\begin{CORRIGE}{1}
    \begin{enumerate}
    \item
      \begin{enumerate}
      \item $\coord(4, 4, 5)$ est le seul qui réponde à la définition.

        On trace un segment $[BC]$ de longueur $5$. Le cercle de
        centre $B$ de rayon $4$ coupe la médiatrice de $[BC]$ en deux
        points. $A$ est l'un d'eux.
      \item En appliquant la définition $19 \leq z \leq 33$.

      \item C'est l'inégalité stricte qui manque $z< x+y$ : une fois déclaré le
        plus grand, le fait que la longueur de chaque côté soit
        inférieure à la somme des longueurs des deux autres est
        acquis.
      \end{enumerate}
    \item
      \begin{enumerate}
      \item Comme $ z < x +y$, $x + y + z > 2z$. Il s'ensuit que
        $z \leq 8$. La plus petite valeur de $z$ est celle pour
        laquelle les trois côtés sont de même longueur, $6$.

      \item Pour énumérer les éléments de $E_{18}$, on tient compte du
        fait que les deux plus petits côtés ont des longueurs $x$ et
        $y$ telles que $x+y > 9$. On obtient :
        \[
          E_{18} = \lbrace
          \coord(2,8,8),\coord(3,7,8),\coord(4,6,8),\coord(5,5,8),
          \coord(4,7,7),\coord(5,6,7),\coord(6,6,6)\rbrace.
        \]
        Le triangle est représenté sur la figure \ref{fig_olymp_19A}.
        \begin{figure}[!h]
          \centering
          \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
            \datavisualization[school book axes, x axis ={include
              value=8}, y axis ={include value=9}] ;
            \draw (2,8) --(6,6) --(5,5) --cycle ;
            \draw[lightgray] (0,0) grid (8,9) ;
            \draw[only marks] plot[mark=*, mark
            options={fill=colLogo,draw=colLogoFort},mark size=4pt]
            coordinates{(2, 8) (3, 7) (4, 6)  (4, 7) (5, 5) (5, 6) (6, 6)} ;
          \end{tikzpicture}
          \caption{Les points de $E_{18}$}
          \label{fig_olymp_19A}
        \end{figure}
      \end{enumerate}
    \item\label{q_olymp_19Aa}
      \begin{enumerate}
      \item L'inégalité est transportée lorsqu'on ajoute $1$ au plus
        petit membre et $2$ au plus grand, la somme est la bonne.

      \item Pour que le triplet $\coord(x-1,y-1,z-1)$ appartienne à
        $E_{p-3}$, il faut que $z-1 < x-1 + y-1$, c'est-à-dire
        $z < x+y - 1$ Comme on a affaire à des entiers vérifiant
        $z < x+y$, il suffit que $z \not= x+y$ et que $x \not= 1$
        d'autre part pour que le nouveau triangle en soit un.

      \item Si $p$ est impair, l'égalité $x -1 + y-1 = z-1$ est
        impossible, attendu que $x-1 + y-1 + z-1$ doit être pair.

        % Soit $\coord(x,y,z) \in E_{p+3}$, on a donc $x+y+z = p+3$
        % qui
        % est
        % pair. $\coord(x-1,y-1,z-1)$, avec $x-1+y-1 = z-1$ est-il
        % élément de $E_p$ ?
        % On a $z = x+y -1$, soit $x+y+z = x+ y + x+y -1 = p+3$, soit
        % $2x+2y = p+4$, or un pair ne peut être égal à un impair.

        Il n'y a pas de triplet $\coord(1,y,z)$ dans $E_{p+3}$, car
        $1+y+z = p+3$ et $z < y+1$ conduisent à $p+3 < 2y+1$, ou
        $p+2 < 2y$, ce qui fait de $y$ la plus grande longueur à
        égalité avec $z$, mais $y+z$ est impair, puisque $p+3$ est
        pair.

        Les deux ensembles ont le même nombre d'éléments
      \end{enumerate}
    \item Étude de $E_{2019}$.
      \begin{enumerate}
      \item Oui, car $\num{2019} = 3 \times 673$.

