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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture :
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Première série générale}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{2020}}
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\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat Première  Métropole-La Réunion~\decofourright\\[6pt]série générale e3c \no 12 année 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{Calculatrice autorisée}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.

Relevez sur votre copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.Aucune justification n'est demandée.

\bigskip

\textbf{Question 1}

\medskip

Quelle est la forme factorisée de $f(x) = 0,5(x - 2)^2 - 8$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$0,5x^2 - 2x - 6$&\textbf{b.~~}$0,5(x + 10)(x - 6)$\\
\textbf{c.~~}$0,5(x - 6)(x + 2)$&\textbf{d.~~}$0,5(x - 10)(x + 6)$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip

$\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de raison $r = 0,5$ telle que $u_{10} = -4$. Quelle est la valeur du terme $u_2$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$8$&\textbf{b.~~}$0$&\textbf{c.~~}$- 10$&\textbf{d.~~}$- 8$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie pour tout $x \ne -2$ par : $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x+2}$.

Parmi les expressions  suivantes, laquelle définit la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur 
$\R\backslash \{-2\}$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$f'(x) = - \dfrac{5}{(x + 2)^2}$&\textbf{b.~~}$f'(x) =  \dfrac{3}{(x + 2)^2}$&\textbf{c.~~}$f'(x) = \dfrac{5}{(x + 2)^2}$&\textbf{d.~~}$f'(x) = 2$\rule[-3pt]{0mm}{7mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

On se place dans un repère orthonormé \Oij. Laquelle de ces équations est une
équation cartésienne de la droite $\Delta$, de vecteur directeur $\vect{u}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$ et passant par le point
A$(-1~;~3)$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$2x - y + 1 = 0$&\textbf{b.~~}$x + 2y + 1 = 0$&\textbf{c.~~}$-x + 2y- 7= 0$&\textbf{d.~~}$-2x - y + 1 = 0$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip

On se place dans un repère orthonormé \Oij. Parmi ces propositions, quelle est l'équation cartésienne du cercle de centre A(2~;~4) et de rayon 3 ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$(x- 2)^2+(y- 4)^2 = 3$&\textbf{b.~~}$(x+2)^2 + (y+4)^2 = 9$\\
\textbf{c.~~}$x^2 + y^2 - 4x - 8y+ 11 = 0$&\textbf{d.~~}$x^2 + y^2 + 11 = 0$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Aujourd'hui les chardons (une plante vivace) ont envahi 300 m$^2$ des champs d'une région.
 Chaque semaine, la surface envahie augmente de 5\,\% par le développement des racines, auquel s'ajoutent 15 m$^2$ suite à la dissémination des graines.
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la surface envahie par les chardons, en m$^2$, après $n$ semaines; on a donc $u_0 = 300$~m$^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ ainsi définie, n'est ni arithmétique ni géométrique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

On admet dans la suite de l'exercice que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = 1,05u_n + 15$.
\begin{enumerate}[resume]
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$, définie pour tout entier naturel $n$, par: $v_n = u_n + 300$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $v_0$, puis montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q = 1,05$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis montrer que $u_n = 600 \times 1,05^n - 300$.
	\end{enumerate}
\item Est-il correct d'affirmer que la surface envahie par les chardons aura doublé au bout de $8$ semaines ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Dans la figure ci-dessous, on a tracé $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative d'une fonction $f$  définie et dérivable sur $\R$ ainsi que les tangentes à $\mathcal{C}_f$ aux points d'abscisses $- 2$,\:$- 1$ et $0$.

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture*}(-5,-3)(4,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-5,-2.95)(4,7)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3}{1}{x 3 exp x dup mul 3 mul add 2 x mul add 1 add}
\psplotTangent[arrows=<->]{-2}{3}{x 3 exp x dup mul 3 mul add 2 x mul add 1 add}
\psplotTangent[arrows=<->]{-1}{3}{x 3 exp x dup mul 3 mul add 2 x mul add 1 add}
\psplotTangent[arrows=<->]{0}{3}{x 3 exp x dup mul 3 mul add 2 x mul add 1 add}
\uput[r](1,6.6){$\mathcal{C}_f$}\uput[u](3.8,0){$x$}\uput[r](0,6.8){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier sur la copie en le complétant le tableau de valeurs ci-dessous. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$-1$	& $0$\\ \hline
$f(x)$	&		&\\ \hline
$f'(x)$	&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par:

\[f(x) = x^3 +3x^2 +2x +1.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$, pour tout réel $x$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation: $f'(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11,3.25)
\psframe(11,3.25)\psline(0,2)(11,2)\psline(0,2.5)(11,2.5)\psline(2,0)(2,3.25)
\uput[u](1,2.4){$x$} \uput[u](2.4,2.4){$- \infty$} \uput[u](5,2.4){$\frac{-\sqrt{3} - 3}{3}$} \uput[u](8,2.4){$\frac{-\sqrt{3} + 3}{3}$} \uput[u](10.5,2.4){$+ \infty$}
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5) \psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5)\psline{->}(8.5,0.5)(10.5,1.5)
\rput(1,2.25){$f'(x)$}\rput(3.5,2.25){$+$}\rput(5,2.25){$0$}\rput(6.5,2.25){$-$}\rput(8,2.25){$0$}\rput(9.5,2.25){$+$}
\rput(1,1){$f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Le point S$(-4~;~-3)$ appartient-il à la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x = -2$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

Une étude statistique menée lors des entraînements montre que, pour un tir au but, Karim marque avec une probabilité de $0,7$.

Karim effectue une série de 3 tirs au but. Les deux issues possibles après chaque tir sont les évènements:

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$M$: \og Karim marque un but \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$R$: \og Karim rate le tir au but \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

On admet que les tirs au but de Karim sont indépendants.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre total de buts marqués à l'issue de cette série de tirs par Karim.
	\begin{enumerate}
		\item Réaliser un arbre pondéré permettant de décrire toutes les issues possibles.	
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$.
	\end{enumerate}
\item  On propose à un spectateur le jeu suivant: il mise $15$~\euro{} avant la série de tirs au but de Karim ; chaque but marqué par Karim lui rapporte $6$~\euro, et chaque but manqué par Karim ne lui rapporte rien.

On note $Y$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain algébrique du spectateur, c'est- à-dire la différence entre le gain total obtenu et la mise engagée.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $Y$ en fonction de $X$.
		\item Calculer l'espérance $E(Y)$ de la variable aléatoire $Y$. 

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}