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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 44}
\lfoot{\small 06325}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C 44 Terminale technologique \decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I- Exercice 1} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{8cm}|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.}&En 2019, \np{60200} personnes ont visité un parc d'attractions. Ce nombre de visiteurs a diminué de 10\,\% en 2020.

Quel a été le nombre de visiteurs en 2020 ?&\\ \hline
\textbf{2.}&On prend pour indice base 100 le prix moyen d'un smartphone en 2000.

On admet que le prix moyen d'un smartphone augmentera de 8\,\% entre 2000 et 2025.

Quel sera l'indice en 2025 du prix moyen d'un smartphone ?&\\ \hline
\textbf{3.}&Un village comptait 500 habitants en 2018 et en compte 525 en 2020.
Quel est le taux d'évolution, en pourcentage, de la population de ce village entre 2018 et 2020 ?&\\ \hline
\textbf{4.}&\rule[-5mm]{0mm}{10mm}Donner un encadrement de la fraction $\dfrac{25}{6}$ par deux nombres entiers consécutifs.&$\ldots < \dfrac{25}{6} < \ldots$ \rule[-5mm]{0mm}{10mm}\\ \hline
\textbf{5.}&Développer: $(3x + 4)^2$&\\ \hline
\textbf{6.}&La fonction $f$ est définie sur $\R$ par: 

$f(x)= -x^3 + 5x^2 - 8x + 11$.

On note $f'$ sa dérivée. 

Calculer $f'(x)$.&\\ \hline
\textbf{7.}& Compléter:&\np{1836}~m = \ldots \ldots km.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Pour les questions 8, 9 et 10, on considère la courbe $C$ ci-dessous qui représente une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-4~;~2]$.

La droite tracée est la tangente à la courbe $C$ au point A d'abscisse $-1$.

\psset{unit=0.7cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-4)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-5,-4)(4,4)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{2}{x 3 exp x dup mul 3 mul add x sub 3 sub 4 div}
\psplotTangent[linewidth=1.25pt]{-1}{4}{x 3 exp x dup mul 3 mul add x sub 3 sub 4 div}
\uput[ur](-1,0){A}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{7cm}|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
\textbf{8.}&Résoudre graphiquement l'équation 

$f(x) = 0$&\\ \hline
\textbf{9.}&Déterminer graphiquement le signe de la fonction [ sur l'intervalle $[-4~;~2]$.&\\ \hline
\textbf{10.}&Déterminer graphiquement le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C$ au point A d'abscisse $-1$.&\\ \hline
\end{tabularx}

\begin{center} \textbf{\large Partie II}\end{center}

\medskip

Cette partie est composée de trois exercices indépendants.

La calculatrice est autorisée selon la réglementation en vigueur.

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}

\medskip

En France, la durée hebdomadaire moyenne, en heures, d'utilisation d'internet par les jeunes entre 13 ans et 19 ans est donnée dans le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&2014 	&2015 	&2016 	&2017 	&2018\\ \hline
Rang de l'année $x_i$	&1 		&2 		&3 		&4 		&5\\ \hline
Durée moyenne hebdomadaire
 d'utilisation d'internet, en heure, $y_i$&12,2 &13,3 &14,1&15,11 &15,8\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{Source STATISTA}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

Le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ est donné en \textbf{annexe à rendre avec la copie}.

\medskip

Dans cette question, on modélise l'évolution de la durée hebdomadaire moyenne, en heures, d'utilisation d'internet par les jeunes entre 13 ans et 19 ans, par la droite $\mathcal{D}$ d'équation: $y = 0,9x + 11,4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ dans le repère donné en \textbf{annexe à rendre avec la copie}.
\item En supposant que ce modèle est valide au-delà de 2018, estimer la durée hebdomadaire moyenne d'utilisation d'internet par les jeunes entre 13 ans et 19 ans en 2021.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On suppose que la durée hebdomadaire moyenne d'utilisation d'internet par les jeunes entre 13 ans et 19 ans augmente de 2\,\% chaque année à partir de 2018.

Dans ce modèle, on note $v_0$ la durée hebdomadaire moyenne, en heures, d'utilisation d'internet pour l'année 2018 et $v_n$ la durée hebdomadaire moyenne, en heures, d'utilisation d'internet par les jeunes entre 13 ans et 19 ans pour l'année $(2018 + n)$, où $n$ est un entier positif ou nul. 