      \item Deux sortes de triangles isocèles sont \emph{a priori} possibles
        : ceux dont les côtés égaux ont la plus petite longueur et
        ceux dont les côtés égaux ont la plus grande. Les triplets
        $\coord(x,x,z)$ tels que $2x + z = \num{2019}$ et $z > x$ vérifient
        car $3x < \num{2019} < 4x$, car $z < 2x$.  On a donc
        $x \in \lbrace 505, 506, \ldots,
        672\rbrace$. % 504 n'est pas dans la liste.

        Les triplets $\coord(x,z,z)$ tels que $x+2z = \num{2019}$ vérifient
        $ 674 < z < \num{1009}$ et donc
        $z \in \lbrace 675, 676, \ldots, \num{1008}, \num{1009}
        \rbrace$.% 1009 est dans la liste

        Il y a en tout $168 + 335 = 503$ triangles isocèles non
        équilatéraux dans $E_{\num{2019}}$.
      \item Le triplet correspond à un triangle rectangle de périmètre
        $\num{2019}$ si $x^2+y^2 = z^2$ et $x + y + z = \num{2019}$.  On a donc :
        \begin{align*}
          \num{2019}^2 & = x^2 + y^2 + z^2 + 2(x+y)z+ 2xy \\
                 & = x^2+y^2+z^2 + 2(x+y)(\num{2019} -x-y) + 2xy \\
                 &= x^2+y^2+z^2 + \num{4038}(x+y) -2(x+y)^2 + 2xy  \\
                 &= x^2+y^2 +z^2 + \num{4038}(x+y) -2x^2 -4xy -2y^2 +2xy \\
                 &= \num{4038}(x+y) - 2xy
        \end{align*}
        Mais ce dernier nombre est pair. Donc le problème n'a pas de
        solution.
      \end{enumerate}
    \item
      \begin{enumerate}
      \item Ces conditions sont celles données dans la définition.

      \item La somme des trois longueurs vaut bien $\num{2022}$, les deux
        conditions imposent $\num{2022} -x -y \geq y$, donc
        $\num{2022} -x - y > 0$, et $\num{2002} > y + \num{1012}$ qui donne l'ordre.

      \item Le triangle --- appelé ici $ABC$ par commodité --- est
        reproduit sur la figure \ref{fig_olymp_19B}. L'angle droit est
        à l'intersection des droites de pentes $1$ et $-1$. Les points
        à coordonnées entières de la droite d'équation $y =x$ sont les
        points d'abscisse entière comprise entre l'abscisse de $A$
        ($506$) et celle de $B$ ($674$). Les points à coordonnées
        entières sur le côté $AC$ d'équation $ y = \num{1012}-x$ sont aussi
        ceux dont l'abscisse est entière supérieure ou égale à $2$ et
        inférieure ou égale à $506$. Les points à coordonnées entières
        sur le côté $BC$ sont aussi ceux dont l'abscisse est paire
        (l'équation de la droite est $ y = \num{1011} - \frac{x}{2}$) et
        comprise entre $2$ et $674$. L'aire du triangle rectangle est
        $\num{84 672}$ (demi-produit des longueurs des
        cathètes\footnote{Côtés de L'angle droit dans un triangle
          rectangle.}).

    \begin{figure}[!h]
      \centering
      \pgfkeys{/pgf/number format/.cd,1000 sep={\,}} %FP
      \begin{tikzpicture}[scale=0.5,every node={inner sep=Opt}]
        \datavisualization[school book axes={unit=100}, x axis =
        {grid,grid={major=style=lightgray},include value=900}, y axis
        = {grid,include value=1100}, visualize as
        line/.list={d1,d2,d3},draw = colLogoFort ]
        data[set=d1,format=function] { var x : interval [0 : 900]
          samples 2 ; func y = 1 * \value x ; }
        data[set=d2,format=function] { var x : interval [0 : 900]
          samples 2 ; func y = -1 * \value x + 1012 ; }
        data[set=d2,format=function] { var x : interval [0 : 900]
          samples 2 ; func y = -0.5 * \value x + 1011 ; };

