% !-*-coding:utf-8-*-
\documentclass[10pt,french]{book}

\usepackage{apmepOlym}
% Package pour circuits électriques
\usepackage{circuitikz}
% Package pour géométrie plane
\usepackage{tkz-euclide}
\annee{2020}

%Macro pour tracé des cercle de Ford
\newcommand{\drawcircle}[2]{%
   \pgfmathparse{1/(2*#2*#2)}
   \let\tempradius\pgfmathresult
   \draw (#1/#2,\tempradius) circle (\tempradius);
 }
 
\begin{document}

\chapter{Asie - Pacifique - Nouvelle Calédonie - Polynésie Française}
\label{chap:2020.APNP}

\Opensolutionfile{Cor}[Corrige]

L’épreuve se déroule en deux parties indépendantes de deux heures chacune. Les
énoncés des deux parties sont donc séparés et distribués séparément à des
moments différents.

La première partie est constituée des exercices nationaux. À son issue, les
copies sont ramassées et une pause de cinq à quinze minutes est prévue, avant la
seconde partie, constituée des exercices académiques.

Des consignes de confinement peuvent être données selon la zone géographique de passation de l’épreuve.
Les calculatrices sont autorisées selon la réglementation en vigueur.

Il est conseillé aux candidats qui ne pourraient formuler une réponse complète à
une question d’exposer le bilan des initiatives qu’ils ont pu prendre. Les
énoncés doivent être rendus au moment de quitter définitivement la salle de
composition.

La première partie de l’épreuve contient trois exercices.
Les candidats de voie générale ayant suivi l’enseignement de spécialité de
mathématiques doivent traiter les exercices nationaux \Ref{2020.APNP:exo1} et \Ref{2020.APNP:exo2}.

Les autres candidats doivent traiter les exercices nationaux
\Ref{2020.APNP:exo1} et \Ref{2020.APNP:exo3}.
\newpage

\begin{Enonce}[Addition du cancre, suites de Farey et cercles de Ford]{} \label{2020.APNP:exo1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \begin{Corrige}
      \textbf{Partie A.}
      \begin{enumerate}
      \item $\frac{2}{3} \oplus \frac{4}{5} = \frac{2+4}{3+5} = \frac{6}{8} =
        \frac{3}{4}$ \qquad
        $\frac{4}{6} \oplus \frac{4}{5} = \frac{4+4}{6+5} = \frac{8}{11}$\\
        Si l'une des fractions n'est pas irréductible, alors le résultat du
        calcul sera différent du même calcul en remplaçant la fraction non
        irréductible par la fraction irréductible.
      \item $(1 \oplus 1) \oplus 2 =
        \left( \frac{1}{1} \oplus \frac{1}{1} \right) \oplus \frac{2}{1} =
        \frac{2}{2} \oplus \frac{2}{1} = \frac{1}{1} \oplus \frac{2}{1}  = \frac{3}{2}$ \\
       $1 \oplus (1 \oplus 2) =
         \frac{1}{1} \oplus\left( \frac{1}{1}  \oplus \frac{2}{1} \right)=
         \frac{1}{1} \oplus \frac{3}{2} = \frac{4}{3}$ \\
         On constate que les résultats sont différents. Les parenthèses sont
         obligatoires pour connaître l'opération à faire en  priorité.
       \item $2 \times \left( \frac{1}{2} \oplus \frac{1}{3} \right) = 2\times
         \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$ \qquad
         $\frac{2}{2} \oplus \frac{2}{3} = \frac{1}{1} \oplus \frac{2}{3} = \frac{3}{4}$\\
         On constate que les résultats sont différents. Les parenthèses sont
         obligatoires pour connaître l'opération à faire en  priorité.
       \item Les calculs suivants sont valables lorsque $a$ et $c$ sont non nuls.\\
        $\frac{1}{x} \oplus \frac{1}{y} = \frac{b}{a} \oplus \frac{d}{c} =
         \frac{b+d}{a+c}$ \qquad
         $\frac{1}{x \oplus y} = \frac{1}{\frac{a}{b} \oplus \frac{c}{d}} =
         \frac{1}{\frac{a+c}{b+d}} = \frac{b+d}{a+c}$\\
         Ainsi : $\frac{1}{x} \oplus \frac{1}{y} = \frac{1}{x \oplus y}$
      \end{enumerate}
      \textbf{Partie B}
      \begin{enumerate}
      \item
        \begin{center}
          \begin{tikzpicture}
            \tikzstyle{fraction}=[draw,rectangle,rounded corners=3pt]
            \node[draw,fraction] (P0) at (0,0) {$\frac{0}{1}$};
            \node[draw,fraction] (P1) at (10,0) {$\frac{1}{1}$};
            \node[draw,fraction] (P2) at (5,-1) {$\frac{1}{2}$};
            \node[draw,fraction] (P3) at (3.33,-2) {$\frac{1}{3}$};
            \node[draw,fraction] (P4) at (6.66,-2) {$\frac{2}{3}$};
            \node[draw,fraction] (P5) at (2,-3) {$\frac{1}{4}$};
            \node[draw,fraction] (P6) at (4.5,-3) {$\frac{2}{5}$};
            \node[draw,fraction] (P7) at (5.5,-3) {$\frac{3}{5}$};
            \node[draw,fraction] (P8) at (8,-3) {$\frac{3}{4}$};
            \node[draw,fraction] (P9) at (1,-4.5) {$\frac{1}{5}$};
            \node[draw,fraction] (P10) at (3,-4.5) {$\frac{2}{7}$};
            \node[draw,fraction] (P11) at (4,-4.5) {$\frac{3}{8}$};
            \node[draw,fraction] (P12) at (4.7,-4.5) {$\frac{3}{7}$};
            \node[draw,fraction] (P13) at (5.3,-4.5) {$\frac{4}{7}$};
            \node[draw,fraction] (P14) at (6,-4.5) {$\frac{5}{8}$};
            \node[draw,fraction] (P15) at (7,-4.5) {$\frac{5}{7}$};
            \node[draw,fraction] (P16) at (9,-4.5) {$\frac{4}{5}$};            
            \draw (P0) --
            (P1) -- (P2) -- (P0); \draw (P0) -- (P3) -- (P2) -- (P4) -- (P1);
            \draw (P0) -- (P5) -- (P3) -- (P6) -- (P2) -- (P7) -- (P4) -- (P8)
            -- (P1);
            \draw (P0) -- (P9) -- (P5) -- (P10) -- (P3) -- (P11) -- (P6) -- (P12)
            -- (P2) -- (P13)  -- (P7) -- (P14) -- (P4) -- (P15) -- (P8) -- (P16) -- (P1);
          \end{tikzpicture}
        \end{center}
        $ F_4 = \left(\frac 01,\, {\color{Green}\frac14},\, \frac13,\,
          \frac12,\, \frac23,\, {\color{Green}\frac34},\, \frac11 \right)$ \qquad
        $ F_5 = \left(\frac 01,\, {\color{Green}\frac15},\, \frac14,\,
          \frac13,\, {\color{Green}\frac25},\, \frac12,\,
          {\color{Green}\frac35},\, \frac23,\, \frac34,\,
          {\color{Green}\frac45},\, \frac11 \right)$ \\
        $F_6 = \left(\frac 01,\, {\color{Green}\frac16},\, \frac15,\,
          \frac14,\, \frac13,\, \frac25,\, \frac12,\, \frac35,\, \frac23,\,
          \frac34,\, \frac45,\, {\color{Green}\frac56},\, \frac11 \right)$ 
        
      \item Les termes de la suite $F_{n+1}$ sont des fractions irréductibles
        comprises entre 0 et 1 de dénominateur inférieur ou égal à $n+1$. Ainsi
        les fractions irréductibles de dénominateur inférieur à $n$ font partie de $F_{n+1}$.
        Donc les termes de la suite $F_n$ sont dans $F_{n+1}$.
      \item Soit $n > 0$.  Considérons deux fractions consécutives de $F_{n+1}$ que l'on notera
        $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$. Supposons que ces deux fractions
        n'appartiennent pas $F_n$. Elles seront de la forme $\frac{a}{n+1}$ et
        $\frac{b}{n+1}$. Comme elles sont consécutives, on peut même considérer
        qu'elles sont de la forme $\frac{a}{n+1}$ et $\frac{a+1}{n+1}$. \\
        Considérons la fraction $\frac{a}{n+1} + \frac{a}{n(n+1)}$. Cette fraction
        est bien entre $\frac{a}{n+1}$ et $\frac{a+1}{n+1}$ car
        $\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{n+1}$.\\
        Or $ \frac{a}{n+1} + \frac{a}{n(n+1)} = \frac{an}{n(n+1)} +
        \frac{a}{n(n+1)} = \frac{a(n+1)}{n(n+1)} = \frac{a}{n} $.  \\
        Ainsi la fraction précédente appartient à $F_n$. 
      \item Voici une trace de l'algorithme lors de l'appel de
        \texttt{mystere(0.5)} : 
        \begin{center}
          \begin{tabular}{*{6}{|c}|}\hline
            a&b&c&d&e&f \\\hline
             0&1&1&1&& \\\hline
             &&&&1&2 \\\hline
             0&1&1&2&& \\\hline
             &&&&1&3 \\\hline
             1&3&1&2&&\\\hline
             &&&&2&5 \\\hline
             2&5&1&2&&\\\hline
          \end{tabular}
        \end{center}
        Le  retour de \texttt{mystere(0.5)} est \texttt{(2,5,1,2)}. Cet
        algorithme retourne \texttt{a,b,c,d} tels que $\frac{a}{b} < x \leq
        \frac{c}{d} $ avec $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ des fractions de $F_5$.
      \end{enumerate}

