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%Tapuscrit Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 15}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no{} 2~\decofourright\\[5pt]Sujet 15 -- mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{1cm}

 \textbf{\textsc{Exercice }1 \hfill (5 points)}
 
\medskip

Ce QCM comprend $5$ questions.

\emph{Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.}

\emph{Les questions sont indépendantes.}

\emph{Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.}

\emph{Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.}

\emph{Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.}

\medskip
 \textbf{Question 1 :}
\medskip

 On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=  100$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n-\frac{13}{100}u_n$. 

Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?


\begin{tabularx}{\linewidth}{*{1}{X}}
\textbf{A.~~} géométrique de raison 1\\
\textbf{B.~~} arithmétique de raison $-\dfrac{13}{100}$\\
\textbf{C.~~} géométrique de raison 1 et arithmétique de raison $-\dfrac{13}{100}$\\
\textbf{D.~~} géométrique de raison $0,87$\\
\end{tabularx}

\medskip
 \textbf{Question 2 :}
\medskip

On considère la variable aléatoire $X$ qui prend les valeurs $x_i$ pour $i$ entier naturel allant de 1 à 5.

La loi de probabilité incomplète de la variable aléatoire $X$ est donnée ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabular}[]{|*{6}{c|}}
\hline
$X = x_i$				&$- 6$	&$- 3$	&0	&3	&$x_5$\\\hline
$P\left(X = x_i\right)$	&0,2	&0,1	&0,2&0,4&0,1\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

L’espérance de la variable aléatoire $X$ est égale à $0,7$.

Quelle est la valeur $x_5$ prise par la variable aléatoire $X$ ?


\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $6$ &\textbf{B.~~} $1$&\textbf{C.~~}$10$& \textbf{D.~~} $100$.
\end{tabularx}

\medskip
 \textbf{Question 3 :}
\medskip

 Soit $f$ la fonction dérivable définie sur $\left]-\dfrac{7}{3} ; +\infty\right[$ par $f(x)= \dfrac{2x+3}{3x+7}$ et $f'$ sa fonction dérivée.
 
 \begin{center}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $f'(x)=\dfrac{2}{3} $ &\textbf{B.~~} $f'(x) =\dfrac{23}{(3x+7)^2}$&\textbf{C.~~}$f'(x)=\dfrac{5}{(3x+7)^2} $& \textbf{D.~~} $f'(x)=\dfrac{5}{3x+7}$.
\end{tabularx}
 \end{center}
 
\medskip
 \textbf{Question 4 :} 
\medskip

De 2017 à 2018, le prix d’un article a augmenté de 10\,\%. En 2019, ce même article a retrouvé son prix de 2018. Quelle a été l’évolution du prix entre 2018 et 2019 ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{1}{X}}
\textbf{A.~~} une baisse de 10\,\%\\
\textbf{B.~~} une baisse de plus de 10\,\%\\
\textbf{C.~~} on ne peut pas savoir\\
\textbf{D.~~} une baisse de moins de 10\,\%.\\
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 5 :}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 4$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = 3u_n - 5$.

On souhaite qu'à la fin de l'exécution de l'algorithme, la valeur contenue dans la variable $u$ soit celle de $u_5$. Quel algorithme doit-on choisir ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~}
\fbox{
\begin{minipage}[t]{3cm}
$u=4$ \\
$n=0$\\
For $k$ in range (5) :\\
\hspace*{0.3cm}$u=3*n-5$\\
\hspace*{0.3cm}$n=n+1$
\end{minipage}}&
\textbf{B.~~} \fbox{
\begin{minipage}[t]{3cm}
 $u=4$\\
 $n=0$ \\
 For $k$ in range (5) :\\
\hspace*{0.3cm}$u_{n+1}=3*u_n-5$\\
\hspace*{0.3cm}$n=n+1$
 \end{minipage}}\\
 &\\
\textbf{C.~~}\fbox{\begin{minipage}[t]{3cm}
$u=4$ \\
For $k$ in range (5) :\\
\hspace*{0.3cm}$u=3*u-5$
\end{minipage}}&
\textbf{D.~~}\fbox{\begin{minipage}[t]{3cm}
$u=4$\\
$n=0$\\
While $\leqslant$ 5 :\\
\hspace*{0.3cm}$u=3*u-5$\\
\hspace*{0.3cm}$n=n+1$
\end{minipage}}
\end{tabularx}

\vspace{1cm}


 \textbf{\textsc{Exercice }2 \hfill (5 points)}
 
\medskip

Un restaurant propose à sa carte deux desserts différents :
\begin{itemize}
\item  le premier dessert est un assortiment de macarons, et est choisi par 40\,\% des clients,
\item le second dessert est une part de tarte, et est choisie par 30 \,\% des clients.
\end{itemize}
Les autres clients ne prennent pas de dessert. Aucun client ne prend plusieurs desserts.