        % \fill[colLogoTeinte,draw=colLogoFort,line width = 1pt]
        % (5.06,5.06)
        % --(6.74,6.74) --(0.02,10.10) --cycle ;
        \coordinate[label=below:$A$] (A) at (5.06,5.06) {} ;
        \coordinate[label=above:$B$] (B) at (6.74,6.74) {} ;
        \coordinate[label=above right:$C$] (C) at (0.02,10.10) {} ;
        \coordinate (up west) at (0,11.0) ; \coordinate (up east) at
        (9.00,11.0) ; \coordinate (d1 east) at (9.00,9.00) ;
        \coordinate (d2 east) at (9.00,1.12) ; \coordinate (d3 east)
        at (9.00,5.61) ; \coordinate (down west) at (0,0) ;
        \coordinate (down east) at (9.00,0) ; \fill[colLogoFort,fill
        opacity=0.20] (C) --(up west) -- (up east) -- (d2 east)
        --cycle ; \fill[colLogo,fill opacity=0.20] (down west) --(d1
        east) -- (up east) -- (up west) --cycle ;
        \fill[colLogoTeinte,fill opacity=0.20] (C) --(d3 east) --
        (down east) -- (down west) --cycle ;
      \end{tikzpicture}
      \caption{Construction du triangle $ABC$}
      \label{fig_olymp_19B}
    \end{figure}


  \item On utilise la formule de Pick pour trouver le nombre de points
    intérieurs à partir de l'aire et du nombre de points sur le
    périmètre (attention à ne pas compter $A$, $B$ et $C$ deux
    fois). Il y a $169$ points entre $A$ et $B$ ; $505$ entre $A$ et
    $C$ ; $337$ entre $B$ et $C$. Il y a donc
    $168 + 505 + 337 -3 = \num{1008}$ points sur les côtés de $ABC$.

    Il y a alors, d'après la formule de Pick,
    $\num{84 672} - \frac{\num{1008}}{2} +1 = \num{84169}$ points à
    l'intérieur de $ABC$.

    Il y a donc $ \num{84169} + \num{1008} = \num{85177}$ triplets
    dans $E_{2022}$, nombre qui est le même d'après la
    question \ref{q_olymp_19Aa} que le nombre de triplets dans $E_{2019}$.
  \end{enumerate}
\item Une solution algorithmique

  Le programme doit permettre de faire la liste des triplets d'entiers
  $x$, $y$, $z$ pour lesquels $x+y+z = p$, $x+y > p$, et
  $x \leq y \leq z$. On commencera par déterminer les valeurs extrêmes
  de $z$, ce qui nécessite d'étudier la parité et la divisibilité par
  $3$ de $p$. On distinguera 6 cas (voir le tableau
  \ref{tab_olymp_19A}).

  \begin{table}[!h]
    \centering
    \begin{tabular}{*{3}{>{$}c<{$}}}
      \toprule
      \text{\emph{Il existe un entier $q$ tel que}}
      & \text{Valeur maximale de $z$}
      & \text{Valeur minimale de $z$} \\
      \midrule
      p =  6q\hphantom{\null-1}   & 3q-1 & 2q\hphantom{\null-1}    \\
      p = 6q - 1& 3q-1 & 2q -1 \\
      p = 6q - 2& 3q-2 & 2q -1 \\
      p = 6q - 3& 3q-2 & 2q -1 \\
      p = 6q - 4& 3q-3 & 2q -2 \\
      p = 6q - 5& 3q-3 &2q -2  \\
      \bottomrule
    \end{tabular}
    \caption{Les différents cas}\label{tab_olymp_19A}
  \end{table}
  Une fois déterminés ce minimum et ce maximum, on programme une
  boucle de $z_{\text{min}}$ à $z_{\text{max}}$. Dans cette boucle, à
  chaque valeur de $z$ sont associées successivement les valeurs de
  $y$ allant de $1$ à $z$. À chacune des valeurs de correspond au
  maximum une seule valeur de $x$ telle que $x+y+z = p$. Si cette
  valeur vérifie $x \leq y \leq z$ et $x+y > z$, elle est acceptée,
  sinon on passe à $x+1$.

  \emph{Autre déroulé} : on peut aussi utiliser une boucle For sur la
  plus petite des longueurs, $x$, et à chaque tour de boucle boucler
  sur $y$.

