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%Tapuscrit :Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat de technicien hôtellerie}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{20 juin 2017}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat de technicien hôtellerie Métropole~\decofourright\\La Réunion Antilles-Guyane 20 juin 2017}}

\vspace{0,25cm}
 
%L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 10 points}

\bigskip

La société Alima-Conseil est un cabinet d'experts spécialiste du marché de la consommation
alimentaire hors domicile en France. Elle est régulièrement consultée sur les modes de
consommation et l'évolution du secteur de la restauration.

En particulier, elle a étudié deux marchés importants de la restauration rapide en France : celui du burger et celui du traditionnel sandwich jambon-beurre.

\medskip

\textbf{Partie A : marché du burger}

\medskip


Le tableau ci-dessous présente l'évolution de la consommation de burgers par les Français
entre 2012 et 2015.

\smallskip

\begin{center}

\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|m{4.25cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 						&2012	& 2013 	&2014	&2015\\\hline
Rang de l'année: $x_i$ 		&1		& 2		&3		&4\\\hline
Nombre de burgers consommés
(en milliard) : $y_i$		&0,92 	&0,97	&1,07	&1,19\\\hline 
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le pourcentage d'augmentation du nombre de burgers consommés entre 2014 et 2015.
\item Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ est donné en \textbf{ annexe (à rendre avec la copie)}.

On note G le point moyen de ce nuage.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les coordonnées du point G.

On décide de réaliser un ajustement affine du nuage de points par la droite $D$ passant par G et
d'équation réduite $y = ax + 0,81$, où $a$ est un nombre réel.
		\item Déterminer la valeur du coefficient directeur $a$ de la droite $D$.
		\item Tracer la droite $D$ sur le graphique de l'\textbf{annexe}.
	\end{enumerate}
\item On admet que cet ajustement reste valable jusqu'en 2019.
	\begin{enumerate}
		\item  Donner une estimation du nombre de burgers consommés durant l'année 2016.
		\item  Au cours de quelle année peut-on prévoir que le nombre de burgers consommés en France dépassera $1,5$ milliard ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : marché du sandwich jambon-beurre}

\medskip
 
Les deux graphiques ci-dessous donnent, pour l'un, le nombre de sandwichs jambon-beurre
consommés en France et, pour l'autre, le prix moyen d'un sandwich jambon-beurre de 2012 à
2015.

\vspace{0.5cm}

\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\psset{yunit=2.cm}
\begin{pspicture}(5.3,1.7)
\rput(2.65,1.65){\scriptsize Consommation de sandwichs jambon-beurre en milliards}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(0.7,1.31)
\uput[d](0.3,0){2012}\uput[u](0.3,1.31){\np{1.31}}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.5,0)(2.2,1.24)
\uput[d](1.8,0){2013}\uput[u](1.8,1.24){\np{1.24}}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3,0)(3.7,1.31)
\uput[d](3.3,0){2014}\uput[u](3.3,1.28){\np{1.28}}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.5,0)(5.1,1.23)
\uput[d](4.8,0){2015}\uput[u](4.8,1.23){\np{1.23}}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\psset{yunit=1.6cm}
\begin{pspicture}(5,3.3)
\rput(2.5,3.2){\footnotesize 
Prix moyen, en euro, d'un sandwich jambon-beurre}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(0.7,2.68)
\uput[d](0.3,0){2012}\uput[u](0.3,2.68){\np{2.68}}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.5,0)(2.2,2.71)
\uput[d](1.8,0){2013}\uput[u](1.8,2.71){\np{2.71}}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3,0)(3.7,2.74)
\uput[d](3.3,0){2014}\uput[u](3.3,2.74){\np{2.74}}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.5,0)(5.2,2.84)
\uput[d](4.8,0){2015}\uput[u](4.8,2.84){\np{2.84}}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\vspace{0.5cm}

\begin{enumerate}
\item  Calculer le chiffre d'affaires réalisé dans ce secteur de la restauration en 2015.
\item Entre 2012 et 2015, la consommation de sandwichs jambon-beurre est passée de 1,31 milliard à $1,23$~milliard. Elle a donc baissé en moyenne de 2\,\% par an.

On admet que cette baisse de 2\,\% par an se poursuit au-delà de l'année 2015.

On modélise alors le nombre de sandwichs jambon-beurre consommés chaque année à
partir de 2015 par une suite géométrique $\left(u_n\right)$.

On note $u_n$ le nombre de sandwichs jambon-beurre, en milliard, consommés l'année
$2015 + n$. Par conséquent, $u_0 = 1,23$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $u_1$.
		\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
		\item Selon ce modèle, combien de sandwichs jambon-beurre seront-ils consommés en 2018 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Le directeur de la société Alima-Conseil affirmait en 2015 : \og Pour la première fois en 2016, on consommera en France plus de burgers que de sandwichs jambon-beurre\fg.

