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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 50}
\lfoot{\small 06331}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 50 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.} &Une augmentation de 20\,\% suivie d'une
réduction de 20\,\% est équivalente à multiplier la valeur initiale par :&\\ \hline
\textbf{2.} &$f(x) = x^2 + 3x + 1$ sur $\R$. Calculer $f'$ la dérivée de $f$ :&$f'(x) = $\\ \hline
\textbf{3.} &\rule[-4mm]{0mm}{10mm} On donne la formule : $T = \dfrac{V_f  - V_i}{V_i}$.
Exprimer $V_f$ en fonction de $T$ et $V_i$.&$V_f = $\\ \hline 
\textbf{4.} &Écrire le nombre ci-contre sous la forme d'une seule puissance de 7.&$\dfrac{7^3 \times 7^{-5}}{7^5}$\rule[-4mm]{0mm}{10mm}\\ \hline
\textbf{4.} &$f(x) = 2(x - 1)(x + 3)$ sur $\R$

$\bullet~$ \textbf{Vrai ou faux :}

La fonction $f$ est positive sur $[- 3~;~1]$ :&\\ \hline
\textbf{4.} &La fonction $h$ définie sur $\R$ est représentée ci-dessous.

\psset{unit=0.7cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-4,-1.5)(2,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-1.5)(2,6)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{2}{x 1 add dup mul  1 sub}
\end{pspicture*}
\end{center}

Résoudre l'inéquation $h(x) \geqslant 3$.&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{6cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{7.} &$f(x) = - 2x^2 + 5x + 3$ sur $\R$.

 \textbf{Vrai ou faux :}

Le point P(1~;~4) appartient à la
courbe $\mathcal{C}_f$.&\\ \hline
\textbf{8.} &Donner le tableau de signe de 

$g(x) = - 3x + 2$&\\ \hline
\textbf{9.} &On donne ci-contre le début du tableau de variation d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. Compléter ce tableau: &\psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(7.5,3.5)
\psframe(7.5,3.5)\psline(0,2)(7.5,2)\psline(0,3)(7.5,3)\psline(1.5,0)(1.5,3.5)
\uput[u](0.75,2.9){$x$} \uput[u](2,2.9){$- \infty$} \uput[u](3.5,2.9){$- 5$} \uput[u](5.5,2.9){$2$} \uput[u](7,2.9){$+ \infty$}
\uput[u](2.75,1.9){\ldots} \uput[u](3.5,1.9){$0$} \uput[u](4.5,1.9){$+$} \uput[u](5.5,1.9){$0$} \uput[u](6.25,1.9){$-$}
\rput(0.75,2.75){\footnotesize signe de}\rput(0.75,2.25){\footnotesize $f'(x)$}
\rput(0.75,1.5){\footnotesize variations}\rput(0.75,1){\footnotesize  de $f$}
\psline{->}(2,1.75)(3,0.5)
\end{pspicture*}
\end{center}\\ \hline
\textbf{10.} &On donne le diagramme en boîte suivant:

\psset{unit=0.6cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture}(7.5,2)
\psline(0,1.3)(0,1.5)\psline(0,1.4)(1,1.4)\psframe(1,1)(5,2)\psline(5,1.4)(7,1.4)\psline(7,1.3)(7,1.5)
\psline(4,1)(4,2)
\psline(-0.1,0.5)(7.3,0.5)
\multido{\n=0+1,\na=12+1}{8}{\psline(\n,0.4)(\n,0.6)\uput[d](\n,0.5){\na}}
\end{pspicture}
\end{center}
&La valeur du 3\up{e} quartile est : 

$Q_3  = \ldots$\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\textbf{\large Partie II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise place un capital de \np{10000}~\euro{} à intérêts simples au taux annuel de 1,5\,\%. Cela signifie que, chaque année, le montant des intérêts est égalà 1,5\,\% du capital placé initialement.

On note $C_n$ le capital acquis au bout de n années, pour n entier naturel. Ainsi $C_0 = \np{10000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $C_1$ et $C_2$.
\item Déterminer la nature de la suite $\left(C_n\right)$.
\item Exprimer le terme général $C_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer le montant du capital après 7 ans de placement.
\item Compléter la fonction Python donnée en \textbf{annexe à rendre avec la copie} afin que
l'exécution de cette fonction affiche, pour une valeur donnée de $k$, les $k$ premiers termes de la suite $\left(C_n\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points}

\medskip

Un artisan bijoutier qui fabrique des bracelets fait une étude de coût pour une production comprise entre 5 et 40 objets. 

Le coût total, en euro, de la production de $x$ bracelets est donné par la formule :
\[C(x) = x^2 + 50x + 100\quad \text{pour }\:x \in [5~;~40]\]

Pour une production de $x$ bracelets, le coût moyen de production d'un bracelet est alors donné
par la formule:
\[C_m(x) = \dfrac{C(x)}{x}\quad \text{pour }\:x \in [5~;~40]\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le coût total de la production de $10$ bracelets puis le coût moyen de production d'un bracelet pour cette production de $10$ bracelets.

\begin{center}On pose $f(x) = x + 50 + \dfrac{100}{x} \quad \text{pour }\:x \in [5~;~40]$.\end{center}
\item Calculer $f'(x)$.
\item Prouver que
\[f'(x) = \dfrac{(x - 10)(x + 10)}{x^2}.\]
\item Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$.
\item Déterminer le nombre de bracelets à fabriquer pour que le coût moyen de production d'un bracelet soit minimal.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}

\medskip

Une petite commune rurale a vu sa population augmenter fortement en quelques années. 

Le tableau suivant donne l'évolution du nombre d'habitants sur la période considérée.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&2010&2011 &2012&2013 &2014 &2015 &2016 &2017 &2018 &2019 &2020\\ \hline
Rang de l'année : $x_i$	&  1 &2 &3 &4 	&5	  &6 	&7 	  &8 	&9 	  &10 	&11\\ \hline
Nombre d'habitants $y_i$&450 &495 &545  &600  &660  &725  &800  &880  &960 	&\np{1060} &\np{1170}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution du nombre d'habitants de l'année 2010 à l'année 2020.
\item Montrer que le taux d'évolution annuel moyen du nombre d'habitants de l'année 2010 à l'année 2020, arrondi à 0,1 point, est de 10\,\%.
\item Sur le graphique, en \textbf{annexe à rendre avec la copie}, représenter la série statistique du tableau ci-dessus par un nuage de points $\left(M_i\left(x_i~;~y_i\right)\right)$.
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite $D$ d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. 

Les coefficients seront arrondis au dixième. 

Puis tracer cette droite sur le même graphique donné en annexe à rendre avec la copie.

En supposant que cet ajustement demeure valable pendant plusieurs années, déterminer par un calcul le nombre d'habitants de la commune en 2025. Arrondir à la dizaine près.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}{\textbf{\Large ANNEXE (à rendre avec la copie)}}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 Question 5}\end{center}

\bigskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
def Term(k) :\\
\qquad c=\np{10000}\\
\qquad print(c)\\
\qquad for i in range (\ldots\ldots) :\\
\qquad \quad c = \ldots\\
\qquad \quad print(c)\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{center}{\textbf{Exercice 3 Questions 3.
et 4.}}\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.007cm}
\begin{pspicture}(-1,-100)(16.5,2000)
\multido{\n=0+1}{17}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,2000)}
\multido{\n=0+100}{21}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(16.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=100](0,0)(0,0)(16.5,2000)
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}