  On donne ici deux programmes python, de la recherche du nombre
  d'éléments dans $E_{\num{2019}}$.

\begin{center}
  \captionsetup{type=figure}
  \begin{tcblisting}{top=0mm,bottom=0mm,left=0mm,right=0mm,colframe=colLogoFort,listing
      only, title=Nombres d'éléments dans $E_{\num{2019}}$,
      fonttitle=\bfseries\small,colbacktitle=colLogoFort,
      listing options={language=python,style=afdmpython}}
def searchTriplet(p):
    """ recherche les triplets entiers (x,y,z)
    tel que x+y+z = p et (x,y,z) un triangle.  Version "naive"
    """
    resultat = []
    for z in range(1,p+1):
        for y in range(1,z+1):
        x = p - y - z
        if x <= y and y <= z and z < x+y and x < z+y and y < z +x :
        resultat.append((x,y,z))
    return resultat


def searchTriplet2(p):
    """
    On cherche à faire plus rapide que le
    searchTriplet
    """
    if p % 6 == 0 :
         q = p // 6 zmin = 2*q zmax = 3*q-1
    if p % 6 == 5 :
         q = (p+1) // 6 zmin = 2*q-1 zmax = 3*q-1
    if p % 6 == 4 :
         q = (p+2) // 6 zmin = 2*q-2 zmax = 3*q-2
    if p % 6 == 3 :
         q = (p+3) // 6 zmin = 2*q - 2 zmax = 3*q - 2
    if p % 6 == 2 :
         q = (p+4) // 6 zmin = 2*q-2 zmax = 3*q - 3
    if p % 6 == 1 :
         q = (p+5) // 6 zmin = 2*q-2 zmax = 3*q-3
    resultat = []
    for z in range(zmin,zmax+1):
         for y in range(1,z+1):
         x = p - y - z
         # print(x,y,z,x+y,x+y+z, c1 , c2)
         if x <= y and y <= z and z < x+y :
             resultat.append((x,y,z))

    return resultat

    print("Version lente") print(len(searchTriplet(2019)))
    print("Version rapide") print(len(searchTriplet2(2019)))
  \end{tcblisting}
\end{center}

Dans les deux cas la réponse fournit est : \num{85177}
\end{enumerate}
\end{CORRIGE}
\begin{CORRIGE}{2}
\Partie{Une fonction agissant sur les nombres entiers naturels}

\begin{enumerate}
\item La propriété 3 permet d'écrite $\Delta(p^2) = p\Delta(p) +
  p\Delta(p) = 2p\Delta(p) = 2p$, car $\Delta(p) = 1$ d'après la
  propriété 2.

  $\Delta(p^3) = p^2\Delta(p) + p \Delta(p^2) = p^2 + p \times 2p =
  3p^2$.

  On suppose que  $\Delta(p^n) = np ^{n+1}$, pour une certaine valeur
  de $n$.

  $\Delta(p^{n+1}) = p^n \Delta(p) + p \Delta(p^n) = p^n + p \times
  np^{n-1} = (n+1)p^n$.
\item
  \begin{enumerate}
  \item $\Delta (p^m \times q^n) = q^n \Delta(p^m) + p^m \Delta(q^n) =
    mq^n p^{m-1} + np^mq^{n-1} = p^{m-1}q^{n-1} (np+mq) $.
  \item En appliquant la question précédente avec $p=2$, $q=5$ et $n=m$, on obtient :
    $\Delta(10^n) = 2^{n-1} \times 5^{n-1} (2n + 5n) = 7n2^{n-1}
    \times 5^{n-1}$. On en déduit que $\Delta(10^n)$ est toujours un
    multiple de $7$, pour $n \geq 1$.
  \end{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item On a $ n = p_1^{a_1} N$ avec $N = p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times p_3^{\alpha_3}
    \times \ldots \times p_k^{\alpha_k}$

    $\Delta(n) = N \Delta(p_1^{\alpha_1}) + p_1^{\alpha_1} \Delta(N) = \alpha_1p_1^{\alpha_1-1}N
    + p_1^{\alpha_1} \Delta(N) = \alpha_1q_1 + p_2 \Delta(N)$.
    On recommence avec $N$, qui possède moins de facteurs premiers. On
    en déduit que :
    \[
      n = p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times p_3^{\alpha_3}
      \times \ldots \times p_k^{\alpha_k}
    \]
  \item Pour la propriété (2), on a $n = p$, donc $a_1 = 1$ et $q_1=1$
    donc $\Delta(n) = 1$.

