0)$ et $q(10)$.
	\item Parmi les trois courbes $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$, $\mathcal{C}_3$ sur le graphique ci-dessous, indiquer
en justifiant celle qui représente la fonction $q$ pour ce condensateur.
	\end{enumerate}

\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic}
\begin{pspicture}(0,-0.8)(13,11.5)
\psgrid[gridlabels=0,gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray,subgriddiv=5](0,0)(0,0)(13,11)
\psaxes[xunit=0.2,Dx=5,yunit=0.1,Dy=10](0,0)(0,0)(65,110)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=green,xunit=0.2,yunit=0.1]{0}{65}{100*1/2^(x/10) }
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red,xunit=0.2,yunit=0.1]{0}{65}{74.76743908*0.9605627697^x }
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue,xunit=0.2,yunit=0.1]{0}{65}{100-100*1/2^(x/10) }
\rput(5.7,9){\blue $\mathcal{C}_1$}
\rput(5.7,3){\red $\mathcal{C}_2$}
\rput(5.7,1){\green $\mathcal{C}_3$}

\end{pspicture}



\item  Pour un autre condensateur, on sait que, pour tout$t\geqslant 0$,\: $q(t) = 50 \times  2^{-t}$.
   	\begin{enumerate}
   	\item Vérifier par un calcul que pour tout $t\geqslant 0$, $q(t+ 2) = \dfrac{1}{4}q(t)$.
   	\item En déduire le temps, en seconde, pour que le condensateur atteigne
25 \% de sa charge maximale.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points}

\medskip


Le jour de la naissance de Léo, le 1\up{er} janvier 2020, ses grands-parents décident de
placer une somme de 500 \euro\  sur un compte rémunéré à 0,5 \% d’intérêts par an.

\medskip
Le capital de ce compte est ainsi augmenté de 0,5 \% du capital précédent le 1\up{er}
janvier de chaque année, à partir de l’année 2021.

\medskip
On modélise le capital en euro disponible le 1\up{er} janvier de l'année 2020+$n$ par le
terme général d’une suite $u$, de sorte que $u_0= 500$ et $u_1= 502,5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?
\item Exprimer, pour tout entier $n$, $u_n$ en fonction de $n$.
\item Quel sera le capital de Léo le jour de ses 18 ans ?
\end{enumerate}

Après calcul, les grands-parents de Léo estiment que la somme obtenue au 1\up{er}
janvier 2038 ne sera pas assez importante. Ils décident donc d’ajouter chaque
année, à partir du 1\up{er} janvier 2021, $100$~\euro{} supplémentaires sur le compte rémunéré.

\medskip

On modélise alors le capital disponible au $1\up{er}$ janvier de l’année $2020+n$ par la suite 

$v_{n+1} = 1,005v_n + 100$.

Ainsi $v_0 = 500$ et $v_1 = 602,5$.

\begin{enumerate}[resume]
\item La suite $v$ est-elle géométrique ? arithmétique ? Justifier les réponses.
\item  On considère le programme ci-dessous écrit en langage Python.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
def capital() :\\
\hspace{5mm} n = 0\\
\hspace{5mm} u = 500\\
\hspace{5mm} for i in range(18) :\\
\hspace{1cm} n = n+1\\
\hspace{1cm} u = 1.005*u+100\\
\hspace{5mm} return u \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Quel est le résultat renvoyé par l’appel à la fonction capital() ?

Quelle conclusion peut-on en tirer dans le contexte de l’exercice ?
\end{enumerate}

\bigskip

\newpage

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}

\medskip
Le tableau ci-dessous donne le nombre total d’immatriculations des voitures
particulières neuves en France métropolitaine entre 2011 et 2019 et en particulier, le
nombre de véhicules diesel neufs.


\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3,8cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} 
\hline
Année					&2011&2012	&2013	&2014	&2015	&2016	&2017	&2018\\ \hline
Rang de l’année $x_i$	&1	 &2		&3		&4		&5		&6		&7		&8\\ \hline
Véhicules diesel neufs
 $y_i$ (en million)		&1,557&1,345&1,168	&1,12	&1,07	&1,028	&0,978	&0,824\\ \hline
Total véhicules neufs
 (en million)			&2,161	&1,857&1,757&1,766	&1,886	&1,984	&2,08	&2,139\\ \hline
\multicolumn{9}{l}{\emph{Source : SDES-RSVERO}}
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Un article du 1\up{er} février 2019 de l’hebdomadaire Challenges précisait que \og la
part du diesel dans les immatriculations de voitures neuve a perdu 33 points
en 5 ans dans l’Hexagone. \fg

\medskip

Parmi l’ensemble des véhicules neufs, calculer la proportion, exprimée en
pourcentage, de véhicules diesel neufs immatriculés pour l’année 2013, puis
pour l’année 2018.

L’affirmation du journaliste est-elle vraie ?
\item Représenter, dans le repère en annexe, le nuage de points $\left(x_i~;~y_i\right)$ montrant
l’évolution des immatriculations de voitures diesel neuves en France métropolitaine en fonction du rang de l’année.
\item À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite $D$ qui réalise
un ajustement affine du nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ obtenu par la
méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au millième. 

Puis, tracer la droite $D$ dans le repère donné en annexe.
\item En supposant que l’ajustement affine réalisé reste valable :
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer le nombre de véhicules diesel neufs qui seront immatriculés en 2022.
	\item Déterminer à partir de quelle année, le nombre d’immatriculation de
véhicules diesel neufs sera inférieur à \np{500000} véhicules.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\bigskip
{\bf \Large Annexe à rendre avec la copie}


\bigskip

\psset{unit=0.95cm,arrowsize=2pt 3,comma=true}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1.5,-0.5)(13.5,10.4)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray](0,0)(0,0)(13,9)
\psaxes[linewidth=1.25pt,yunit=5,Dy=0.2]{->}(0,0)(0,0)(13,1.8)
\rput(6.4,9.3){\bf Evolution de l'immatriculation des véhicules diesel neufs en France métropolitaine} 
\rput(11.7,0.3){\bf Rang de l'année}
\uput[0]{90}(-1.5,4.5){\bf Nombre de véhicules diesel neufs en million}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}