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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 8 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE 1- Exercice 1} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

Cet exercice comporte neuf questions. 

Pour chacune d'entre elles, indiquer la réponse dans la case correspondante.

Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8.5cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&Énoncé&Réponse\\ \hline
\textbf{1.} &Un article augmente de 50\,\% puis à nouveau de 50\,\%. Quel est le taux d'évolution, exprimé en pourcentage, équivalent à ces deux augmentations successives ?&\\ \hline
\textbf{2.} &Un élastique mesure 20 centimètres. On l'étire pour qu'il mesure 25~centimètres.

Quel est le pourcentage d'augmentation de la longueur ?&\\ \hline
\textbf{3.} &Dans un groupe de 40 personnes, 15 sont des
adolescents. 

Exprimer la proportion d'adolescents dans ce groupe.&\\ \hline
\textbf{4.} &Comparer les fractions suivantes : $\dfrac14,\quad \dfrac16,\quad \dfrac13$  et $\dfrac15$.&\rule[-4mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\textbf{5.} &Résoudre dans $\R$ l'inéquation :
\[(x - 5)(x - 3) > 0.\]&\\ \hline
\textbf{6.} &Soit l'égalité : $y = \sqrt{\dfrac{5x}{2e}}$.

Exprimer $x$ en fonction de $y$ et de $e$.&\\ \hline
&\multicolumn{2}{|m{12cm}|}{Pour les énoncés 7. et 8., on note $f$ la fonction  dérivable sur $\R$ et définie par:

$f(x) = x^2 + 3x - 5.$ Dans le plan muni d'un repère  on note $\mathcal{C}_f$ 

la courbe représentative de $f$.}\\ \hline
\textbf{7.} &L'ordonnée du point d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et de l'axe des ordonnées est :&\ldots\\ \hline
\textbf{8.} &On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

Compléter la phrase ci-contre.&Pour tout réel $x$,

$f'(x) = \ldots\ldots$.\\ \hline
\textbf{9.} &Quel entier est égal à $\sqrt{49 - 24}$ ?&\rule[-4mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\textbf{Partie II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous indique le nombre d’habitants, par année, d’un pays de 2012 à 2019.

\medskip

Chaque année le nombre d’habitants est estimé au million d’habitants près.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.4cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année							&2012	&2013	&2014	&2015	&2016	&2017	&2018	&2019\\ \hline
Rang de l’année : $x_i$			&0		&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7\\ \hline
Nombre d’habitants : $y_i$ 
(exprimé en million d’habitants)&62,8	&63,1	&63,4	&63,7	&64,0	&64,3	&64,5	&64,9\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Ainsi, en 2014, il y avait \np{63400000}~habitants dans ce pays.

\medskip
Sur la feuille annexe, dans un repère du plan, la série statistique est représentée, en partie,
par un nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ pour $i$ un entier variant de 0 à 7.

Répondre aux questions 1. et 2. sur la feuille annexe à rendre avec la copie :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le nuage de points, en construisant les points manquants de coordonnées
respectives (2~;~63,4) et (6~;~64,5).
\item Construire la droite $(d)$ d’équation $y= 0,3x + 63$.
\item La droite $(d)$ représente-t-elle un bon ajustement affine de cette série statistique ?
\item À l’aide de la calculatrice, déterminer l’équation réduite de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au millième.
\item Selon ce modèle, estimer la population, en million d’habitants, de ce pays en 2028.
\item Selon ce modèle, en quelle année l’estimation de la population de ce pays dépassera-t-elle 70 millions d’habitants ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points}

\medskip

Un client dépose $880$~\euro\  sur un compte bancaire, en janvier 2020. Cette somme est placée à intérêts composés au taux annuel de 2\,\%.

\medskip
Pour tout entier naturel $n$, le nombre $u_n$ représente la somme d’argent, exprimée en euro, sur ce compte en janvier de l’année $2020+n$.

\medskip

On définit ainsi la suite $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0$ où $u_0$ est la somme d’argent, exprimée en euro, se trouvant sur ce compte en janvier 2020.