    Pour la propriété (3), on rajoute les nombres premiers non
    présents dans $a$ et dans $b$, ce qui ne sont pas présents, auront
    des exposants nuls. On a alors $ a = p_1^{\alpha_1} \times
    p_2^{\alpha_2} \times \cdots p_k^{\alpha_k} $ et $ b = p_1^{\beta_1} \times
    p_2^{\beta_2} \times \cdots p_k^{\beta_k} $. On a alors
    $\Delta(a) = \alpha_1 q_1 + \alpha_2q_2 + \cdots + \alpha_kq_k$ et
    $\Delta(b) = \beta_1 r_1 + \beta_2r_2 + \cdots + \beta_kr_k$.

    Alors, $a \Delta(b) + b \Delta(b)$ contient des termes de la forme
    $a \alpha_iq_i + b \beta r_i$. Or $aq_i = bp_i$ car se sont deux
    manières d'exprimer le quotient de $ab$ par $p_i$. On a donc, $a
    \alpha_iq_i + b \beta r_i = (\alpha_i+ \beta_i)s_i$, avec $s_i$ le
    quotient de $ab$ par $p_i$ et $ (\alpha_i+ \beta_i)$ l'exposant de
    $p_i$ dans $ab$. La propriété (3) est donc bien vérifiée.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\Partie{Étude de quelques images d’entiers par la fonction \texorpdfstring{$\Delta$}{Delta}}

\begin{enumerate}[resume]
\item
  \begin{enumerate}
  \item
    \begin{itemize}
    \item\label{q_olymp_19Ab} $ 12 = 2^2 \times 3$, donc
      $\Delta(12) = 2 \times 6 + 1 \times 4 = 16$.
    \item $ 56 = 2^3 \times 7 $, donc $\Delta(56) = 3 \times 28 + 1
      \times 8 = 92$.
    \item $\num{1001} = 7 \times 11 \times 13 $ donc $\Delta(1001) = 1
      \times 143 + 1 \times 91 + 1 \times 77 =  311$.
    \end{itemize}
  \item Pour $n \geq 2$, $\Delta(n)$ est une somme d'entier positif,
    donc est non nulle. Les seules solutions sont donc $0$ et $1$.
  \item Tous les nombres premiers $p$ vérifient $\Delta(p)= 1$. Si $p$
    est composé, la formule qui donne $\Delta(p)$ est une somme
    d'entier positif. Pour qu'elle soit égale à $1$, il faudrait que
    tous les termes soient nuls sauf $1$, et le produit de deux
    entiers n'égal à $1$ que si les deux facteurs sont $1$, ce qui
    n'est pas possible.

    Donc, les solutions de $\Delta(x) = 1$ sont les nombres premiers.
  \item $2$ n'a pas d'antécédent par $\Delta$, car il faudrait deux
    termes égaux à $1$, ce qui n'est pas possible, ou un terme égal à
    $2$. Mais dans ce cas là, un deuxième $2$ apparaît.
  \item $\Delta(n) \leq n$ n'est pas toujours, comme le prouve la
    question \ref{q_olymp_19Ab}.
  \end{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item  $\Delta(p \times q) = q \Delta(p) + p \Delta(q) = p+q$.
  \item $\Delta(12) = 16$, et $12 = 4 \times 3$. On a bien
    $\Delta(a \times b) != a + b$.
  \end{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item $\Delta(56) = 92$, et $56 = 49 + 7$, or $\Delta(49) = 14$ et
    $\Delta(7) =1$. Donc $\Delta(a+b) != \Delta(a)+\Delta(b)$.
  \item On a :
    \begin{align*}
      \Delta(ka+kb) &= \Delta(k(a+b)) = \\
                    & = k \Delta(a+b) + (a+b) \Delta(k)\\
                    & = k \Delta(a) + k \Delta(b) + a \Delta(k) + b
                      \Delta(k) \\
                    &= \Delta(ka) + \Delta(kb)
    \end{align*}
  \end{enumerate}

\end{enumerate}
\Partie{Les points fixes de la fonction}
\begin{enumerate}[resume]
\item
  \begin{enumerate}
  \item $ m = kp^p$, $\Delta(m) = k \Delta(p^p) + p^p \Delta(k) = k p
    p^{p-1} + p^p \Delta(k) = p^p (k + \Delta(k))$. Donc, $\Delta(m)$
    est un multiple de $p^p$.
  \item $n$ est de la forme $ n = p^\alpha p_2^{\alpha_2} \cdots
    p_k^{\alpha_k}$.

