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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small }
\lfoot{\small 06291}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 4 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE 1- Exercice 1} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

Pour chacune des dix questions, répondre à l'endroit indiqué. Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Après une augmentation de 25\,\%, un article coute 80~\euro. 

Déterminer le prix initial en euro de l'article.

\emph{Réponse} :
\item Compléter la phrase: \og Augmenter de 110\,\%, c'est multiplier par \fg{} 

\emph{Réponse} :
\item Le prix d'un article subit deux baisses successives de 20\,\%. 

Déterminer le taux global de diminution.

\emph{Réponse} :
\item Une série télévisée comprend 14 épisodes totalisant 894 minutes. Exprimer, en heure et en minute, la durée totale de cette série. 

\emph{Réponse} :
\item On considère un rectangle de périmètre $P$, de longueur $L$ et de largeur $l$. 

Exprimer $l$ en fonction de $L$ et de $P$.

\emph{Réponse} :
\item Soit la fonction $f$ dérivable sur $\R$ et définie par $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 2$.

Déterminer pour tout réel $x$, le nombre $f'(x)$.

\emph{Réponse} :
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $x^2 = 7$.

\emph{Réponse} :
\end{enumerate}

Dans les trois questions suivantes, on considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-3~;~5]$, et représentée par la courbe $\mathcal{C}_f$ dans le plan muni d'un  repère ci-dessous. La droite (AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A d'abscisse 2.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-3.5,-2.5)(6,4.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt](-4,-3)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3.5,-2.5)(6,4.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{5}{x 3 exp x dup mul 3 mul sub 6 x mul sub 16 add 8 div}
\psplotTangent[linestyle=dashed]{2}{7}{x 3 exp x dup mul 3 mul sub 6 x mul sub 16 add 8 div}
\uput[ur](2;0){\blue A}\uput[ur](-2,3){B}
\end{pspicture*}
\end{center}

Par lecture graphique avec la précision qu'elle permet, répondre aux questions 8., 9. et 10. :

\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer $f(0)$.\hfill \emph{Réponse} : \phantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}
\item Résoudre sur $[-3~;~5]$, l'inéquation $f(x) \geqslant 1$.\hfill \emph{Réponse} : \phantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}
\item Déterminer $f'(2)$.\hfill \emph{Réponse} : \phantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{PARTIE II} \end{center}

\medskip

\textbf{La calculatrice est autorisée selon la réglementation en vigueur.}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants.}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ dérivable sur l'intervalle [0,5; 6] et définie par: [(x) = :: + ~.
On note t' la dérivée de t sur l'intervalle [0,5; 6].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'image de $\dfrac12$ par $f$,
\item À l'aide d'une feuille de calcul automatisée, on souhaite réaliser un tableau de valeurs de $f$ pour $x$ variant de 0,5 à 6 avec un pas de 0,1.

Quelle formule doit être saisie dans la cellule B2, avant d'être étirée vers la droite ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C&D&E&F\\ \hline
1&$x$&0,5&0,6&0,7&0,8&0,9\\ \hline
2&$f(x)$&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Démontrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle [0,5~;~ 6], on a :
\[f'(x) = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{2x^2}.\]

\item Dresser le tableau de signe de $f'$ sur l'intervalle [0,5~;~ 6].
\item En déduire le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle [0,5~;~ 6].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Un atelier produit des cordes pour piano. On sait que 2\,\% des cordes produites sont défectueuses.
Avant commercialisation, un contrôle de qualité est effectué sur chacune des cordes produites:

\begin{itemize}
\item si la corde est sans défaut, elle est acceptée dans 96\,\% des cas; 
\item si la corde est défectueuse, elle est refusée dans 98\,\% des cas.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une corde sans défaut est contrôlée. Quelle est la probabilité qu'elle soit refusée?
On tire une corde au hasard dans la production de l'atelier puis on effectue le contrôle de qualité. On admet que toutes les cordes ont la même probabilité d'être tirées.

On note les deux évènements suivants :

D : \og la corde contrôlée est défectueuse \fg{} et 

R : \og la corde contrôlée est refusée \fg.

$\overline{D}$ est l'évènement contraire de $D$ et $\overline{R}$ est l'évènement contraire de $R$.

\item Recopier sur votre copie l'arbre pondéré ci-dessous qui représente la situation et le compléter.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=2.75cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$D$~~}\naput{\ldots}}
	{\TR{$R$}\naput{\ldots}
	\TR{$$}\nbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$$~~}\nbput{\ldots}}
	{\TR{$R$}\naput{\ldots}
	\TR{$$}\nbput{\ldots}
	}
}
\end{center}

\item Justifier que $p(R)$ vaut environ $0,059$.
\item Suite au contrôle de qualité, la corde est refusée. 

Déterminer la probabilité qu'elle soit sans défaut. On arrondira le résultat obtenu au millième près.
\end{enumerate}

On considère dans cette question que 0,04\,\% des cordes commercialisées par cet atelier sont défectueuses.

On change les $230$ cordes d'un piano par des cordes vendues par l'atelier.

On admet que la production de l'atelier est suffisamment importante pour que le choix des cordes puisse être assimilé à $230$ tirages indépendants avec remise.

\begin{enumerate}[resume]
\item Quelle est la probabilité qu'au moins une des $230$ cordes soit défectueuse ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

Dans la gamme de tempérament égal, l'octave est divisée en 12 demi-tons égaux séparant les notes, énoncées dans l'ordre croissant de leurs fréquences: DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI.

Quand on monte d'un demi-ton, la fréquence de la note, exprimées en hertz (Hz), est
 multipliée par $q = 2^{\frac{1}{12}}$.

À chaque octave est associé un entier naturel $n$ appelé indice et les notes d'une octave portent l'indice de cette octave. 

Ainsi le LA$_3$ (le LA du diapason) correspond à la note LA de l'octave d'indice 3, le LA$_4$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 4 située au-dessus de l'octave d'indice 3.

La fréquence du LA$_3$ est 440 Hz.

Sauf indication contraire, les fréquences seront arrondies à l'unité.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter sur votre copie le tableau ci-dessous:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Note 			&LA$_3$ &LA\#$_3$ 	&SI$_3$ 	&DO$_4$ 	&DO\#$_4$	& RÉ$_4$& RÉ\#$_4$\\ \hline
Fréquence (Hz)	& 440 	&466		& 			&523		&			&587 	&622\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item À partir du LA$_3$, on monte de $27$ demi-tons. Déterminer la fréquence de la note obtenue.
\item Montrer que la fréquence exacte du LA$_6$ est \np{3520}~Hz.
\end{enumerate}

Suite à un accident, un violoniste ne perçoit plus les sons aux fréquences supérieures à \np{8000} Hz.

\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer le nombre de notes au-dessus du LA$_3$ que peut percevoir le violoniste.
\end{enumerate}
\end{document}