      \textbf{Partie C}
      \begin{enumerate}
      \item $A \coord(\frac{a}{b};\frac{1}{2b^2})$ et $B \coord(\frac{c}{d}
        ; \frac{1}{2d^2})$
      \item
        \begin{align*}
          AB^2 & = (x_B-x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 \\
               & = \left( \frac{c}{d} - \frac{a}{b} \right)^2 + \left( \frac{1}{2b^2} - \frac{1}{2d^2} \right)^2 \\
               & = \left( \frac{\mathbf{1}}{bd} \right)^2 + \left( \frac{d^2-b^2}{2b^2d^2} \right)^2 & \text{car } bc-ad = \mathbf{1} \text{d'après la question \textbf{B.4.}}
          \\
               & = \frac{4b^2d^2 + d^4 - 2b^2d^2 + b^4 }{4b^4d^4} \\
              & = \frac{\left(b^2+d^2\right)^2}{4b^4d^4} 
        \end{align*}

        Ainsi $AB = \frac{b^2+d^2}{2b^2d^2} $. Or $\frac{1}{2b^2}+\frac{1}{2d^2}
        = \frac{d^2+b^2}{2b^2d^2}$.
      \item Si on note $r_1$ et $r_2$, les rayons des cercles de Ford. On a $r_1
        = \frac{1}{2b^2}$ et $r_2=\frac{1}{2d^2}$. \\
        On constate, d'après  la question précédente, que $AB = r_1 + r_2 $, ainsi les deux cercles sont tangents.

      \end{enumerate} 
    \end{Corrige}
%%%%%%%%%%%%%%%%%

  
  Dans tout l'énoncé $a$, $b$, $c$ et $d$ désignent des entiers naturels, avec
  $b \neq 0$ et $d \neq 0$.

  \section{Partie A : L'addition du cancre}
  \label{sec:APNP:exo1:partieA}

  Le bon élève sait que, pour additionner deux fractions $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ , il faut d’abord
  réduire ces fractions au même dénominateur.

  Toutefois, pour $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ deux fractions irréductibles, on
  définit « l’addition du cancre », notée $\oplus$ par : $\frac{a}{b} \oplus
  \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}$.

  Ainsi, si avec l'addition standard, $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$, on
  aura avec « l’addition du cancre » $\frac{1}{2} \oplus \frac{1}{3} =
  \frac{1+1}{2+3} = \frac{2}{5}$.

  \begin{enumerate}
  \item Calculer $\frac{2}{3} \oplus \frac{4}{5}$ puis $\frac{4}{6} \oplus
    \frac{4}{5}$.\\
    Pourquoi est-il important de supposer $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$
    irréductibles ?   
  \item Justifier que $\left(1 \oplus 1 \right) \oplus 2 = \frac{3}{2}$ et que
    $1 \oplus \left(1 \oplus 2 \right) = \frac{4}{3}$. \\
    Que dire de la nécessité des parenthèses? \textit{On dit que l'addition des
      cancres n'est pas associative}.
  \item Justifier que $2\times \left( \frac{1}{2} \oplus \frac{1}{3} \right) =
    \frac{4}{5}$ et calculer $\frac{2}{2} \oplus \frac{2}{3}$.\\
    Que dire de la nécessité des parenthèses? \textit{On dit que l'addition des 
      cancres n'est pas distributive}.
  \item Justifier que si $x=\frac{a}{b}$ et $y = \frac{c}{d}$ sont des fractions
    irréductibles,\\ alors $\frac{1}{x} \oplus \frac{1}{y} = \frac{1}{x \oplus y}$.
  \end{enumerate} \newpage


\section{Partie B : Suites de Farey}
\label{sec:APNP:exo1:partieB}

  Pour tout entier $n>1$, on appelle \textbf{suite de Farey} d’ordre $n$, notée $F_n$, la liste, rangée dans l’ordre
  croissant, des fractions irréductibles comprises entre 0 et 1, dont le
  dénominateur ne dépasse pas $n$.

  Par exemple, en remarquant que $0=\frac{0}{1}$ et $1=\frac{1}{1}$ on a :
  \[ F_1 = \left( \frac{0}{1} , \frac{1}{1} \right) \quad
    F_2 = \left( \frac{0}{1}, \frac{1}{2} , \frac{1}{1} \right) \quad
    F_3 = \left( \frac{0}{1} , \frac{1}{3} , \frac{1}{2} , \frac{2}{3} ,
      \frac{1}{1} \right) \quad \ldots \]

  Le diagramme \Ref{fig:2020.APNP.Farey1} ci-dessous permet alors de représenter les différents termes des
  suites de Farey.

  \begin{figure}[!h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      \tikzstyle{fraction}=[draw,rectangle,rounded corners=3pt]
      \node[draw,fraction] (P0) at (0,0) {$\frac{0}{1}$};
      \node[draw,fraction] (P1) at (10,0) {$\frac{1}{1}$};
      \node[draw,fraction] (P2) at (5,-1) {$\frac{1}{2}$};
      \node[draw,fraction] (P3) at (3.33,-2) {$\frac{1}{3}$};
      \node[draw,fraction] (P4) at (6.66,-2) {$\frac{2}{3}$};
      \node[draw,fraction] (P5) at (2,-3) {$\frac{1}{4}$};
      \node[draw,fraction] (P6) at (4.5,-3) {$\frac{2}{5}$};
      \node[draw,fraction] (P7) at (5.5,-3) {$\frac{3}{5}$};
      \node[draw,fraction] (P8) at (8,-3) {$\frac{3}{4}$};
      \draw (P0) -- (P1) -- (P2) -- (P0);
      \draw (P0) -- (P3) -- (P2) -- (P4) -- (P1);
      \draw (P0) -- (P5) -- (P3) -- (P6) -- (P2) -- (P7) -- (P4) -- (P8) -- (P1);
    \end{tikzpicture}
    \caption{Diagramme des suites de Farey}
    \label{fig:2020.APNP.Farey1}
  \end{figure}

  \begin{enumerate}
    \item Recopier et compléter le diagramme précédent, et déterminer $F_4$,
      $F_5$ et $F_6$.
    \item Justifier que pour tout $n \geq 1$, les termes d'une suite $F_n$ sont
      aussi des termes de $F_{n+1}$.
    \item Montrer que pour tout $n \geq 1$, si $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$
      sont deux fractions consécutives de $F_{n+1}$, avec $\frac{a}{b} <
      \frac{c}{d}$, alors l'une au moins de ces deux fractions appartient à
      $F_n$.  
    \item 
      \begin{olympAlert}{}
        Soient $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ deux fractions consécutives dans
        cet ordre d'une suite de Farey. \\
        On admet pour toute la suite de l'énoncé que dans ce cas, on a $bc-ad=1$
      \end{olympAlert}
      Montrer qu'alors $ \frac{a}{b} < \frac{a}{b} \oplus \frac{c}{d} <
      \frac{c}{d}$

      \medskip
      
      Un candidat attentif remarquera que, plus précisément,$\frac{a+c}{b+d}$
      est la première fraction qui apparaît  entre $\frac{a}{b}$ et
      $\frac{c}{d}$ dans la suite de Farey d’ordre supérieur. Ce résultat ne
      sera pas démontré ici.
    \item Voici un algorithme écrit dans le langage \texttt{python}. Si \texttt{x} est un réel
      entre 0 et 1, que représentent les valeurs \texttt{a}, \texttt{b},
      \texttt{c} et \texttt{d} renvoyées ?

      \begin{center}
        \captionsetup{type=figure}
        \begin{tcblisting}{top=0mm,bottom=0mm,left=0mm,right=0mm,colframe=colLogoFort,listing
            only, title=Algorithme mystere,
            fonttitle=\bfseries\small,colbacktitle=colLogoFort,listing
            options={language=python,style=afdmpython}}
def mystere(x):
    a=0
    b=1
    c=1
    d=1
    while b+d <= 6:
        e = a+c
        f = b+d
        if (e/f) < x:
            a = e
            b = f
        else:
            c = e
            d = f
    return (a, b, c, d)
        \end{tcblisting}
      \end{center}

