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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Première série générale}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{2020}}
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\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat Première  Métropole-La Réunion~\decofourright\\[6pt]série générale e3c \no 61 année 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - Première générale}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip

\begin{minipage}{8cm}
{La courbe ci-contre $\mathcal{C}_f$ est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d’une fonction  $f$. Les droites $d$ et $d'$ sont respectivement les tangentes à la courbe  $\mathcal{C}_f$ aux points d’abscisses 1 et 2.

Les équations réduites de $d$ et $d'$  sont respectivement : $d : y = 2x - 2$ et $d' : y = - x + 2$.}
\end{minipage}\hspace{0,5cm}
\begin{minipage}{6cm}
{\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-0.6,-2.2)(4,2.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.6,-2.2)(4,2.2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.2}{4}{x 3 exp x dup mul 6 mul sub 11 x mul add 6 sub}
\uput[ul](1,0){\small A} \uput[ur](2,0){\small B}
\psline(-0.6,2.6)(4,-2)\psline(-0.6,-3.2)(4,6)
\uput[dr](2,2){$d$}\uput[ur](0.2,1.8){$d'$}\uput[r](3.5,1.5){$\red \mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
}\end{minipage}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}$f'(1) = 0$ &\textbf{b.~~}$f'(2) = 2$ &\textbf{c.~~}$f'(2) = -1$ &\textbf{d.~~}$f'(1) = -2$ 
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip

Soit $x \in \left[\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ tel que $\sin x = \dfrac{1}{2}$.

%Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste ?

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
%\textbf{a.~~}$\cos x = - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ &\textbf{b.~~}$x = \dfrac{\pi}{6}$ &\textbf{c.~~}$\cos x =  \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ &\textbf{d.~~}$x = -\dfrac{7\pi}{6}$ 
%\end{tabularx}
On sait que sur ce quart de cercle le cosinus est négatif.

Comme $\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \iff \dfrac{1}{4} + \cos^2 x = 1 \iff \cos^2 x = 1 -  \dfrac{1}{4} =  \dfrac{3}{4} = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2$, on en déduit que $\cos x = - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip


\begin{minipage}{8.75cm}
%{Soit (O, I, J) un repère orthonormé du plan.
%
%Soit  A et B deux points de coordonnées respectives (3~;~4~) et (4~;~0).
%
%Parmi les propositions suivantes, laquelle est
%juste?}
%\end{minipage}\hspace{0.5cm}\begin{minipage}{6cm}
%{\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4.2,4.2)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt]
%\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.5,-0.5)(4.2,4.2)
%\psaxes{->}(1,1)
%\pspolygon(3,4)(4,0)\psline(3,0)(3,4)
%\uput[ul](0,0){O}\uput[u](3,4){A}\uput[ur](4,0){B} \uput[ur](3,0){H}
%\psframe(3,0)(2.8,0.2)\uput[ul](1.5,2){5}\uput[u](1.5,0){4}\uput[ur](3.5,2){$\sqrt{17}$}
%\uput[dr](1,0){I}\uput[ul](0,1){J}
%\end{pspicture}
%}\end{minipage}
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
%\textbf{Proposition A }: $\vect{\text{OA}} \cdot \vect{\text{OB}} = 20$&\textbf{Proposition B }: $\sin \widehat{\text{AOB}} = \dfrac{\sqrt{17}}{5}$\\
%\textbf{Proposition C }: $\cos \widehat{\text{AOB}} = \dfrac{4}{5}$&\textbf{Proposition D } : $\sin \widehat{\text{AOB}} = \dfrac{4}{5}$
%\end{tabularx}
On a $\vect{\text{OA}} \cdot \vect{\text{OB}} = $\vect{\text{OH}} \cdot \vect{\text{OB}} = 3 \tiùes 4 = 12$  ;

$\sin \widehat{\text{AOB}} = \dfrac{\sqrt{17}}{5}$
\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

Soit (0, I, J) un repère orthonormé du plan.

Soit $d$ une droite dont une équation cartésienne est : $3x + 2y - 10 = 0$.

Une équation cartésienne de la droite $d'$ perpendiculaire à la droite $d$ et passant par le point A de coordonnées (1~;~2) est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
\textbf{Proposition A }: $ 3x+2y- 7 = 0$&\textbf{Proposition B }: $2x +3y - 8= 0 $ \\
\textbf{Proposition C }: $2x- 3y+4 = 0$	& \textbf{Proposition D }: $3x - 2y +1 = 0$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip

Soit (O, I, J) un repère orthonormé du plan.

Soit A et B deux points de coordonnées respectives (1~;~2) et $(5~;~-2)$. 

Une équation cartésienne du cercle $C$ de diamètre [AB] est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
\textbf{Proposition A }: $ x^2+y^2 - 8x- 2y + 7 = 0$ 	&\textbf{Proposition B }: $(x- 1)^2+(y - 2)^2 = 32$\\ \textbf{Proposition C }: $x^2 + y^2 - 4x +2y - 5 = 0$	& \textbf{Proposition D }: $x^2+y^2 -6x + 1 = 0$
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill \hfill 5 points}

\medskip

Une balle en caoutchouc est lâchée sans vitesse initiale d'une hauteur de 2 mètres au-dessus du sol.

