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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Première série générale}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{2020}}
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\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat Première  Métropole-La Réunion~\decofourright\\[6pt]série générale e3c \no 10 année 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les cinq questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n'apporte ni ne retire de point.

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip

Lors d'une même expérience aléatoire, deux évènements $A$ et $B$ vérifient:

\[P(A) = 0,4\quad ;\quad P(B) = 0,6\quad ;\quad  P\left( A \cap \overline{B}\right )= 0,3\]

Alors:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$P(A \cap B)= 0,1$&\textbf{b.~~}$P(A \cap B)= 0,24$&\textbf{c.~~}$P(A \cup B)=1$&\textbf{d.~~}$P(A \cup B)= 0,7$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2 - 3x + 4$. L'abscisse du minimum de $f$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$-\dfrac{3}{2}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{2}{3}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{3}{2}$&\textbf{d.~~}$1$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique telle que $u_5 = 26$ et $u_9 = 8$. La raison de $\left(u_n\right)$ vaut :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$- 18$&\textbf{b.~~}$\dfrac{8}{26}$&\textbf{c.~~}$4,5$&\textbf{d.~~}$- 4,5$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

On considère l'algorithme suivant, écrit en langage usuel:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.45\linewidth}{X}
\texttt{Suite(N)} \\
\quad \texttt{A $\gets$ 10}\\
\quad \texttt{Pour k de 1 à N}\\
\qquad \texttt{A $\gets$ 2*A-4}\\
\quad \texttt{Fin Pour}\\
\quad \texttt{Renvoyer A}\\
\end{tabularx}
\end{center}

Pour la valeur $N = 4$ le résultat affiché sera:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$4$&\textbf{b.~~}$100$&\textbf{c.~~}$52$&\textbf{d.~~}$196$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip

On considère un rectangle ABCD tel que AB $= 3$ et AD $= 2$.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3,2)
\psframe(3,2)
\uput[ul](0,2){A}\uput[ur](3,2){B}
\uput[dl](0,0){D}\uput[dr](3,0){C}
\psline(0,2)(3,0) \psline(0,0)(3,2) 
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

Alors le produit scalaire $\vect{\text{AC}} \cdot \vect{\text{DB}}$ vaut:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$0$&\textbf{b.~~}$5$&\textbf{c.~~}$6$&\textbf{d.~~}$- 6$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Un industriel souhaite fabriquer une boîte sans couvercle à partir d'une plaque de métal de
$18$~cm de largeur et de $24$~cm de longueur. Pour cela, il enlève des carrés dont la longueur du côté mesure $x$ cm aux quatre coins de la pièce de métal et relève ensuite verticalement pour fermer les côtés.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(16,7)
%\psgrid
\psframe(1,1)(7,5)
\pspolygon[linestyle=dashed,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,2)(1,4)(2,4)(2,5)(6,5)(6,4)(7,4)(7,2)(6,2)(6,1)(2,1)(2,2)
\psline{<->}(6,0.5)(7,0.5)\uput[d](6.5,0.5){$x$}
\psline{<->}(7.4,1)(7.4,2)\uput[r](7.4,1.5){$x$}
\psline{<->}(0.3,1)(0.3,5)\psline{<->}(1,5.6)(7,5.6)
\uput[l](0.3,3){18}\uput[u](4,5.6){24}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](10,1)(14,2)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](14,1)(16,2.8)(16,3.8)(14,2)
\psline(10,2)(12,3.8)(16,3.8)
\psline(12,3.8)(12,2.8)(14.85,2.8)
\psline(11,2)(12,2.8)
\psarc[linewidth=0.15cm]{<-}(8.5,0){3}{70}{110}
\end{pspicture}
\end{center}

Le volume de la boîte ainsi obtenue est une fonction définie sur l'intervalle [0~;~9] notée
$V(x)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à [0~;~9] : $V(x) = 4x^3 - 84x^2 + 432x$. 
\item On note $V'$ la fonction dérivée de $V$ sur [0~;~9]. \\
Donner l'expression de $V'(x)$ en fonction de $x$.
\item Dresser alors le tableau de variations de $V$ en détaillant la démarche.
\item Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ la contenance de la boîte est-elle maximale ?
\item L'industriel peut-il construire ainsi une boîte dont la contenance est supérieure ou égale à $650$ cm$^3$ ? Justifier.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Une angine peut être provoquée soit par une bactérie (angine bactérienne) soit par un virus (angine virale). On admet qu'un malade ne peut pas être à la fois porteur du virus et de la bactérie. L'angine est bactérienne dans 20\,\% des cas.

Pour déterminer si une angine est bactérienne, on dispose d'un test. Le résultat du test peut être positif ou négatif. Le test est conçu pour être positif lorsque l'angine est bactérienne mais il présente des risques d'erreur :

\medskip

$\bullet~~$ si l'angine est bactérienne, le test est négatif dans 30\,\% des cas

$\bullet~~$ si l'angine est virale, le test est positif dans 10\,\% des cas

\medskip

On choisit au hasard un malade atteint d'angine. On note:

$\bullet~~$ $B$ l'évènement: \og l'angine est bactérienne \fg{} ;

$\bullet~~$ $T$ l'évènement: \og le test effectué sur le malade est positif \fg. 

\medskip

Si besoin, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un arbre pondéré.
\item Quelle est la probabilité que l'angine soit bactérienne et que le test soit positif ?
\item Montrer que la probabilité que le test soit positif est $0,22$.
\item Un malade est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la
probabilité pour que son angine soit bactérienne?
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

Un service de vidéos à la demande réfléchit au lancement d'une nouvelle série mise en ligne chaque semaine et qui aurait comme sujet le quotidien de jeunes gens favorisés.

Le nombre de visionnages estimé la première semaine est de \np{120000}. Ce nombre augmenterait ensuite de 2\,\% chaque semaine.

Les dirigeants souhaiteraient obtenir au moins \np{400000} visionnages par semaine.

On modélise cette situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de visionnages $n$ semaines après le début de la diffusion. On a donc $u_0 = \np{120000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre $u_1$ de visionnages une semaine après le début de la diffusion. 
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$ : $u_n = \np{120000} \times  1,02^n$.
\item À partir de combien de semaines le nombre de visionnages hebdomadaire sera-t-il supérieur à \np{150000} ?
\item Voici un algorithme écrit en langage Python:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.55\linewidth}{X}
\texttt{def seuil():}\\
\quad \texttt{u = 120000}\\
\quad \texttt{n = 0}\\
\quad \texttt{while u < 400000:}\\
\qquad \texttt{n = n+1}\\
\qquad \texttt{u = 1.02*u}\\
\quad \texttt{return n}\\
\end{tabularx}
\end{center}

Déterminer la valeur affichée par cet algorithme et interpréter le résultat précédent
dans le contexte de l'exercice. 

\item On pose pour tout entier naturel $n$ : $S_n = u_0 + \ldots + u_n$. Montrer que l'on a :

\[S_n = \np{6000000} \times \left(1,02^{n+1} - 1\right).\]

En déduire le nombre total de visionnages au bout de $52$ semaines (arrondir à
l'unité).

\end{enumerate}
\end{document}