\textbf{Les deux études précédentes confirment-elles ce propos ? Donner une réponse argumentée.}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 10 points}

\bigskip

On a mesuré expérimentalement, sur une durée fixée, le taux d'évolution du nombre de
bactéries d'un type donné présentes dans un milieu à différentes températures. La courbe
figurant en \textbf{annexe} modélise ce taux d'évolution (en pourcentage) en fonction de la
température (en degré Celsius) pour des valeurs comprises entre $- \np[ \tccelsius]{5}$   et $\np[ \tccelsius]{43}$.

\medskip

\textbf{Partie A : lecture graphique.
}

\medskip


À l'aide du graphique fourni en annexe, répondre aux questions suivantes:

\begin{enumerate}
\item  Une température du milieu maintenue entre $\np[\tccelsius]{2}$ et $\np[\tccelsius]{8}$  permet-elle de limiter le développement
de ce type de bactéries ?
\item Pour quelles températures le taux d'évolution de ce type de bactéries est-il supérieur ou égal à
60\,\% ?
\item À partir de quelle température ce type de bactéries ne se développe-t-il plus?
\item On peut classer les bactéries selon les températures auxquelles elles se développent.
\begin{itemize}
\item Les \textbf{bactéries thermophiles} continuent à se développer à des températures
supérieures ou égales à $\np[\tccelsius]{45}$.
\item Les \textbf{bactéries mésophiles} préfèrent les températures comprises entre 20 et $\np[\tccelsius]{40}$.
\item Les \textbf{bactéries psychrophiles} ont une température optimale de développement
voisine de $\np[\tccelsius]{0}$.
\end{itemize}

\smallskip

À quel type de bactéries le graphique de l'annexe semble-t-il correspondre ? On donnera
une réponse argumentée.
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B : étude d'un modèle mathématique.}

\medskip
 
On considère que la courbe figurant en \textbf{annexe} représente, sur l'intervalle $[- 5~;~43]$, la fonction
$f$ définie par 

\[f(x) = (-1,4x + 59) \e^{0,2x-4,75}.\]

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[- 5~;~43]$.

On note $f'$ sa fonction dérivée et on admet que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[- 5~;~43]$,

\[f'(x) = (-0,28x + 10,4) \e^{0,2x-4,75} .\]

\begin{enumerate}
\item  Quel est le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[- 5~;~43]$ ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  En déduire que la fonction $f$ admet un maximum sur l'intervalle $[- 5~;~43]$.
		\item Pour quelle température le taux d'évolution de ce type de bactéries est-il maximal?
	\end{enumerate}
\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle $[- 5~;~43]$. Quelle interprétation peut-on faire de la
solution obtenue dans le contexte du développement de ce type de bactéries ?
\item Donner le signe de $f( 42,6)$. Quelle information sur le développement de ce type de bactéries ce résultat fournit-il?
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe à remettre avec la copie}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 1}

\medskip
\psset{xunit=1.3cm,yunit=12cm,labelFontSize=\scriptstyle, comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.05)(10.01,0.81)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-0.01)(\n,0.76)}
 \multido{\n=0+0.05}{16}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-0.15,\n)(10,\n)}
 \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=1,Oy=0.80,Dy=0.05,]{->}(0,0)(10.15,0.77)
 \psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](1,0.12)(2,0.17)(3,0.27)(4,0.39)
 \uput[ur](0,0.75){\footnotesize Nombre de burgers en milliard}%\uput[u](0.5,3000){\footnotesize cacao(en dollar)}
 \uput[ul](10,0){\footnotesize Rang de l'année}
\end{pspicture}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 2}

\medskip
\begin{center}
\psset{xunit=0.28cm,yunit=0.056cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-5.2,-55)(48,110)
\multido{\n=-5+5}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-57)(\n,110)}
\multido{\n=-5+0.5}{107}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](\n,-57)(\n,110)}
\multido{\n=-40+20}{8}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-5,\n)(48,\n)}
\multido{\n=-55+5}{34}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](-5,\n)(48,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=20,]{->}(0,0)(-5,-55)(48,110)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{-5}{43}{ 2.71828 x 0.2 mul 4.75 sub exp x 1.4 neg  mul 59 add mul }
 \uput[ur](0,100){\footnotesize taux d'évolution en \%}\uput[u](44,0){\footnotesize Température en \textcelsius}
\end{pspicture}
\end{center} 

\end{document}