Le restaurateur a remarqué 
que parmi les clients ayant pris comme dessert un assortiment de macarons, 70\,\% prennent un café,
que parmi les clients ayant pris comme dessert une part de tarte 40\,\% prennent un café et,
que parmi les clients n’ayant pas pris de dessert 90\,\% prennent un café. 
 
On interroge au hasard un client de ce restaurant. On note :

\begin{itemize}
\item [*] $M$ l’évènement : « Le client prend un assortiment de macarons. »
\item [*] $T$ l’évènement : « Le client prend une part de tarte. »
\item [*] $N$ l’évènement : « Le client ne prend pas de dessert. »
\item [*]$C$ l’évènement : « Le client prend un café. »
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre de probabilités décrivant la situation.
\item Calculer $P(T\cap C)$  puis $P(C)$.
\item On rencontre un client ayant pris un café. Quelle est la probabilité qu’il ait pris une part de tarte ? On donnera le résultat sous forme d’une fraction irréductible.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice }3 \hfill (5 points)}
 
\medskip

On appelle orthocentre d’un triangle le point de concours de ses trois hauteurs.

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les points A$(-4~;~10)$, B(8~;~16) , C$(8~;~-2)$, H(2~;~10) et K(5~;~7). (Voir figure ci-dessous)

\begin{center}
\psset{unit=0.4 cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-8,-8)(15,20)
\multido{\n=-7+1}{22}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-7)(\n,19)}
\multido{\n=-7+1}{27}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-7,\n)(14,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-7,-7)(14,19)
\psdots[dotstyle=x,dotscale =1.4](-4,10)(8,16)(8,-2)(2,10)(5,7)
\uput[l](-4,10){A} \uput[u](8,16){B}\uput[dr](8,-2){C}\uput[ul](2,10){H}\uput[ul](5,7){K}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=darkgray]{-}(-4,10)(8,16)\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=darkgray]{-}(8,16)(8,-2)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=darkgray]{-}(8,-2)(-4,10)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\vvt{AB}\cdot\vvt{HC}=0 $ et que $\vvt{AC}\cdot\vvt{HB}= 0$.
\item Que représente le point H pour le triangle ABC ?
\item Montrer que K est le centre du cercle passant par les sommets du triangle ABC .
\item On admet que G, le centre de gravité du triangle ABC, est le point qui vérifie
$\vvt{AG} =\dfrac{2}{3}\vvt{AM}$ où M est le milieu du segment [BC]. Déterminer les coordonnées de G.
\item Montrer que les points G, H et K sont alignés. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }4 \hfill (5 points)}

\medskip

Une entreprise produit du tissu.

Le coût total de production (en \euro) de l'entreprise est modélisé par la fonction

\[C(x)= 15x^3 - 120x^2 + 500x + 750\] 

où $x$ est la longueur de tissu fabriqué exprimée en kilomètre, $x$ étant compris entre 0 et 10.

Chaque kilomètre de tissu est vendu $680$ \euro.

On note $B(x)$ le résultat de l'entreprise, c’est-à-dire la différence entre la recette et le coût de production, pour la vente de $x$ kilomètres de tissu.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le résultat de l’entreprise pour la vente de 3 kilomètres de tissu ?
\item Montrer que : $B(x)=-15x^3+120x^2+180x-750$.
\item Donner une expression de $B'(x)$, où $B'$ est la fonction dérivée de la fonction $B$.
\item Dresser le tableau de signes de $B'(x)$ sur $[0~;~10]$ puis le tableau de variations de la fonction $B$.
\item Combien de kilomètres de tissu l’entreprise doit-elle produire afin d’obtenir un résultat maximal ?
\end{enumerate}

\end{document}