      
    \end{enumerate}

    \section{Partie C : Cercles de Ford}
    \label{sec:APNP:exo1:PartieC}

    On appelle \textbf{cercle de Ford} associé à une fraction irréductible
    $\frac{p}{q}$ le cercle de coordonnées $\coord(\frac{p}{q} ,
    \frac{1}{2q^2})$ et de rayon $\frac{1}{2q^2}$. On peut alors représenter les
    différentes suites de Farey avec des cercles de Ford. Par exemple, la suite
    $F_3$ se représente par les différents cercles de la figure \Ref{fig:2020.APNP.Ford1}

    \begin{figure}[!h]
      \centering
      \def\fordN{3}
      \def\fordA{0}
      \def\fordB{1}
      \def\fordC{1}
      \let\fordD\fordN
      \begin{tikzpicture}[scale=2.5]
        \drawcircle{\fordA}{\fordB}
        \foreach \i in {0,...,3}{%
          \pgfmathparse{\fordN+\fordB}\global\let\fordK\pgfmathresult
          \pgfmathparse{floor(\fordK/\fordD)}\global\let\fordK\pgfmathresult
          \pgfmathparse{\fordK*\fordC}\global\let\fordE\pgfmathresult
          \pgfmathparse{\fordE-\fordA}\global\let\fordE\pgfmathresult
          \pgfmathparse{\fordK*\fordD}\global\let\fordF\pgfmathresult
          \pgfmathparse{\fordF-\fordB}\global\let\fordF\pgfmathresult
          \global\let\fordA\fordC
          \global\let\fordB\fordD
          \global\let\fordC\fordE
          \global\let\fordD\fordF
          \drawcircle{\fordA}{\fordB}
        }
        \draw[->] (-1,0) -- (2,0);
        \draw (0,0) node[] {$\bullet$} node[below] {$\frac{0}{1}$};
        \draw (1,0) node[] {$\bullet$} node[below] {$\frac{1}{1}$};
        \draw (0.5,0) node[] {$\bullet$} node[below] {$\frac{1}{2}$};
        \draw (0.33,0) node[] {$\bullet$} node[below] {$\frac{1}{3}$};
        \draw (0.66,0) node[] {$\bullet$} node[below] {$\frac{2}{3}$};
      \end{tikzpicture}
      \caption{Cercles de Ford de la suite $F_3$}
      \label{fig:2020.APNP.Ford1}
    \end{figure}

    L'objectif de cette partie est de démontrer la propriété suivante :
    \begin{olympAlert}{}
      Les cercles de Ford associés à deux termes consécutifs d'une même suite de
      Farey sont tangents entre eux.
    \end{olympAlert}

    \begin{enumerate}
    \item Préciser les coordonnées de $A$ et $B$, centres des cercles de Ford
      associés à $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$, où $\frac{a}{b}$ et
      $\frac{c}{d}$ sont deux fractions consécutives d'une même suite de Farey.
    \item Montrer alors que $AB = \frac{1}{2b^2} + \frac{1}{2d^2}$.
    \item Conclure
    \end{enumerate}

    
  \end{Enonce}


  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{Enonce}[Les mathématiques Wasan ]{} \label{2020.APNP:exo2}


  \begin{Corrige}
    \begin{enumerate}
    \item
      \begin{enumerate}
      \item
          La médiane issue d'un sommet dans un triangle équilatéral est aussi la
          médiatrice issue de ce sommet. Ainsi le triangle $AHB$ ci contre est
          rectangle en $H$. D'après le théorème de Pythagore :\\
          \begin{minipage}{0.70\linewidth}
            \begin{align*}
            BC^2 &= CH^2 + HB^2 \\
            a^2 &= \left( \frac{a}{2} \right)^2 + CH^2 \\
            CH^2 &= \frac{3}{4}a^2 
          \end{align*}
          Ainsi, $CH = \frac{\sqrt{3}}{2}a$.\\
          Or, d'après l'énoncé $CO = \frac{2}{3}CH = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{3}a$
        \end{minipage}
        \begin{minipage}{0.30\linewidth}
          \begin{tikzpicture}[scale=0.6]
            % fixed points
            \tkzDefPoint(0,0){A} \tkzDefPoint(4,-1){B}
            \tkzDefTriangle[equilateral](A,B) \tkzGetPoint{C}
            % calculus
            \tkzDefTriangleCenter[centroid](A,B,C) \tkzGetPoint{O}
            \tkzDefCircle[through](O,A)
            % drawings
            \tkzDrawPolygon(B,A,C) \tkzDrawPoints(O)
            \tkzDrawCircle(O,A)
            \tkzInterLL(A,B)(C,O) \tkzGetPoint{H}
            % marking
            % labelling
            \tkzLabelSegment[below](H,B){\scriptsize $\frac{a}{2}$}
            \tkzLabelSegment[right](B,C){\scriptsize $a$}
            \tkzAutoLabelPoints[center=O](A,B,C,H)
            \tkzMarkRightAngle[fill=red!20](C,H,A)
            \tkzDrawSegment(H,C)\tkzLabelPoints(O)
            \tkzMarkSegment[color=gray,mark=s||](H,B)\tkzMarkSegment[color=gray,mark=s||](A,H)
          \end{tikzpicture}
        \end{minipage}
      \item \ \\
        \begin{minipage}{0.70\linewidth}
          $TO = TA + AO = r + \frac{\sqrt{3}}{3} \times 2r = r \left( 1 +
            \frac{2\sqrt{3}}{3} \right)$
        \end{minipage}
        \begin{minipage}{0.30\linewidth}
          \begin{tikzpicture}[scale=0.3]
            % fixed points
            \tkzDefPoint(0,0){A} \tkzDefPoint(4,1){B}
            \tkzDefTriangle[equilateral](A,B) \tkzGetPoint{C}
            % calculus
            \tkzDefTriangleCenter[centroid](A,B,C) \tkzGetPoint{O}
            \tkzDefMidPoint(A,B) \tkzGetPoint{I} \tkzDefMidPoint(C,B)
            \tkzGetPoint{J} \tkzInterLC(A,O)(A,I) \tkzGetPoints{M1}{M2}
            % drawings
            \tkzDrawPolygon[dashed](B,A,C) \tkzDrawPoints(A,B,C,O,M1)
            \tkzDrawCircle(A,I) \tkzDrawCircle(B,I) \tkzDrawCircle(C,J)
            \tkzDrawCircle[very thick](O,M1)
            % labelling
            \tkzLabelPoints[font=\scriptsize](O,A)
            \tkzLabelPoint[font=\scriptsize,left](M1){T}
            \draw (O) -- (M1);
          \end{tikzpicture}
        \end{minipage}
      \end{enumerate}
    \item
      \begin{enumerate}
      \item On suppose que $r_1 > r_2$. D'après le théorème de Pythagore dans le
        triangle rectangle $EO_1O_2$
        \begin{align*}
          {EO_2}^2 + {EO_1}^2 &= {O_1O_2}^2 \\
          \left( r_1 - r_2 \right)^2 + AB^2 &= \left( r_1 + r_2 \right)^2 \\
          AB^2 &= (r_1+r_2)^2 - (r_1-r_2)^2 \\
          AB^2 &= (r_1+r_2+r_1-r_2)(r_1+r_2-(r_1-r_2))  \\
          AB^2 &= 2r_1\times 2r_2 \\
                 AB^2 &= 4r_1r_2 
        \end{align*}
        
      \item
        \begin{enumerate}
        \item
          \begin{center}
            \begin{tikzpicture}
              \tkzDefPoints{0/0/A,sqrt(24)/0/B,0/3/O1,sqrt(24)/2/O2}
              % Tracé
              \tkzDrawLine[add = 0.5 and 0.5](A,B) \tkzDrawPoints(A,B,O1,O2)
              \tkzDrawCircle(O1,A)\tkzDrawCircle(O2,B)
              % Caculs
              \tkzInterCC[R](O1,3.606 cm)(O2,2.606 cm)\tkzGetPoints{O4}{O}
              \tkzDrawCircle[R](O,0.606 cm)
              \tkzDefLine[orthogonal=through O](A,B) \tkzGetPoint{c}
              \tkzInterLL(A,B)(c,O)\tkzGetPoint{C}
              % Marquage
              \tkzDrawPoints(O,C)
              \tkzLabelPoints[below](A,B,C) 
              \tkzLabelPoint[left](O1){$O_1$} \tkzLabelPoint[right](O2){$O_2$}\tkzLabelPoint[above](O){\tiny $O_3$}
              \tkzDrawSegments[](O1,O2 O1,O O,O2)
              \tkzDrawSegments[style=dashed](O1,A O2,B)
              \tkzDefPointBy[projection = onto O1--A](O) \tkzGetPoint{E1}\tkzLabelPoint[left](E1){$E_1$}
              \tkzDefPointBy[projection = onto O2--B](O) \tkzGetPoint{E2}\tkzLabelPoint[right](E2){$E_2$}
              \tkzDrawSegments[style=dashed](O,E1)
              \tkzDrawSegments[style=dashed](O,E2)
              \tkzMarkRightAngle[fill=red!20](O,E1,O1)
              \tkzMarkRightAngle[fill=red!20](O,E2,O2)
              \tkzDrawPoints(E1,E2)
            \end{tikzpicture}