    $\Delta(n) = \alpha q + \alpha_2 q_2 + \cdots + \alpha_k$, avec
    $q$ un multiple de $p^{\alpha-1}$ et $q_i$ un multiple de
    $p^{\alpha}$. On peut donc factoriser $\Delta(n)$ par
    $p^{\alpha-1}$. $\Delta(n) = p^{\alpha-1}\left(\alpha q' +
      \alpha_2 q'_2 + \cdots + \alpha_kq'_k\right)$. Comme $\alpha <
    p$, on ne peut pas dans le deuxième facteur mettre $p$ en
    facteur. On en déduit que $\alpha-1$ est l'exposant de $p$ dans la
    décomposition en facteur premier de $\Delta(n)$.
  \end{enumerate}
\item $p^p$ est solution de l'équation. Maintenant, si $x$ est un
  entier, soit il existe un entier premier $p$ dans la décomposition
  de $x$ tel que $ \alpha < p$, alors la question précédente assure
  que $x$ n'est pas solution de l'équation. Maintenant si tous les
  facteurs premiers $p_i$ ont des exposants $\alpha_i$ vérifiant $p_i
  < \alpha_i$, le même argument que précédemment assure que $x$ n'est
  pas solution de l'équation.
\end{enumerate}
\end{CORRIGE}
\begin{CORRIGE}{3}
  \begin{enumerate}
  \item Ce sont les mots qui ne contiennent pas de lettre A.
  \end{enumerate}

\Partie{Traitement de texte}

  \begin{enumerate}[resume]
  \item On obtient le mot : \StrSubstitute{A}{A}{AGADADAGA}[\motif]\motif,
    puis (en ajoutant des espaces qui facilitent la lecture).

    \StrSubstitute{\motif}{A}{ AGADADAGA }[\motif]\motif.
  \item À chaque remplacement d'un A, on a $5$ nouveau A. Le nombre de
    A est donc multiplié par $5$ à chaque exécution. On a donc une
    suite géométrique de raison $5$ et de premier terme $1$. On
    cherche donc $n$ tel que $5^n > \num{e9}$. Une recherche
    exhaustive donne donc $ n = 13$.
  \item À chaque étape, on a le double des A présents à l'étape
    précédente, plus les D présents à l'étape précédente.

    On note $d_n$ le nombre de D et $a_n$ le nombre de A à l'étape
    $n$. On a $d_1 = 0$ et $a_1 = 0$.

