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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 61}
\lfoot{\small 06348}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 61 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{9cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.} &Convertir \np{1240} centimètres en mètres.&\\ \hline
\textbf{2.} &Développer $(3x - 4)(7x - 4)$&\\ \hline
\textbf{3.} &Donner les solutions de l'équation 
\[(x+4)(2x - 1) = 0.\]&\\ \hline
\textbf{4.} &Résoudre l'inéquation: $5 - 3x < 0$&\\ \hline
\textbf{5.} &Diminuer de 1\,\%, c'est multiplier par &\ldots \\ \hline
\textbf{6.} &Une paire de chaussures coûte $80$~\euro. Elle est soldée $-20\,\%$.

Quel est le prix affiché en magasin ?&\\ \hline
\textbf{7.} &Dans une classe de ST2S, $90\,\%$ des élèves sont des filles et parmi elles, $70\,\%$ aiment les mathématiques.

Donner le pourcentage de filles aimant les mathématiques.&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
La courbe ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-9~;~6]$. 

\textbf{Cette fonction est celle qui est considérée dans les questions 8 à 10.}

La droite passant par les points A(0~;~2) et B(6~;~4) est la représentation graphique d'une fonction affine $g$ définie sur $\R$.

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-11,-8)(7,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-11,-8)(7,5)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-9}{6}{x 3 exp 17 mul 360 div x dup  mul 31 mul 90 div add x 19 mul 30 div sub 6 sub}
\psplotTangent[linewidth=1.25pt]{-6}{14}{x 3 exp 17 mul 360 div x dup  mul 31 mul 90 div add x 19 mul 30 div sub 6 sub}
\uput[u](6.5,0){$x$}\uput[r](0,4.5){$y$}
\psdots(0,2)(6,4) \uput[ul](0,2){A}\uput[u](6,4){B}
\end{pspicture*}
\end{center}\\ \hline
\end{tabularx}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{9cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{8.} &$f(-4)$ est égal à :&\\ \hline

\textbf{9.} &Résoudre graphiquement $f(x) = -4$.&\\ \hline

\textbf{10.} &L'équation de la droite (AB) est:&\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\textbf{\large Partie II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur}

\textbf{Durée : 1 h 30}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}

\medskip

Un patient atteint de paludisme est traité par injection intraveineuse.

À l'instant $t = 0$, on lui administre $10$~mL de médicament.

On estime que 20\,\% du médicament présent dans le sang est éliminé par heure.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang au bout de $n$ heures.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et préciser sa raison et son premier terme.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$n en fonction de $n$.
\item Calculer la quantité de médicament restant dans le sang au bout de 7 heures
(arrondir votre résultat à $10^{-1}$ mL près).
\item Pour être efficace, le traitement nécessite qu'il y ait toujours au moins $0,5$~mL
résiduel de médicament dans le sang.

Compléter l'algorithme ci-dessous, afin qu'il affiche au cours de quelle heure il faudra procéder à une nouvelle injection.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
n=0\\
u= \ldots\\
while \ldots \ldots\\
\qquad n = \ldots\\
\qquad u = \ldots\\
print (n)\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Que contient la variable $n$ à l'issue de l'exécution de l'algorithme ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points}

\medskip

Un lycée de 1500 élèves est confronté à une épidémie de gastro-entérite.
Dès l'apparition des premiers symptômes, l'infirmière du lycée note pendant une semaine le nombre d'élèves malades. Le tableau ci-dessous présente les résultats observés.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Numéro du jour 			&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7\\ \hline
Nombre d'élèves malades &8 	&13 &20 &26 &31 &38 &46\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Construire dans le repère en annexe le nuage de points associés à cette série statistique.
\item Calculer les coordonnées de G, le point moyen du nuage de points, et le placer sur le graphique.
\item On admet que la droite $\Delta$ d'équation $y = 6,25x + 1$ constitue une droite d'ajustement convenable du nuage.

En précisant les valeurs utilisées, tracer la droite $\Delta$ dans le repère en annexe.
\item En utilisant cet ajustement, estimer graphiquement à partir de combien de jours au moins 5\,\% des élèves du lycée seront atteints par la gastro-entérite.
\item En utilisant cet ajustement, estimer par le calcul quel jour sera dépassée la barre symbolique des $100$~élèves atteints par la gastro-entérite.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}

\medskip

Un laboratoire d'analyses a mis au point un nouvel alcootest.

Les premiers essais ont conduit aux résultats suivants:

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] pour une personne en état d'ébriété, la probabilité que l'alcootest soit positif est
de $0,95$ ;
\item[$\bullet~~$]pour une personne qui n'est pas en état d'ébriété, la probabilité que l'alcootest
soit négatif est de $0,96$.
\end{itemize}

Sur \np{2000}~personnes testées lors de l'étalonnage du test, $40$ étaient réellement en état d'ébriété.

On considère les évènements suivants:

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$E$ : \og la personne est en état d'ébriété \fg 
\item[$\bullet~~$]$A$ : \og l'alcootest est positif  \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après l'énoncé, calculer $P(E)$.
\item Représenter la situation dans l'arbre pondéré de probabilités en annexe.
\item Calculer la probabilité de l'évènement $(E \cap A)$.
\item Montrer que la probabilité que l'alcootest soit positif est de \np{0,0582}.
\item L'alcootest s'est révélé positif.

Calculer la probabilité que la personne testée soit réellement en état d'ébriété. $\left.(\text{Arrondir le résultat à }\:10^{-4}\right)$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{\large Annexe à rendre avec la copie}\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 3 :}

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.12cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-2,-5)(15,85)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(15,85)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(15,85)
\uput[u](13.4,0){\footnotesize rang du jour}\uput[r](0,82.5){\footnotesize nombre d'élèves atteints}
\end{pspicture*}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 :}

\medskip

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=2.5cm,treesep=1cm]{\TR{}}
{
\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$E$~~}\naput{}}
	{
\TR{$A$}\naput{$0,95$}
\TR{$\overline{A}$}\nbput{}
	}
\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline{E}$}\nbput{}}
	{
\TR{$A$}\naput{}
\TR{$\overline{A}$}\nbput{$0,96$}
	}
}
\end{center}
\end{document}