          \end{center}

          En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle
          $O_3O_2E_2$, on obtient :
          \begin{align*}
            {O_3O_2}^2 &= {O_3E_2}^2 + {E_2O_2}^2 \\
            {O_3O_2}^2 &= CB^2 + (r_2 - r)^2 \\
            CB^2 &= (r+r_2)^2 - (r_2-r)^2 \\
            CB^2 &= \left( r + r_2 + r_2 - r \right)\left( r + r_2 - r_2 + r \right) \\
            CB^2 &= 4r_2r \\
            CB &= 2\sqrt{rr_2}
          \end{align*}
          De même, en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle
          rectangle $E_1O_1O_3$ on obtient $AC = 2 \sqrt{rr_1}$. \\
          Ainsi
          \begin{equation}
            AB = AC + CB = 2\sqrt{rr_1} + 2\sqrt{rr_2} = 2\sqrt{r} \left(
              \sqrt{r_1} + \sqrt{r_2} \right)\label{eq:eq1}
          \end{equation}
          
         De plus, d'après la question précédente, 
         \begin{equation}
           \label{eq:eq2}
           AB = \sqrt{4r_1r_2}
         \end{equation}
         En combinant les équations \Ref{eq:eq1} et \Ref{eq:eq2}, on obtient :
         \begin{align*}
           2\sqrt{r} \left( \sqrt{r_1} + \sqrt{r_2} \right) &= \sqrt{4r_1r_2} \\
           \sqrt{r} &= \frac{\sqrt{r_1r_2}}{\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2}} \\
           r &= \frac{r_1r_2}{r_1 + 2\sqrt{r_1r_2} + r_2}
         \end{align*}
       \item Voici des rayons qui conviennent :
         \begin{tabular}{ccc} \\
           $r_1=4$& $r_2=4$& $r=1$\\           
           $r_1=8$& $r_2=8$& $r=2$\\           
           $r_1=12$& $r_2=12$& $r=3$\\           
         \end{tabular}           
        \end{enumerate}
      \item         \begin{enumerate}
        \item Dans la figure ci-dessous, le triangle $O_1CL$ est rectangle en $C$,
          on peut appliquer le théorème de Pythagore.

          \begin{align*}
            O_1L^2 &= CL^2 +  O_1C^2\\
            R^2    &= (R-a)^2 + \left( R - \frac{a}{2} \right)^2 \\
            R^2    &= R^2 -2Ra + a^2 + R^2 - Ra + \frac{a^2}{4} \\
            R^2    &= 2R^2 - 3Ra + \frac{3}{4}a^2 \\
            0      &= R^2 - 3Ra + \frac{3}{4}a^2
          \end{align*}

          \begin{center}
            \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
              % Définitions
              % R = 3 , a=1.2
              \tkzDefPoints{0/0/A,6/0/B,0/3/O1,6/3/O2}
              % Calculs
              % 
              % Tracé
              \tkzDrawLine(A,B) \draw [dashed] (O1) -- (O2); \tkzDrawCircle(O1,A)
              \tkzDrawCircle(O2,B)
              % Marquage
              \tkzDrawPoints(A,B,O1,O2) \tkzLabelPoints[below](A,B)
              \tkzLabelPoint[left](O1){$O_1$} \tkzLabelPoint[right](O2){$O_2$}
              % Tracé du carré : abscisse = milieu de [AB] - a/2
              \draw[thick,fill = gray!30] (2.4,0) rectangle (3.6,1.2); \draw
              (2.4,0.6) node[left]{$a$} ; \draw (2.4,1.2) node[left]{$L$}
              node{$\bullet$}; \draw (2.4,3) node[above]{$C$} node{$\bullet$};
              \draw [dashed] (2.4,1.2) -- (O1) -- (2.4,3) -- cycle;
              % Marquage
              \tkzDefPoints{2.4/1.2/L,2.4/3/C}
              \tkzMarkRightAngle[fill=red!20,opacity=0.5](O1,C,L)
              \tkzDrawSegment(O1,A) %\tkzLabelSegment[left](O1,A){$r_1$}
              \tkzDrawSegment[dim={$R$,-2pt,transform shape}](O1,A)
              \tkzDrawSegment(O2,B) %\tkzLabelSegment[left](O1,A){$r_1$}
              \tkzDrawSegment[dim={$R$,-3pt,transform shape}](O2,B)
            \end{tikzpicture}
          \end{center}
        \item En considérant cette équation comme une équation du second degré
          d'inconnue $a$. \\
          On calcule le discriminant : $\Delta = (3R)^2 - 4\times
          \frac{5}{4}\times R^2 = 4R^2 > 0$. Il y a donc deux solutions réelles
          : $a_1=\frac{3R-2R}{2\times\frac{5}{4}} = \frac{4R}{10}$ et
          $a_2=\frac{3R+2R}{2\times\frac{5}{4}} = 2R$. \\
          Comme la solution géométrique nécessite que $a<R$, on obtient donc $a=\frac{4R}{10}$
        \end{enumerate}
      \end{enumerate}
    \item
      \begin{enumerate}
      \item Notons $\alpha$ l'angle $\widehat{EOA}$ en degrés.\\
        La somme des angles dans le  triangle $EOG$ donne $\widehat{OAE} = 90 - \alpha$.\\
        L'angle supplémentaire $\widehat{EAG}$ mesure donc $90+\alpha$ degrés.\\
        Or le triangle $EAG$ est isocèle en $A$ donc $\widehat{AGE}$ mesure
        $\frac{90-\alpha}{2}$ degrés.\\
        Les angles $\widehat{OAE}$ et $\widehat{OBF}$ sont  des angles correspondants
        donc
        $\widehat{OBF} = 90-\alpha$ \\
        Comme $GBF$ est isocèle en $B$ on trouve $\widehat{BGF} = \frac{90+\alpha}{2}$\\
        $\widehat{EGF} = 180 - \widehat{AGE} - \widehat{BGF} = 180 - \left(
          \frac{90 - \alpha}{2} \right) - \left( \frac{90 + \alpha}{2} \right) =
        90$. 
      \item Construction :
        \begin{itemize}
        \item Tracer le segment $[EG]$ puis la droite perpendiculaire à $(EG)$
          passant par $G$. Cette droite coupe la droite $(OE)$ en $F$.
        \item Tracer la droite perpendiculaire à $(OE)$ passant par $F$. Cette
          droite coupe $(OA)$ en $B$.
        \item Tracer le cercle de centre $B$ et passant par $F$.
        \end{itemize}
	\item \ \\
        \begin{center}
          \begin{tikzpicture}[scale=1.4]
            % Définitions
            % R = 3 , a=1.2
            \tkzDefPoints{0/0/O,5/0.5/M,5/5/N}
            % Calculs
            \tkzDefLine[bisector,normed](M,O,N) \tkzGetPoint{a}
            \tkzDefPointOnLine[pos=2](O,a) \tkzGetPoint{A}
            \tkzDefPointOnLine[pos=4.0258](O,a) \tkzGetPoint{B}
            \tkzDefPointBy[projection = onto O--N](A) \tkzGetPoint{E}
            \tkzDefPointBy[projection = onto O--N](B) \tkzGetPoint{F}
            \tkzInterCC(A,E)(B,F)\tkzGetFirstPoint{G}
            % Tracé
            \tkzDrawPoints(O,A,B,E,F,G) \tkzDrawSegment(O,M)
            \tkzDrawSegment(O,N) \tkzDrawLine[add= 0 and 6,dashed](O,a)
            \tkzDrawCircle(A,E) \tkzDrawCircle(B,F)
            % Marquage
            \tkzLabelPoints[left,font=\scriptsize](O,A,B,E,F)
            \tkzLabelPoints[below left, font = \scriptsize](G)
            \tkzMarkAngle[size = 1cm,mark = |,arc=ll,color = red](A,O,E)%
            \tkzLabelAngle[pos=0.7,font=\scriptsize,red](A,O,E){$\alpha$}
            \tkzDrawSegments[dashed,very thick](E,G G,F F,B)
            \tkzMarkRightAngle[fill=red!20,opacity=0.5](E,G,F)
            \tkzMarkRightAngle[fill=red!20,opacity=0.5](O,F,B)
          \end{tikzpicture}
        \end{center}
      \item On note $M$ le point d'intersection de $(OA)$ et du cercle de rayon$R_1$ le plus proche de $O$\\
      Dans le triangle $EOA$ rectangle en E, on utilise la trigonométrie :
        \begin{equation}
          \label{eq:eq3}
          \sin(\alpha) = \frac{R_1}{OM+R_1}
        \end{equation}
        De même dans $OFB$ rectangle en $F$
        \begin{equation}
          \label{eq:eq4}
          \sin(\alpha) = \frac{R_2}{OB} = \frac{R_2}{OM+2R_1+R_2}
        \end{equation}
        De l’équation \ref{eq:eq3} on obtient : $OM \sin(\alpha) = R_1 -
        R_1\sin(\alpha)$\\
        De l’équation \ref{eq:eq4} on obtient : 
        $OM \sin(\alpha)+2R_1\sin(\alpha)+R_2\sin(\alpha) = R_2$\\