Le choc n'étant pas parfaitement élastique, la balle rebondit jusqu'à une hauteur de
1,60~mètre et continue à rebondir, en atteignant après chaque rebond une hauteur égale au
$\dfrac{4}{5}$ de la hauteur du rebond précédent.

On modélise les hauteurs atteintes par la balle par une suite $\left(h_n\right)$ où pour tout entier naturel $n$, $h_n$ est la hauteur, exprimée en mètres, atteinte par la balle au $n$-ième  rebond.On a alors $h_0 = 2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner $h_1$ et $h_2$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $h_{n+1}$ en fonction de $h_n$.
		\item En déduire la nature de la suite $\left(h_n\right)$. On précisera sa raison et son premier terme. 
		\item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(h_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item  Déterminer le nombre minimal $N$ de rebonds à partir duquel la hauteur atteinte par la balle est inférieure à $20$cm. Expliquer la démarche employée.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Un restaurant propose à sa carte deux types de dessert : un assortiment de macarons et une part de tarte tatin. Des études statistiques montrent que:

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item l'assortiment de macarons est choisi par 50\,\% des clients;
\item la part de tarte tatin, est choisie par 30\,\% des clients;
\item 20\,\% des clients ne prennent pas de dessert;
\item aucun client ne prend plusieurs desserts.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

Le restaurateur a remarqué que:

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item parmi les clients ayant pris un assortiment de macarons, 80\,\% prennent un café;
\item parmi les clients ayant pris une part de tarte tatin, 60\,\% prennent un café;
\item parmi les clients n'ayant pas pris de dessert, 90\,\% prennent un café.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

On interroge au hasard un client de ce restaurant. 

On note les évènements suivants:

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item $M$ : \og Le client prend un assortiment de macarons \fg{};
\item $T$ : \og Le client prend une part de tarte tatin \fg{} ;
\item $P$ :\og Le client ne prend pas de dessert\fg{} ;
\item $C$ : \og Le client prend un café\fg{} et $\overline{C}$ l'évènement contraire de $C$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant les données de l'énoncé, préciser la valeur de $P(T)$ probabilité de $T$ et celle de $P_T(C)$ probabilité de l'évènement $C$ sachant que $T$ est réalisé.
\item  Recopier et compléter l'arbre ci-dessous :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$M$~~}\taput{0,5}}
	{\TR{$C$} \taput{}
	\TR{$\overline{C}$} \tbput{}
	}
\pstree{\TR{$T$~~}\taput{}}
	{\TR{$C$} \taput{}
	\TR{$\overline{C}$} \tbput{}
	}
\pstree{\TR{$P$~~}\tbput{}}
	{\TR{$C$} \taput{}
	\TR{$\overline{C}$} \tbput{}
	}
}
\end{center}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer par une phrase ce que représente l'évènement $M \cap C$ puis calculer $P(M \cap C)$.
		\item Montrer que $P(C) = 0,76$.
	\end{enumerate}
\item  Quelle est la probabilité que le client prenne un assortiment de macarons sachant qu'il prend un café ? (On donnera le résultat arrondi au centième).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise vend des smartphones d'un seul modèle \og haut de gamme \fg.

Le service marketing modélise le nombre de smartphones modèle \og haut de gamme\fg{}
vendus par trimestre en fonction du prix de vente $x$ par la fonction $N$ définie par 

\[N(x) = 100\e^{-2x}\,  \text{où :}\]


\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item $x$ est le prix de vente en \textbf{milliers d'euros} d'un smartphone modèle \og haut de gamme \fg.

 Le prix du smartphone modèle \og haut de gamme\fg{} est compris entre 400~\euro{} et \np{2000}~\euro{} ; on a donc $x \in [0,4~;~2]$.
\item $N(x)$ est le nombre de smartphones modèle \og haut de gamme\fg{} vendus trimestriellement en \textbf{millions d'unités}.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Si le service commercial fixe le prix de vente de ce smartphone modèle \og haut de gamme\fg{} à \np{1000}~\euro, quel sera le nombre de smartphones vendus trimestriellement ? 

On arrondira le résultat à mille unités.
\end{enumerate}

La recette trimestrielle $R(x)$ est obtenue en multipliant le nombre de smartphones modèle \og haut de gamme\fg{} vendus par le prix de vente. 

On obtient $R(x) = x \times  N(x)$ en \textbf{milliards d'euros}.

Le coût de production en milliards d'euros en fonction du nombre de smartphones modèle \og haut de gamme\fg{} fabriqués est modélisé par la fonction $C$ définie par $C(x) = 0,4 \times N(x)$ où $x$ est le prix de vente en \textbf{milliers d'euros}.

Le bénéfice est obtenu en calculant la différence entre la recette et le coût de production.

\smallskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Vérifier que le bénéfice trimestriel peut être estimé à $8,120$ milliards d'euros pour un prix de vente \np{1000}~\euro.
\item Montrer que le bénéfice trimestriel s'exprime en milliards d'euros en fonction du prix de vente $x$ en milliers d'euros par : $B(x) = (100x - 40) \e^{-2x}.$
\item On admet que pour tout réel $x \in  [0,4~;~2],\: B'(x) = (180 - 200x )\e^{-2x}$.

 Étudier les variations de la fonction $B$ sur l'intervalle [0,4~;~2].
\item À quel prix faut-il vendre ces smartphones pour assurer un bénéfice maximal ?
\end{enumerate}
\end{document}