On a donc : $u_0=880$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $u_1$ est égal à $897,60$.
\item Justifier que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de l’entier naturel $n$.
\item Calculer $u_{10}$ et interpréter sa valeur dans le contexte de l’exercice. On pourra donner une valeur approchée du résultat au dixième près.
\item Selon ce modèle, à partir de quelle année la somme d’argent sur le compte sera-t-elle supérieure à \np{2000}~\euro{}? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\newpage

\bigskip

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}

\medskip
\begin{center}

\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(9,9)
\pspolygon[showpoints=false,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linewidth=0.2pt]
(4,0)(8,0)(8,4)
\pspolygon[showpoints=false,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linewidth=0.2pt](0,4)(0,8)(4,8)
\pspolygon[showpoints=false,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linewidth=0.2pt](4,0)(0,4)(4,4)
\pspolygon[showpoints=false,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linewidth=0.2pt](4,8)(8,4)(4,4)
\psframe[linewidth=0.2pt](0,0)(8,8)
\uput[l](0,8){A}\uput[l](0,0){B}\uput[r](8,0){C}\uput[r](8,8){D}
\rput(4.5,9){Figure 1}
\end{pspicture}
\end{center}

La figure 1 représente le plateau d’une table basse. Ce plateau est un carré de 50~centimètres de côté. 

Les quatre surfaces grisées sont des triangles rectangles isocèles dont
les deux côtés de l’angle droit mesurent $25$~centimètres.

Sur la feuille annexe à rendre avec la copie, on a représenté cette table en perspective
centrale, le segment [AC] étant dans un plan frontal.

En perspective centrale, les points A, B, C et D sont représentés par les points a, b, c et d.
\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la somme des aires, en centimètres carrés, des surfaces grisées.

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles dans la réalité.
\item Que se passe-t-il pour les droites (ab) et (cd) dans la représentation en perspective
centrale ? Pourquoi ?
\item  Sur la feuille annexe à rendre avec la copie, tracer la ligne d’horizon en justifiant
votre méthode.
\item À quoi correspond l’intersection de la droite (bd) et de la ligne d’horizon ?
\item Représenter, en perspective centrale, ce plateau ainsi que les motifs, sur la figure de
la feuille annexe à rendre avec la copie.

Laisser apparents les traits de construction.
\end{enumerate}

\newpage

\bigskip
\begin{center}
{\bf Feuille annexe à rendre avec la copie.}
\end{center}

{\bf Exercice 2 : } Questions 1. et 2.

\bigskip

\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.8cm,comma=true,arrowsize=2pt 3}
\hspace{-1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-1,-2)(10.5,10.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,
subgridcolor=lightgray,gridcolor=gray](0,0)(0,0)(10,10)
\psaxes[Oy=62,yunit=2,Dy=0.5]{->}(0,0)(0,0)(10,5)
\psdots[dotscale=3,dotstyle=+,yunit=2,Dy=0.5,dotangle=45](0,0.8)(1,1.1)%(2,1.4)
(3,1.7)(4,2)(5,2.3)(7,2.9)%(6,2.5)
\uput[d](9.8,0){$x$}
\uput[l](0,9.8){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\bigskip

{\bf Exercice 4 : } Questions 3. et 5.

\begin{center}

\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(11,7)
\psline(4.5,0)(4.5,3.1)(7.8,4.47)(5.19,4.9)(2.22,4.45)(4.5,3.1)
\psline(2.2,4.45)(2.2,2.96)(2.35,2.76)(2.35,4.35)
\psline(4.15,3.3)(4.15,0.47)(4.5,0)(4.8,0.27)(4.8,3.25)
\psline(4.8,2.7)(7.5,4.05)
\psline(7.5,4.33)(7.5,2.68)(7.8,2.95)(7.8,4.5)
\psline(4.15,2.7)(2.35,4.05)
\psline(2.6,3.85)(2.6,2.85)(2.35,2.76)
\psline(7.5,2.68)(7.2,2.8)(7.2,3.9)
\uput[l](2.22,4.45){$a$}
\uput[dr](4.45,3.15){$b$}
\uput[r](7.7,4.55){$c$}
\uput[u](5.19,4.9){$d$}
%\psline[linecolor=blue](2.35,2.76)(11,5.8)
%\psline[linecolor=blue](4.8,2.7)(11,5.8)
%\psline[linecolor=blue](4.5,3.1)(11,5.8)
%\psline[linecolor=blue](4.5,0)(11,5.8)
%\psline[linecolor=blue](4.5,0)(11,5.8)
%\psline[linecolor=blue](4.5,3.1)(0,5.8)
%\psline[linecolor=blue](7.8,4.47)(0,5.8)
%\psline[linecolor=blue](4.15,2.7)(0,5.8)
%\psline[linecolor=blue](4.5,0)(0,5.8)
%\psline[linecolor=blue](7.5,2.68)(0,5.8)
\end{pspicture}
\end{center}













\end{document}