        Ainsi en substituant $OM\sin(\alpha)$, on obtient  :\\ $R_1 - R_1\sin(\alpha) +2R_1\sin(\alpha)+R_2\sin(\alpha) = R_2$\\
        Et donc $R_1+R_1\sin(\alpha) = R_2 - R_2\sin(\alpha)$\\
        Ainsi : $R_1(1+\sin(\alpha)) = R_2(1-\sin(\alpha))$ \\
        \[\frac{R_2}{R_1} = \frac{1+\sin(\alpha)}{1-\sin(\alpha)}\]
      \end{enumerate}
    \item A l'aide des 5 segments de la figure, on obtient le système suivant :
      \begin{center}
        $\begin{cases}
          x + y &= x + 4r +x \\
          x + 2y &= z \\
          x + 4r + 4x &= z \\
          x + 4r + 2x &= R
        \end{cases}$
      \end{center}
On résout le système :
      $\begin{cases}
        y  &= x + 4r \\
        y  &= 2x + 2r \\
        z  &= x + 2y\\
        R  &= x + 4r + 2x
      \end{cases}
      \Leftrightarrow
      \begin{cases}
        x  &= 2r \\
        y  &= 2x + 2r \\
        z  &= x + 2y \\
        R  &= x + 4r + 2x
      \end{cases}$\\
      On trouve donc : 
      \begin{center}
        $\begin{cases}
          x  &= 2r \\
          y  &= 6r \\
          z  &= 14r\\
          R &= 10r
        \end{cases}$
      \end{center}
    \end{enumerate}
    \newpage
  \end{Corrige}
  
  Durant la période Edo (environ 1600 – 1868), une école particulière de
  mathématiques, dite « Wasan » s’est développée au Japon. L’enseignement était
  ouvert à tous, et on trouvait affichés dans les temples des problèmes de
  mathématiques, souvent à base de cercles : les « Sangaku ». On se propose dans
  ce sujet d’en résoudre quelques-uns.

  \begin{enumerate}
  \item Un premier Sangaku visible au temple Katayamahiko
    \begin{enumerate}
    \item \textit{Une propriété du triangle équilatéral}\\
      \begin{minipage}{0.65\linewidth}
        Un triangle équilatéral de côté $a$ est inscrit dans un cercle de rayon
        $R$. (Voir figure ci contre) %\Ref{fig:2020.APNP.equilateral}
        \\
        Démontrer que $R = \frac{\sqrt{3}}{3}a$\\
        \textit{On pourra utiliser la propriété suivante : les médianes d’un
          triangle se coupent au centre de gravité qui se situe au premier tiers
          des médianes en partant de la base. }
      \end{minipage} \qquad    
      \begin{minipage}{0.3\linewidth}
          \begin{tikzpicture}[scale=0.6]
            % fixed points
            \tkzDefPoint(0,0){A} \tkzDefPoint(4,-1){B}
            \tkzDefTriangle[equilateral](A,B) \tkzGetPoint{C}
            % calculus
            \tkzDefTriangleCenter[centroid](A,B,C) \tkzGetPoint{M}
            \tkzDefCircle[through](M,A)
            % drawings
            \tkzDrawPolygon[fill=gray!40](B,A,C) \tkzDrawPoints(M)
            \tkzDrawCircle(M,A)
            % marking
            % labelling
            \tkzLabelSegment[left](M,C){$R$} \tkzLabelSegment[above](A,B){$a$}
            % \tkzLabelPoints(M)
            \tkzDrawSegment(M,C)
          \end{tikzpicture}
          \label{fig:2020.APNP.equilateral}
      \end{minipage}
    \item \textit{Le Sangaku de Katayamahiko} - voir figure \Ref{fig:2020.APNP.Katayamahiko1} \\
      Trois cercles de même rayon $r$ sont tangents entre eux et inscrits dans
      un cercle de rayon $r'$. Démontrer que :
      \[r' = \left( \frac{2\sqrt{3}}{3}+1 \right)r\]

      \begin{figure}[!h]
        \centering
        \begin{tikzpicture}[scale=0.6]
          % fixed points
          \tkzDefPoint(0,0){A}
          \tkzDefPoint(4,1){B}
          \tkzDefTriangle[equilateral](A,B)
          \tkzGetPoint{C}
          % calculus
          \tkzDefTriangleCenter[centroid](A,B,C)
          \tkzGetPoint{M}
          \tkzDefMidPoint(A,B) \tkzGetPoint{I}
          \tkzDefMidPoint(C,B) \tkzGetPoint{J}
          \tkzInterLC(A,M)(A,I) \tkzGetPoints{M1}{M2}
          % drawings
          \tkzDrawPolygon[dashed](B,A,C)
          \tkzDrawPoints(A,B,C,M)
          \tkzDrawCircle(A,I)
          \tkzDrawCircle(B,I)
          \tkzDrawCircle(C,J)
          \tkzDrawCircle[very thick](M,M1)
          % labelling
        \end{tikzpicture}
        \caption{Sangaku de Katayamahiko}
        \label{fig:2020.APNP.Katayamahiko1}
      \end{figure}
      
    \end{enumerate}

    \pagebreak
    
  \item \textit{Cercles tangents à une même droite.}
    \begin{enumerate}
    \item Deux cercles de rayons $r_1$ et $r_2$ sont tous les deux tangents à la
      même droite en $A$ et $B$, et tangents entre eux comme à gauche sur la figure \Ref{fig:2020.APNP.CerclesTangentsDroite}
      Démontrer que $AB^2=4r_1r_2$.
    \item Un troisième cercle de rayon $r$ est tangent aux deux cercles
      précédents et à la même droite, comme à droite dans la figure \Ref{fig:2020.APNP.CerclesTangentsDroite}
      \begin{enumerate}
      \item Démontrer que \[r = \frac{r_1r_2}{r_1+r_2+2\sqrt{r_1r_2}}\]
      \item Pour réaliser ce Sangaku, un artiste souhaite utiliser uniquement
        des valeurs entières pour les rayons des 3 cercles. Proposer trois
        rayons entiers $r$, $r_1$ et $r_2$ qui conviennent.
      \end{enumerate}
      \begin{figure}[!h]
        \centering
        \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
          \tkzDefPoints{0/0/A,sqrt(24)/0/B,0/3/O1,sqrt(24)/2/O2,0/2/E}
          % Tracé
          \tkzDrawLine[add = 0.5 and 0.5](A,B)
          \tkzDrawPoints(A,B,O1,O2,E)
          \tkzDrawCircle(O1,A)\tkzDrawCircle(O2,B)
          % Marquage
          \tkzLabelPoints[below](A,B)
          \tkzLabelPoints[left](E)
          \tkzLabelPoint[left](O1){$O_1$}
          \tkzLabelPoint[right](O2){$O_2$}
          \tkzDrawSegment(O1,A) %\tkzLabelSegment[left](O1,A){$r_1$}
          \tkzDrawSegment[dim={$r_1$,-8pt,transform shape}](A,O1)
          \tkzDrawSegment(O2,B) %\tkzLabelSegment[left](O1,A){$r_1$}
          \tkzDrawSegment[dim={$r_2$,6pt,transform shape}](B,O2)
          \tkzMarkRightAngle[fill=red!60,size=.2,draw,opacity=0.5](O2,E,O1)
          \draw[dashed] (O1) -- (O2) -- (E);
          \begin{scope}[xshift=12cm]
            \tkzDefPoints{0/0/A,sqrt(24)/0/B,0/3/O1,sqrt(24)/2/O2}
            % Tracé
            \tkzDrawLine[add = 0.5 and 0.5](A,B) \tkzDrawPoints(A,B,O1,O2)
            \tkzDrawCircle(O1,A)\tkzDrawCircle(O2,B)
            % Caculs
            \tkzInterCC[R](O1,3.606 cm)(O2,2.606 cm)\tkzGetPoints{O4}{O}
            \tkzDrawCircle[R](O,0.606 cm)
            \tkzDefLine[orthogonal=through O](A,B) \tkzGetPoint{c}
            \tkzInterLL(A,B)(c,O)\tkzGetPoint{C}
            % Marquage
            \tkzDrawPoints(O,C)
            \tkzLabelPoints[below](A,B,C) 
            \tkzLabelPoint[left](O1){$O_1$} \tkzLabelPoint[right](O2){$O_2$}\tkzLabelPoint[above](O){\tiny $O_3$}
            \tkzDrawSegment(O1,A) %\tkzLabelSegment[left](O1,A){$r_1$}
            \tkzDrawSegment[dim={$r_1$,-8pt,transform shape}](A,O1)
            \tkzDrawSegment(O2,B) %\tkzLabelSegment[left](O1,A){$r_1$}
            \tkzDrawSegment[dim={$r_2$,6pt,transform shape}](B,O2)
            \tkzDrawSegment(O,C) %\tkzLabelSegment[left](O1,A){$r_1$}
            \tkzDrawSegment[dim={$r_3$,6pt,transform shape}](C,O)
          \end{scope}
          