    Alors $d_n = 2a_{n-1} + d_{n-1} = 2a_{n-1}+2a_{n-2}+d_{n-2} =
    2a_{n-1}+2a_{n-2}+ \cdots + 2$. Il faut donc faire la somme d'une
    suite géométrique de raison $5$ et de premier terme $1$, puis
    doubler le résultat.
    \[
      d_n = 2 \frac{5^{n}-1}{5-1} = \frac{5^n-1}{2}\cdotp
    \]
    Pour $ n = 20$, cela donne \num{47683715820312} lettres D.
  \end{enumerate}
  \Partie{Motif}
  \begin{enumerate}[resume]
  \item  Le mot obtenu par Astrid était :  ADADAGA.
  \item On obtient le motif de la figure \ref{fig_olymp_19Ag}.
    \begin{figure}[!h]
      \centering
      \begin{tikzpicture}
        \tikzset{cross/.pic={\draw (-2pt,-2pt) -- (2pt,2pt) ; \draw
          (-2pt,2pt)--(2pt,-2pt) ;}}
        \draw[colLogoFort,line width=1pt,turtle=
        {home,rt,fd,lt,fd,rt,fd,rt,fd,lt,fd,lt,fd,
          lt,fd,rt,fd,rt,fd,lt,fd,rt,fd,lt,fd,rt,
          fd,rt,fd,lt,fd,rt,fd,lt,fd,rt,fd,rt,fd,
          lt,fd,lt,fd,lt,fd,rt,fd,rt,fd,lt,fd,}] ;
        \draw[colLogoFort,line width=1pt] (0,0) pic {cross} ;
      \end{tikzpicture}
      \caption{Motif obtenu en partant de A et en exécutant deux fois
        le programme.}
      \label{fig_olymp_19Ag}
    \end{figure}
  \item Elle a pris comme motif de remplacement : ADAGAGAADADAGA.
  \item
    \begin{enumerate}
    \item On obtient la figure \ref{fig_olymp_19Ah}. Elle est de
      largeur 1.
      \begin{figure}[!h]
        \centering
        \begin{tikzpicture}
        \draw[lightgray] (-1,-1) grid (2,3) ;
        \tikzset{cross/.pic={\draw (-2pt,-2pt) -- (2pt,2pt) ; \draw
            (-2pt,2pt)--(2pt,-2pt) ;}}
        \draw[colLogoFort,line width=1pt,turtle={home,rt,fd,lt,fd,lt,fd,rt,fd,}] ;
        \draw[colLogoFort,line width=1pt] (0,0) pic {cross} ;
      \end{tikzpicture}
        \caption{Motif obtenu à partir de AGAGADA}
        \label{fig_olymp_19Ah}
      \end{figure}
    \item La figure \ref{fig_olymp_19Ai} montre la figure de longueur
      $1$ qui est la plus petite possible, obtenue avec le mot
      AGAGAGAGAGAGAGAGAGAGADADADADADADADADADADA, et deux motifs de
      longueur maximum $11$, respectivement
      AGADADAGAGADADAGAGADADAGAGADADAGAGADADAGA et
      AGADAGADAGADAGADAGADAGADAGADAGADAGADAGADA.

      \begin{figure}[!h]
        \centering
        \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
          \draw[lightgray] (-1,-1) grid (2,3) ;
          \tikzset{cross/.pic={\draw (-2pt,-2pt) -- (2pt,2pt) ; \draw
              (-2pt,2pt)--(2pt,-2pt) ;}} \draw[colLogoFort,line
          width=1pt,turtle={home,rt,fd,lt,fd,lt,fd,lt,fd,lt,fd,lt,fd,lt,fd,lt,fd,lt,fd,lt,fd,lt,fd,rt,fd,rt,fd,rt,fd,rt,fd,rt,fd,rt,fd,rt,fd,rt,fd,rt,fd,rt,fd,}]
          ; \draw[colLogoFort,line width=1pt] (0,0) pic {cross} ;
        \end{tikzpicture}
      \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
        \draw[lightgray] (-1,-1) grid (12,2) ;
        \tikzset{cross/.pic={\draw (-2pt,-2pt) -- (2pt,2pt) ; \draw
            (-2pt,2pt)--(2pt,-2pt) ;}} \draw[colLogoFort,line
        width=1pt,turtle={home,rt,fd,lt,fd,rt,fd,rt,fd,lt,fd,lt,fd,rt,fd,rt,fd,lt,fd,lt,fd,rt,fd,rt,fd,lt,fd,lt,fd,rt,fd,rt,fd,lt,fd,lt,fd,rt,fd,rt,fd,lt,fd,}]
        ; \draw[colLogoFort,line width=1pt] (0,0) pic {cross} ;
      \end{tikzpicture}
      \caption{Motifs obtenus avec $10$ GA et $10$ DA}
      \label{fig_olymp_19Ai}
    \end{figure}

      Si en partant de AGADADAGAGADADAGAGADADAGAGADADAGAGADADAGA, on
      remplace les $6$ dernières lettres par GADADA, on diminue la
      longueur de $1$.

      En partant toujours du même motif, mais en remplaçant les $12$
      dernières lettres par GADADAGADADA, on obtient un motif de
      longueur $7$. En continuant, ainsi on obtiendrait les motifs de
      longueur $5$, $3$ et $1$.

      En considérant les groupes de $4$ lettres, après le premier A,
      on a GADA ou DAGA qui augmentent la longueur du motif de $1$ et
      GAGA et DADA qui diminuent la longueur de $1$. La longueur du
      motif ne peut donc pas être paire.

      On peut aussi penser à une énumération complète de tous les
      motifs (\num{184756}) et de faire calculer la longueur de chaque
      motif. Tous les  motifs ont une longueur impaire.
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{CORRIGE}
