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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{janvier 2020}}
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\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat STMG Métropole-La Réunion~e3c \no 99~\decofourright\\[5pt] janvier 2020 }}
\end{center}
%%%% 99
\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - Séries technologiques}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée}

\medskip

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants.}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise fabrique des lampes solaires. Elle ne peut pas produire plus de \np{5000} lampes par mois.

\smallskip

Le résultat qu'elle peut réaliser en un mois, exprimé en centaines d'euros, est modélisé par une fonction $b$ dont la représentation graphique est donnée ci-dessous. On rappelle que lorsque le résultat est positif, on l'appelle bénéfice. L'axe des abscisses indique le nombre de lampes produites et vendues exprimé en centaines.

\parbox{0.5\linewidth}{
En utilisant le graphique : 

\begin{enumerate}
\item Lire $b(10)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Déterminer avec la précision que la lecture graphique permet, le bénéfice maximal que peut réaliser l'entreprise et les quantités de lampes à fabriquer correspondantes.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{
\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.0075cm}
\begin{pspicture*}(-8,-510)(50,600)
\multido{\n=0+5}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-500)(\n,600)}
\multido{\n=-500+100}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(50,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=100,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,-500)(50,600)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{5}{48}{160 x mul x dup mul 3 mul sub 1600 sub}
\end{pspicture*}
} 
\begin{enumerate}[resume]
\item La fonction $b$ définie sur l'intervalle est définie par l'expression suivante :
\[b(x) = - 3x^2 + 160x - \np{1600}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $b(x) = (x - 40)(- 3x + 40)$.
		\item Résoudre $b(x) = 0$.
		\item Donner la valeur exacte du maximum de la fonction $b$ et en quel nombre il est atteint.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

L'objectif de l'exercice et de trouver le maximum de la fonction $r$ définie sur l'intervalle [200~;~ 400] par

\[r(x) = - 0,01x^3 + 4x^2.\]



\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction $r$ est dérivable sur [200~;~400] et on note $r'$ sa dérivée. 

Calculer $r'(x)$ et montrer que $r'(x) = x(- 0,03x  + 8)$.
\item Donner le tableau de signes de la fonction dérivée $r'$ sur l'intervalle [200~;~400]. 
\item En déduire le tableau de variations de la fonction $r$ sur l'intervalle [200~;~400].
\item Quel est le maximum de cette fonction sur l'intervalle [200~;~400] ? En quelle valeur est-il atteint ?

\item Pour vérifier la solution de l'équation sur l'intervalle, on utilise l'algorithme de balayage ci-dessous, écrit en langage Python :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
def balayage(pas) :\\
\hspace{0.5cm}$x = 200$\\
\hspace{0.5cm}while $x*(-0,03*x+8) > 0$ :\\
\hspace{0.8cm}$x = x + $pas\\
\hspace{0.5cm}return ($x-$pas, $x$)\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Que renvoie l'instruction balayage(1) ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

Un restaurant propose dans son menu trois formules :

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item Formule A : entrée plus plat
\item Formule B : plat plus dessert 
\item formule C : entrée plus plat plus dessert
\end{itemize}

\medskip

On note le choix des clients venus pour déjeuner à midi (ensemble noté $M$) ou pour dîner le soir (ensemble noté $S$).

 Les effectifs sont répertoriés dans le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{~}&Formule A&Formule B &Formule C&Total\\ \hline
Déjeuner $M$ &27 &31&&75\\ \hline
Dîner $S$& 12 &20 &53 &85\\ \hline
Total &39 &51 &70 &160\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Quel effectif doit-on écrire dans la case vide du tableau ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la fréquence en pourcentage des clients ayant choisi la formule A parmi ceux qui sont venus déjeuner à midi.
		\item Montrer que la fréquence en pourcentage de clients venus dîner le soir parmi
 ceux qui ont choisi la formule B est au dixième prêt égal à 39,2\,\%.
 	\end{enumerate}
\item Calculer la fréquence en pourcentage de clients ayant déjeuné le midi dans ce restaurant.
\item Le patron du restaurant déclare : \og J'ai une carte des desserts très attractive car plus des trois quarts des clients choisissent une formule avec dessert. \fg

A-t-il raison ? Justifier. 
\end{enumerate}
%T1CMATH0099
\end{document}