        \end{tikzpicture}
        \caption{Cercles tangents à une droite}
        \label{fig:2020.APNP.CerclesTangentsDroite}
      \end{figure}
    \item On considère  encore deux cercles, cette fois ci de même rayon $R$,
      tous deux tangents à une même droite et tangents entre eux. Un carré de
      côté $a$ est inscrit entre les deux cercles et la droite, comme sur la
      figure \Ref{fig:2020.APNP.CerclesTangentCarre}.

      \begin{figure}[!h]
        \centering
        \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
          % Définitions
          % R = 3 , a=1.2
          \tkzDefPoints{0/0/A,6/0/B,0/3/O1,6/3/O2}
          % Calculs
        %
          % Tracé
          \tkzDrawLine(A,B) \draw [dashed] (O1) -- (O2); \tkzDrawCircle(O1,A)
          \tkzDrawCircle(O2,B)
          % Marquage
          \tkzDrawPoints(A,B,O1,O2) \tkzLabelPoints[below](A,B)
          \tkzLabelPoint[left](O1){$O_1$} \tkzLabelPoint[right](O2){$O_2$}
          % Tracé du carré : abscisse = milieu de [AB] - a/2
          \draw[thick,fill = gray!30] (2.4,0) rectangle (3.6,1.2); \draw
          (2.4,0.6) node[left]{$a$} ; \draw (2.4,1.2) node[left]{$L$}
          node{$\bullet$}; \draw (2.4,3) node[above]{$C$} node{$\bullet$}; \draw
          [dashed] (2.4,1.2) -- (O1) -- (2.4,3) -- cycle;
          % Marquage
          \tkzDefPoints{2.4/1.2/L,2.4/3/C}
          \tkzMarkRightAngle[fill=red!20,opacity=0.5](O1,C,L)
          \tkzDrawSegment(O1,A) %\tkzLabelSegment[left](O1,A){$r_1$}
          \tkzDrawSegment[dim={$R$,-2pt,transform shape}](O1,A)
          \tkzDrawSegment(O2,B) %\tkzLabelSegment[left](O1,A){$r_1$}
          \tkzDrawSegment[dim={$R$,-3pt,transform shape}](O2,B)
        \end{tikzpicture}
        
        \caption{Cercles et carré tangent}
        \label{fig:2020.APNP.CerclesTangentCarre}
      \end{figure}
      \begin{enumerate}
      \item Démontrer que $\frac{5}{4}a^2-3Ra+R^2=0$
      \item En déduire $a$ en fonction de $R$
      \end{enumerate}
    \end{enumerate}
  \item \textit{Suite de cercles.} Voir figure \Ref{fig:2020.APNP.SuiteCercles} \\
    Dans un secteur angulaire d'angle $2\alpha$, on inscrit deux cercles
    tangents entre eux, de rayons $R_1$ et $R_2$ avec $R_1 < R_2$, et tangents
    aux côtés du secteur angulaire.\\
    \begin{enumerate}
    \item Prouver que les droites $(EG)$ et $(GF)$ sont perpendiculaires.
    \item Écrire un procédé de construction, utilisant règle, équerre et compas,
      du cercle de centre $B$ connaissant le cercle de centre $A$.      
    \item Réaliser la construction sur l'annexe (Voir figure \Ref{fig:2020.APNP.SuiteCerclesAnnexe}).
    \item Prouver que $\frac{R_2}{R_1} = \frac{1 + \sin(\alpha)}{1 - \sin(\alpha)}$
    \end{enumerate}

    \begin{figure}[!h]
      \centering
      \begin{tikzpicture}[scale=1.2]
        % Définitions
        % R = 3 , a=1.2
        \tkzDefPoints{0/0/O,5/0.5/M,5/5/N}
        % Calculs
        \tkzDefLine[bisector,normed](M,O,N) \tkzGetPoint{a}
        \tkzDefPointOnLine[pos=2](O,a) \tkzGetPoint{A}
        \tkzDefPointOnLine[pos=4.0258](O,a) \tkzGetPoint{B}
        \tkzDefPointBy[projection = onto O--N](A) \tkzGetPoint{E}
        \tkzDefPointBy[projection = onto O--N](B) \tkzGetPoint{F}
        \tkzInterCC(A,E)(B,F)\tkzGetFirstPoint{G}
        % Tracé
        \tkzDrawPoints(O,A,B,E,F,G) \tkzDrawSegment(O,M) \tkzDrawSegment(O,N)
        \tkzDrawLine[add= 0 and 6,dashed](O,a) \tkzDrawCircle(A,E)
        \tkzDrawCircle(B,F)
        % Marquage
        \tkzLabelPoints[left,font=\scriptsize](O,A,B,E,F,G) \tkzMarkAngle[size =
        1cm,mark = |,arc=ll,color = red](A,O,E)%
        \tkzLabelAngle[pos=0.7,font=\scriptsize,red](A,O,E){$\alpha$}
      \end{tikzpicture}
      
      \caption{Suite de cercles}
      \label{fig:2020.APNP.SuiteCercles}
    \end{figure} \newpage
  \item \textit{Sangaku visible au temple de Meiserinji.}\\
    Ce Sangaku (figure \Ref{fig:2020.APNP.SangakuTanabe}) a été proposé par un jeune garçon de 15 ans, Tanabe Shigetoshi. \\

    \begin{figure}[!ht]
      \centering
      \begin{tikzpicture}[scale=0.65]
        % Calculs
        \tkzDefPoints{0/0/A,8/0/B} \tkzDefTriangle[equilateral](A,B)
        \tkzGetPoint{C} \tkzDefBarycentricPoint(A=1,B=1,C=1) \tkzGetPoint{G}
        \tkzInterLL(A,B)(C,G) \tkzGetPoint{M} \tkzInterLL(A,C)(B,G)
        \tkzGetPoint{P} \tkzInterLL(C,B)(A,G) \tkzGetPoint{N}
        \tkzCalcLength(G,N)\tkzGetLength{R} \pgfmathparse{\R/10}
        \let\r=\pgfmathresult \pgfmathparse{6*\r} \let\y=\pgfmathresult
        \pgfmathparse{2*\r} \let\x=\pgfmathresult \pgfmathparse{14*\r}
        \let\z=\pgfmathresult \tkzDefPointBy[homothety=center G ratio 0.3](N)
        \tkzGetPoint{O1} \tkzDefPointBy[homothety=center G ratio 0.5](N)
        \tkzGetPoint{O2} \tkzDefPointBy[homothety=center G ratio 0.8](N)
        \tkzGetPoint{O3} \tkzDefPointBy[homothety=center G ratio 1.2](N)
        \tkzGetPoint{O4} \foreach \i in {1,2,...,4}{%
          \tkzDefPointBy[rotation=center G angle 120](O\i) \tkzGetPoint{P\i} }
        \foreach \i in {1,2,...,4}{%
          \tkzDefPointBy[rotation=center G angle -120](O\i) \tkzGetPoint{M\i} }
        % Pour cercle de rayon y
        \tkzInterLC[R](G,C)(G,\x pt) \tkzGetPoints{I1}{J1}
        \tkzInterLC[R](G,C)(G,\z pt) \tkzGetPoints{I2}{J2}
        \tkzDefMidPoint(J1,J2) \tkzGetPoint{Ic} \tkzDefPointBy[rotation=center G
        angle 120](Ic) \tkzGetPoint{Ia} \tkzDefPointBy[rotation=center G angle
        120](Ia) \tkzGetPoint{Ib}
        % Tracés
        \tkzDrawPolygon[fill,NavyBlue!80](A,B,C)
        % \tkzDrawPoints(A,B,C)
        \tkzDrawCircle[R,fill,SeaGreen!60](Ia,\y)
        \tkzDrawCircle[R,fill,SeaGreen!60](Ib,\y)
        \tkzDrawCircle[R,fill,SeaGreen!60](Ic,\y)
        % Branche droite
        \tkzDrawCircle[fill,red!60,R](G,\x) \tkzDrawCircle[fill,white,R](O1,\r)
        \tkzDrawCircle[fill,white,R](O2,\r) \tkzDrawCircle[fill,red!60,R](O3,\x)
        \tkzDrawCircle[fill,red!60,R](O4,\x)
        % Branche gauche
        \tkzDrawCircle[fill,white,R](P1,\r) \tkzDrawCircle[fill,white,R](P2,\r)
        \tkzDrawCircle[fill,red!60,R](P3,\x)
        \tkzDrawCircle[fill,red!60,R](P4,\x)
        % Branche bas
        \tkzDrawCircle[fill,white,R](M1,\r) \tkzDrawCircle[fill,white,R](M2,\r)
        \tkzDrawCircle[fill,red!60,R](M3,\x)
        \tkzDrawCircle[fill,red!60,R](M4,\x)
        % Autres
        \tkzDrawCircle[very thick,dashed,teal,R](G,\R)
        \tkzDrawCircle[thick,R](G,\z) \tkzDrawPolygon[thick](A,B,C)
      \end{tikzpicture}
      