Ainsi, $v_0 = 15,8$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On utilise une feuille de calcul d'un tableur pour obtenir les valeurs successives de la suite
$\left(v_n\right)$. Une partie de cette feuille de calcul est reproduite ci-dessous. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B\\ \hline
1&$n$&$v_n$\\ \hline
2&0&15,8\\ \hline
3&1&16,116\\ \hline
4&2&\\ \hline
5&3&\\ \hline
6&&\\ \hline
7&&\\ \hline
8&&\\ \hline
9&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelle formule doit-on saisir dans la cellule B3 pour obtenir, après recopie vers le
bas, la valeur des termes de la suite $\left(v_n\right)$ ?

\item Pour tout entier naturel n, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item Estimer, selon ce modèle, la durée hebdomadaire moyenne, en heure, d'utilisation
d'internet par les jeunes entre 13 ans et 19 ans en 2023.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points}

\medskip

80\,\% des employés d'une société sont des commerciaux. 70\,\% de ces commerciaux, possèdent une voiture de fonction.

10\,\% des employés de cette société qui ne sont pas des commerciaux possèdent une voiture de fonction.
On interroge au hasard un employé de la société. 

On considère les évènements suivants:

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $C$: \og L'employé interrogé est un commercial. \fg
\item[$\bullet~~$] $V$: \og L'employé interrogé possède une voiture de fonction. \fg
\end{itemize}

On note $\overline{C}$ et $\overline{V}$ les évènements contraires respectifs des évènements $C$ et $V$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous:

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$C~~$}\taput{}}
	{\TR{$V$}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{V}$}\tbput{}
	}
\pstree{\TR{$\overline{C}~~$}\tbput{}}
	{\TR{$V$}\taput{}
	\TR{$\overline{V}$}\tbput{}
	}
}
\end{center}


\item
	\begin{enumerate}
		\item Définir par une phrase l'évènement $\overline{C} \cap V$. 
		\item Calculer la probabilité $P\left(\overline{C} \cap V\right)$.

	\end{enumerate}
\item Montrer que la probabilité que l'employé interrogé ait une voiture de fonction est 0,58.
\item Calculer la probabilité que l'employé interrogé ne soit pas un commercial sachant qu'il possède une voiture de fonction.

On arrondira le résultat au centième.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise fabrique et commercialise un produit P. La production mensuelle varie entre 1 et $10$~tonnes.

Pour l'entreprise, le coût mensuel de production de $x$ tonnes, exprimé en millier d'euros, est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~10] par:
\[f(x)= x^3 - 5x^2 + 9x + 81.\]

Pour une production mensuelle de $x$ tonnes de produit P, on note $C(x)$ le coût mensuel moyen de production en euro d'une tonne de produit fabriqué.

Ainsi, la fonction $C$ est définie sur l'intervalle [1~;~10] par :
\[C(x)  = \dfrac{f(x)}{x} = \dfrac{x^3 - 5x^2 + 9x + 81}{x}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x \in [1~;~10],\: C(x) = x^2 - 5x + 9 + \dfrac{81}{x}$.
\item On note $C'$ la dérivée de la fonction $C$.

Calculer $C'(x)$, pour tout $x \in [1~;~10]$.
\item On admet que, pour tout $x \in [1~;~10]$,\:$C'(x) = (2x- 9)\dfrac{(x + 1)^2 + 8}{x^2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $C'(x)$ a le même signe que $2x - 9$ pour tout $x \in [1~;~10]$.
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $C$ sur l'intervalle [1~;~10].
	\end{enumerate}
\item Déterminer la production mensuelle de produit P correspondant à un coût
mensuel moyen de production par tonne minimal.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{\large ANNEXE à rendre avec la copie}\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 2, partie A}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.75,-1)(10,10)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(10,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Oy=10]{->}(0,0)(0,0)(10,10)
\psdots[dotstyle=+,dotscale=4,dotsize=0pt 4](1,2.2)(2,3.3)(3,4.1)(4,5.11)(5,5.8)
\uput[r](0,9.5){durée hebdomadaire moyenne d'utilisation d'internet (en heures)}
\uput[ur](1,2.2){M$_1$} \uput[ur](2,3.3){M$_2$}\uput[ur](3,4.1){M$_3$} \uput[ur](4,5.11){M$_4$} \uput[ur](5,5.8){M$_5$}
\uput[u](8.4,0){rang de l'année}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}