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%aTpuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{janvier 2020}}
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\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat STMG Métropole-La Réunion~e3c Auto B ~\decofourright\\[5pt] janvier 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - Séries technologiques}

\medskip

%Auto A
\begin{center}\textbf{PARTIE II}\end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes }

\medskip

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices}

\medskip

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}

\medskip

Le comité  d'entreprise d'une société française souhaite organiser un week-end à Rome. Une enquête est faite auprès des \np{1200}~employés de cette société afin de connaître leur choix en matière de moyen de transport.

Les moyens de transport proposés sont le train, l'avion ou l'autocar.

Les résultats de l'enquête sont répertoriés dans le tableau ci-dessous : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{~}	&Tran	&Avion	&Autocar	&Total\\ \hline
Femmes					&468	&196	&56			&720\\ \hline
Hommes					&150	&266	&64			&480\\ \hline
Total					&618	&462	&120		&\np{1200}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On note :

$F$ l'évènement : \og l'employé interrogé est une femme \fg{}; 

$T$ l'évènement : \og l'employé interrogé choisit le train \fg.

\medskip

Dam tout l'exercice, on donnera les résultats sous forme décimale. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités $p(F)$ et $p(T)$.
\item Déterminer la probabilité que l'employé interrogé ne choisisse pas le train. 
\item Expliquer ce que représente l'évènement $F \cap T$ puis calculer sa
probabilité.
\item L'employé interrogé a choisi le train. Calculer la probabilité que cet employé soit une femme. 

On arrondira le résultat au millième. 
\item Calculer $p_F(T)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points} 

\medskip

Un apiculteur vend des cartons de pots de miel.

Le coût, en euro, de production de $n$ cartons, $n \leqslant 120$, est modélisé par le nombre $C(n)$, où $C$ est la fonction définie sur [0~;~120] par 

\[C(x) = 0,25 x^ 2+ 500.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le coût de fabrication de $40$ cartons.
\item On considère le bénéfice, en euro, réalisé après la production et la vente de $n$ cartons. On admet qu'il est modélisé par le nombre $B(n)$, où $B$ est la fonction définie sur [0~;~120] par :

\[B(x) = - 0,25x^2 + 30x - 500.\]

Montrer que pour tout $x$ appartenant à [0~;~120], $B(x) = -0,25(x - 20)(x -100)$.
\item Déterminer le tableau de signes de $B(x)$ sur $[0~;~120]$.
\item Combien de cartons doit produire et vendre l'apiculteur pour réaliser un bénéfice ?
\item Déterminer le nombre de cartons à produire et à vendre pour que le bénéfice soit maximal.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} 

\medskip

Deux amis A et B débutent dans deux entreprises différentes. Au 1\up{er} janvier de l'année 2019 A et B  ont tous les deux un salaire mensuel de \np{1500}~\euro.

Le montant du salaire mensuel de A augmente chaque année au 1\up{er} janvier de 2,5\,\%.

Son montant en euro, l'année $2019 + n$ est modélisé par le terme de rang $n$ d'une suite 
$\left(a_n\right)$ de premier terme $a_0 = \np{1500}$.

Le montant du salaire mensuel de B augmente chaque année au 1\up{er} janvier de 35~\euro.

Son montant en euro, l'année $2019 + n$, est modélisé par le terme de rang $n$ de la suite arithmétique $\left(b_n\right)$ de raison 35 et de premier terme $b_0 = \np{1500}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le salaire mensuel de A en 2020 puis en 2021.
\item Justifier que pour tout $n$,\: $a_{n+1} =  1,025a_n$, et en déduire la nature de la suite $\left(a_n\right)$.
\end{enumerate}
\begin{enumerate}[resume]
\item ~

\parbox{0.65\linewidth}{On considère l'algorithme, écrit en Python, ci-contre. Donner le contenu de la variable $n$ après exécution de l'algorithme et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.} \hfill
\parbox{0.3\linewidth}{
\begin{tabular}{|l|}\hline
$n = 0$\\
$a = \np{1500}$\\
while $a < \np{1650}$\\
\hspace{0.8cm}$n = n +1$\\
\hspace{0.8cm}$a = 1,025*a$\\ \hline
\end{tabular}
}
\end{enumerate}
\end{document}


 Le coüt, en euro, de prad uenen de n certens, n < 120, est modélisé pair le nambre C(n), oùCestlafonction dé,fjniesur[0:1201Jpar CCx) =0,25l"z +5'00•
1) 2)
Calculer le coût dE! fabricaUon de 4D eartcns,
On considère rebénéfice, en euro. réadls,é après la 'Im:lduction et Jil v'ente de Il
cartons. On adllmet ,qu"U m.st mod,énsé pair le nambre B'(n), où ,8 est la fonction définle sur [0; 120] par: fi Cx) =-O~25xiil+30.t .... 500.
"()ntrer que pour tout r appartenant il [0 ;1210], 8(x) = -0.2 5(x - 20) (x - 100). Déterminer le tabteau de signes de 8ex} sur 10 ;120}.
3)
4) Combien d,e eartcns doit produire et vendre l'apicu~teur peur r,é'aliser un bénéfice 1 5) Déterminer le nombre de carrons à Iprodulre et ~ vendre pour que le bénéfice sel
mêllcimaL


\bigskip

\textbf{Exercice III \hfill 5 points}

\medskip

Pour se nourrir, un oiseau plonge dans la mer depuis le haut d'une falaise d'une hauteur de $5$ mètres. La trajectoire de l'oiseau est modéliséz par la courbe représentative d'une fonction $h$ tracée sur l'intervalle [0~;~6]  dans le repère orthonormé ci-dessous.

Dans ce repère, l'axe des abscisses représente le niveau de la mer et l'axe des ordonnées représente la falaise.

$h(x)$ désigne alors l'altitude en mètres de l'oiseau par rapport au niveau de la mer et $x$ désigne la distance en mètres qui le sépare de la falaise.


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-4.5)(6.5,5.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1,-4.5)(6.5,5.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{x dup mul x 6 mul sub 5 add}
\end{pspicture*}
\end{center}
 Avec la précision permise par le graphique. répondre aux deux questions suivantes.
 
\medskip
 
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est l'image de $0$ par la fonction $h$ ? 

Interpréter dans le contexte de l'exercice.
\item  À quelles distances de la falaise se trouve l'oiseau lorsqu'il est à une profondeur de 3 mètres sous la mer ?
\end{enumerate}

La fonction $h$ est définie sur l'intervalle [0~;~6] par $h(x) = x^2  - 6x + 5$. 

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que $h(x) =(x - 1)(x - 5)$.
\item En déduire le tableau des signes de la fonction $h$sur [0~;~6].
\item Résoudre l'inéquation $h(x) < 0$ et interpréter dans le contexte de l'exercice.

\item calculer ra Calcufer.Iaprobabilité p(cnTl.
t C, que l'on note: Pte)
raaitioonene provienne de l'ateller C
\item Quelleestlaproba Endonner lavale
u'un biscu ndie au milli
: (S PDlnts)
Calculer le pourcentage de la production de l'entreprise correspondant aUM b'scul dltlcnnelle.
aDmd urnallère, on adme e

 2.
correpondante.s.
3. Lafonction bd~
il. Montrer que b(x) =(x - 40)(-.3
b. Resoudre b(x) =O. Donner la val
du maximum de la ton
n b el en
1nombre 1 est
nie par 1 b(x) ;;: -31'1 +l 1600.
n
sur l'intervalle [0, +co[ e
peut pas produire plus de soao