      \caption{Sangaku de Tanabe Shigetoshi}
      \label{fig:2020.APNP.SangakuTanabe}
    \end{figure}
    Tous les cercles de la figure sont tangents entre eux. \\
    Tous les cercles de même couleur ont le même rayon. \\
    On appelle $r$ le rayon des plus petits, les cercles blancs au centre de la figure.\\ 
    On appelle $R$ le rayon du cercle dessiné en pointillé.
    \begin{enumerate}
    \item Exprimer $R$ en fonction de $r$.\\
      On utilisera les notations suivantes pour désigner les rayons des cercles,
      du plus petit au plus grand :\\
      $r$ (6 petits cercles) ; $x$ (7 cercles) ; $y$ (3 cercles) ;  $R$
      (pointillés) ;$z$ (grand cercle extérieur)\\
      \textit{Indice : \\
        Vous pouvez vous servir de la figure \Ref{fig:2020.APNP.SangakuTanabeAide}, qui reproduit le 
        problème sans le triangle, et rajoutant un cercle supplémentaire à 
        l’intérieur du cercle pointillé, cercle qui passe par les centres de 
        cercles de rayon x et y. 
        5 segments partant du centre de la figure y sont dessinés. 
        Ces derniers permettent d’établir un système d’équations faisant 
        intervenir les différents rayons. 
      }

    \begin{figure}[!hb]
      \centering
      \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
        % Calculs
        \tkzDefPoints{0/0/A,8/0/B} \tkzDefTriangle[equilateral](A,B)
        \tkzGetPoint{C} \tkzDefBarycentricPoint(A=1,B=1,C=1) \tkzGetPoint{G}
        \tkzInterLL(A,B)(C,G) \tkzGetPoint{M} \tkzInterLL(A,C)(B,G)
        \tkzGetPoint{P} \tkzInterLL(C,B)(A,G) \tkzGetPoint{N}
        \tkzCalcLength(G,N)\tkzGetLength{R} \pgfmathparse{\R/10}
        \let\r=\pgfmathresult \pgfmathparse{6*\r} \let\y=\pgfmathresult
        \pgfmathparse{2*\r} \let\x=\pgfmathresult \pgfmathparse{14*\r}
        \let\z=\pgfmathresult \tkzDefPointBy[homothety=center G ratio 0.3](N)
        \tkzGetPoint{O1} \tkzDefPointBy[homothety=center G ratio 0.5](N)
        \tkzGetPoint{O2} \tkzDefPointBy[homothety=center G ratio 0.8](N)
        \tkzGetPoint{O3} \tkzDefPointBy[homothety=center G ratio 1.2](N)
        \tkzGetPoint{O4} \tkzDefPointBy[homothety=center G ratio 1.4](N)
        \tkzGetPoint{O5}\foreach \i in {1,2,...,4}{%
          \tkzDefPointBy[rotation=center G angle 120](O\i) \tkzGetPoint{P\i} }
        \foreach \i in {1,2,...,4}{%
          \tkzDefPointBy[rotation=center G angle -120](O\i) \tkzGetPoint{M\i} }
        % Pour cercle de rayon y
        \tkzInterLC[R](G,C)(G,\x pt) \tkzGetPoints{I1}{J1}
        \tkzInterLC[R](G,C)(G,\z pt) \tkzGetPoints{I2}{J2}
        \tkzDefMidPoint(J1,J2) \tkzGetPoint{Ic} \tkzDefPointBy[rotation=center G
        angle 120](Ic) \tkzGetPoint{Ia} \tkzDefPointBy[rotation=center G angle
        120](Ia) \tkzGetPoint{Ib}
        % Tracés
        \tkzDrawPoints(G,Ia,M3,P,J2,O5)
        \tkzDrawCircle[R](Ia,\y)
        \tkzDrawCircle[R](Ib,\y)
        \tkzDrawCircle[R](Ic,\y)
        % Branche droite
        \tkzDrawCircle[R](G,\x) \tkzDrawCircle[R](O1,\r)
        \tkzDrawCircle[R](O2,\r) \tkzDrawCircle[R](O3,\x)
        \tkzDrawCircle[R](O4,\x)
        % Branche gauche
        \tkzDrawCircle[R](P1,\r) \tkzDrawCircle[R](P2,\r)
        \tkzDrawCircle[R](P3,\x)
        \tkzDrawCircle[R](P4,\x)
        % Branche bas
        \tkzDrawCircle[R](M1,\r) \tkzDrawCircle[R](M2,\r)
        \tkzDrawCircle[R](M3,\x)
        \tkzDrawCircle[R](M4,\x)
        % Autres
        \tkzDrawCircle[very thick,dashed,teal,R](G,\R)
        \tkzDrawCircle[thick,R](G,\z)
        \tkzDrawCircle[thick](G,Ia)
        % Segments
        \draw [thick] (G) -- (Ia); \draw [thick] (G) -- (M3);
        \draw [thick] (G) -- (P); \draw [thick] (G) -- (J2);
        \draw [thick] (O5) -- (G) ;
      \end{tikzpicture}
      
      \caption{Aide pour le Sangaku de Tanabe Shigetoshi}
      \label{fig:2020.APNP.SangakuTanabeAide}
    \end{figure}


      
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}

  \newpage

  \begin{center}
    \textbf{ANNEXE DE L'EXERCICE 2, A RENDRE AVEC LA COPIE}
  \end{center}
  Construire avec règle, équerre et compas le cercle manquant.

      \begin{figure}[!h]
      \centering
      \begin{tikzpicture}[scale=1.5]
        % Définitions
        % R = 3 , a=1.2
        \tkzDefPoints{0/0/O,5/0.5/M,5/5/N}
        % Calculs
        \tkzDefLine[bisector,normed](M,O,N) \tkzGetPoint{a}
        \tkzDefPointOnLine[pos=2](O,a) \tkzGetPoint{A}
        \tkzDefPointOnLine[pos=4.0262](O,a) \tkzGetPoint{B}
        \tkzDefPointBy[projection = onto O--N](A) \tkzGetPoint{E}
        \tkzDefPointBy[projection = onto O--N](B) \tkzGetPoint{F}
        \tkzInterCC(A,E)(B,F)\tkzGetFirstPoint{G}
        % Tracé
        \tkzDrawPoints(O,A,E,G) \tkzDrawLine[add = 0 and 0.5](O,M) \tkzDrawSegment(O,N)
        \tkzDrawLine[add= 0 and 8,dashed](O,a) \tkzDrawCircle(A,E)
        %\tkzDrawCircle(B,F)
        % Marquage
        \tkzLabelPoints[left,font=\scriptsize](O,A,E,G)
        \tkzMarkAngle[size = 1cm,mark = |,arc=ll,color = red](A,O,E)%
        \tkzLabelAngle[pos=0.7,font=\scriptsize,red](A,O,E){$\alpha$}
      \end{tikzpicture}
      
      \caption{Suite de cercles}
      \label{fig:2020.APNP.SuiteCerclesAnnexe}
    \end{figure}

  
  
\end{Enonce}

\begin{Enonce}[Fiabilité ]{} \label{2020.APNP:exo3}

  \begin{Corrige}
    \begin{enumerate}
    \item
      \begin{enumerate}
      \item $F(t) =  1 - D(t) = 1 - 0,6 = 0,4$
      \item $D(t) = 1 - F(t) = 1 - 0,7 = 0,3$
      \end{enumerate}
    \item
      \begin{enumerate}
      \item
        \begin{tabular}{cccc}
          $\frac{F(1)}{F(0)} = 0,9$&$\frac{F(2)}{F(1)} = 0,9$&$\frac{F(3)}{F(2)} = 0,9$&$\frac{F(4)}{F(3)} = 0,9$
        \end{tabular}\\
        La variation relative est constante
      \item
        \begin{tabular}{*{6}{|c}|}\hline
          $t$&0&1&2&3&4 \\\hline
             $D(t)$&$0$&$0,1$&$0,19$&$0,271$&$0,3439$ \\\hline
        \end{tabular}\\
        Le calcul de $\frac{ D(1) }{ D(0) }$ est impossible car $D(0)=0$. Et $
        \frac{ D(2) }{ D(1) } = 0,19 $ alors que $ \frac{ D(3) }{ D(2) } \approx
        1,4263 $. Donc la variation relative de la défaillance n'est pas
        constante.
      \item Voici la trace de cet algorithme : \\
        \begin{tabular}{*{9}{|c}|}\hline
          \texttt{t}&0&1&2&3&4&$\ldots$&$21$&$22$ \\\hline
          \texttt{F}&$1$&$0,9$&$0,81$&$0,729$&$0,6261$&$\ldots$&$0,109$&$0,09847$ \\\hline
        \end{tabular} \\
        A la fin de cet algorithme, \texttt{t} vaut 22. C'est la plus petite
        valeur entière de $t$ qui vérifie $F(t) \leq 0,1$.
      \end{enumerate}
    \item
      \begin{enumerate}
      \item $F=0,8 \times 0,7  = 0,56$
      \item Notons $D_1$ et $D_2$ les fiabilités des systèmes 1 et 2. $D_1=0,2$
        et $D_2=0,3$.\\
        La défaillance du montage est de $D=0,06$ et donc sa fiabilité est de
        $F=0,94$
      \item Calculons la fiabilité du  montage en parallèle $D = 0,1 \times 0,1
        = 0,01$ et donc $F=0,99$.\\
        Le pourcentage d'augmentation est de $\frac{0,99-0,9}{0,9}\times 100 =
        10 \%$
      \end{enumerate}
    \item
      \begin{enumerate}
      \item $D_1=1-0,9^n$ et $D_2=1-0,8^n$
      \item Fiabilités des deux systèmes :  $F_1=1- \left( 1-0,9^n \right)^2 $ et
        $F_2=1- \left( 1-0,8^n \right)^2 $\\
        Fiabilité du système entier : $F = \left( 1- \left( 1-0,9^n \right)^2
        \right) \left( 1- \left( 1-0,8^n \right)^2 \right)$
      \item Pour $n=5$ soit $500$ heures . En effet $F_4 \approx 0,57$ et $F_5
        \approx 0,46$
      \item $F_n = \left( 1- \left( 1-0,9^n \right)^2\right) \left( 1- \left(
            1-p^n \right)^2 \right)$.\\
        En utilisant la table de valeur de $F_{10}$ on trouve $0,9 < p < 1$ puis \\
        $0,95 < p < 0,96$. \\
        \textbf{Conclusion} : $p$ doit être supérieur à $0,96$ pour que la fiabilité dépasse $0,5$ pendant au moins mille heures de fonctionnement.
      \end{enumerate}



    \end{enumerate}
  \end{Corrige}
  
  Pour un système mécanique ou électronique, le risque de panne augmente avec le temps. \\ 
  La fiabilité d’un système est l’étude probabiliste du temps entre deux pannes et on utilise deux 
  indicateurs : la fiabilité notée ici $F(t)$ qui est la probabilité de panne après un instant $t$ et la 
  défaillance notée ici $D(t)$ qui est la probabilité de panne avant un instant $t$.\\ 
  Ces deux indicateurs sont liés par les relations : $F(t) = 1 - D(t)$. \\
  Au moment de la mise en route du système, on a $F(0) = 1$ et $D(0) = 0$.
  \begin{enumerate}
  \item \textit{Premiers calculs.}
    \begin{enumerate}
    \item Déterminer $F(t)$ si $D(t)=0,6$.
    \item Déterminer $D(t)$ si $F(t)=0,7$.
    \end{enumerate}
  \item \textit{Fiabilité d'un composant électronique}\\
    Le tableau suivant donne la fiabilité d'un composant en fonction du temps.
    \begin{center}
      \begin{tabular}{|l*{5}{|p{0.85cm}}|}\hline
        Temps $t$ en centaines d'heures&$0$&$1$&$2$&$3$&$4$ \\\hline 
        Fiabilité $F(t)$               &$1$&$0,9$&$0,81$&$0,729$&$0,6561$\\\hline
      \end{tabular}
    \end{center}
    \begin{enumerate}
    \item Calculer $\frac{F(t+1)}{F(t)}$ pour tout $t$ entier de 0 à 3.\\
      D'un terme au suivant dans la deuxième ligne du tableau, la variation
      relative (taux d'évolution) est-elle constante ?
    \item En est-il de même pour la défaillance ?
    \item On donne l'algorithme ci-dessous (\texttt{t} est le temps en centaine
      d'heures, \texttt{F} la fiabilité correspondante).\\
      Quelle est la valeur de \texttt{t} à la fin de cet algorithme ? Comment
      interpréter ce résultat ?

      \begin{center}
        \captionsetup{type=figure}
        \begin{tcblisting}{top=0mm,bottom=0mm,left=0mm,right=0mm,colframe=colLogoFort,
            title=Algorithme mystère, text only,
            fonttitle=\bfseries\small,colbacktitle=colLogoFort}
t $\leftarrow$ 0\\
F $\leftarrow$ 1\\
Tant que F > 0.1:\\
\hspace*{1cm}t $\leftarrow$ t+1\\
\hspace*{1cm}F $\leftarrow$ F $\times$ 0.9\\
Fin Tant que\\
        \end{tcblisting}
      \end{center}
    \end{enumerate} \pagebreak[4]

    \textbf{Dans les questions suivantes, on se place à un instant $t$ fixe}
  \item Si plusieurs systèmes sont montés en série, la fiabilité du montage est
    égale au produit des fiabilités des systèmes qui le composent.
    Dans le montage de la figure \Ref{fig:2020.APNP.serie} , en notant $F_1$ la fiabilité du système
    $S_1$ et $F_2$ la fiabilité du système $S_2$, la fiabilité $F$ du système
    complet vaut $F = F_1 \times F_2$.

    \begin{figure}[h]
      \centering
      \begin{circuitikz}[european]
        \draw (0,0)
        to[R = $S_1$] (2,0)
        to[R = $S_1$] (4,0);
      \end{circuitikz}
      \caption{Montage en série}
      \label{fig:2020.APNP.serie}
    \end{figure}

    Si plusieurs systèmes sont montés en parallèle, la défaillance du montage
    est égale au produit des défaillances des systèmes qui le composent. Dans le
    montage de la figure \Ref{fig:2020.APNP.parallele} , en notant $D_1$ la défaillance du système $S_1$ et $D_2$ la
    défaillance du système $S_2$, la défaillance $D$ du système vaut $D= D_1
    \times D_2$.

    \begin{figure}[!h]
      \centering
      \begin{circuitikz}[european]
        \draw (0,0)
        to[short] (1,0)
        to[short] (1,0.6)
        to[R = $S_1$] (3,0.6)
        to[short] (3,-0.6)
        to[R = $S_1$] (1,-0.6)
        to[short] (1,0.6) ;
        \draw (3,0) -- (4,0);
      \end{circuitikz}
      \caption{Montage en parallèle}
      \label{fig:2020.APNP.parallele}
    \end{figure}

    \begin{enumerate}
    \item Calculer la fiabilité d’un système avec deux composants électroniques
      en série de fiabilités respectives $0,8$ et $0,7$.
    \item Calculer la fiabilité d’un système avec deux composants électroniques
      en parallèle de fiabilité respective $0,8$ et $0,7$.
    \item Quel est le pourcentage d’augmentation de fiabilité d’un système avec
      deux composants identiques de fiabilité $0,9$ montés en parallèle par
      rapport à un seul composant de fiabilité $0,9$ ? 
    \end{enumerate}
  \item \textit{Étude d'un montage}\\
    Le montage de la figure \Ref{fig:2020.APNP.montage} ci-dessous est constitué de deux composants de type $C_1$ en
    parallèle montés en série avec deux composants de type $C_2$ montés également
    en parallèle.

    \begin{figure}[!h]
      \centering
      \begin{circuitikz}[european,scale=0.8]
        \draw (0,0)
        to[short] (1,0)
        to[short] (1,0.6)
        to[R = $C_1$] (3,0.6)
        to[short] (3,-0.6)
        to[R = $C_1$] (1,-0.6)
        to[short] (1,0.6) ;
        \draw (3,0)
        to[short] (4,0)
        to[short] (4,0.6)
        to[R = $C_2$] (6,0.6)
        to[short] (6,-0.6)
        to[R = $C_2$] (4,-0.6)
        to[short] (4,0) ;
        \draw (6,0) -- (7,0);
      \end{circuitikz}
      \caption{Montage à étudier}   
      \label{fig:2020.APNP.montage}
    \end{figure}

    On admet que la fiabilité des composants de type $C_1$ à la $n$-ième
    centaine d'heure après la mise en route est $F_1=0,9^n$ et que la fiabilité
    des composants de type $C_2$ à la n-ième centaine d’heures après la mise en
    route est $F_2=0,8^n$.

    \begin{enumerate}
    \item Exprimer les défaillances en fonction de $n$ de chacun des systèmes en
      parallèle.
    \item Soit $F$ la fiabilité du montage. Déterminer $F$ en fonction de $n$.
    \item Au bout de combien d’heures, la fiabilité devient-elle inférieure à
      $0,5$ ?
    \item  Afin d'augmenter la fiabilité du montage à long terme, on décide de
      remplacer les composants $C_2$ du montage par deux autres de même
      fiabilité $p$\\
      Quelle valeur minimale à deux décimales doit avoir $p$ pour que la
      fiabilité du montage dépasse 0,5 pendant au moins mille heures de
      fonctionnement ?
    \end{enumerate}
    
  \end{enumerate}
\end{Enonce}


\Closesolutionfile{Cor}
\clearpage
%\input{Corrige}


\end{document}




%%% Local Variables:
%%% TeX-master: t
%%% End:
