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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 17}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no{} 2~\decofourright\\[5pt]Sujet 17 mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }1 \hfill 5 points}

\medskip

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip 

On considère la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ donnée par le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash} X|}} \hline
 $k$&$-5$&0&10&20&50\\
 \hline
 $p(X=k)$&0,71& 0,03 &0,01 &0,05& 0,2\\
 \hline
 \end{tabularx}
\end{center}

L’espérance de $X$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $15$ &\textbf{b.~~} $0,2$&\textbf{c.~~}$7,55$& \textbf{d.~~} $17$.
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip 

On se place dans un repère orthonormé.

Le cercle de centre A$(-2~;~4)$ et de rayon 9 a pour équation :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $(x+2)^2+(y-4)^2=81$ &\textbf{b.~~} $(x-2)^2+(y+4)^2=81$&\textbf{c.~~}$(x+2)^2+(y-4)^2=9$& \textbf{d.~~} $(x-2)^2+(y+4)^2=9$.
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip 

\begin{minipage}[t]{8.64cm}
Soit $f$ la fonction définie par

$f(x) = ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels.

On considère dans un repère la courbe représentative de $f$ tracée ci-contre.

On appelle $\Delta$ son discriminant.

On peut affirmer que :

\end{minipage}
\begin{minipage}[]{6.3cm}
\psset{showorigin=false,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-2.75,-0.8)(3.4,4.26)
\psaxes[linewidth=0.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-2.2,-0.8)(3.3,3.7)\uput[dl](0,0){O}
\def\Func{x 1.35 add x 2.4 sub mul 0.957 neg mul }
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.8}{2.6}{\Func}
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $a > 0$ ou $c < 0$ &\textbf{c.~~}$a < 0$ et $c < 0$.\\
\textbf{b.~~} $c$ et $\Delta$ sont du même signe&\textbf{d.~~} $a < 0$ et $\Delta< 0$. 
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip 

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = - 2$ et $u_{n+1} = 2u_n - 5$.

Un algorithme permettant de calculer la somme $S = u_0 + u_1 + \dots+ u_{36}$ est :

\vspace{0.5cm}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}

\textbf{a.~~} 
\begin{minipage}[t]{2.9cm}
$U=-2$\\
$S=0$\\
Pour i de 1 à 37\\
$U \leftarrow 2U-5$\\
$S\leftarrow  S+U$\\
Fin Pour 
\end{minipage}
&

\textbf{b.~~}
 \begin{minipage}[t]{2.9cm}
$U=-2$\\
$S=0$\\
Pour i de 1 à 36\\
$U \leftarrow 2U-5$\\
$S \leftarrow  S+U$\\
Fin Pour
\end{minipage}
&

\textbf{c.~~}
 \begin{minipage}[t]{2.9cm}
$U=-2$\\
$S=-2$\\
Pour i de 1 à 37\\
$S \leftarrow  S+U$\\
$U \leftarrow 2U-5$\\
Fin Pour
\end{minipage}
&

\textbf{d.~~} 
\begin{minipage}[t]{2.9cm}
$U=-2$\\
$S=-2$\\
Pour i de 1 à 36\\
$U\leftarrow 2U-5$\\
$S \leftarrow S+U$\\
Fin Pour
\end{minipage}

\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip 


La suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 =-2$ et $u_{n+1} = 2u_n - 5$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} arithmétique mais pas géométrique &\textbf{b.~~}géométrique mais pas arithmétique &\textbf{c.~~}ni arithmétique, ni géométrique& \textbf{d.~~}à la fois arithmétique et géométrique.
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice }2 \hfill 5 points}
  
\medskip

La fonction $f$ est définie sur $]-1~;~+\infty[$ par :

\[f(x) =\dfrac{ x^2 + 1}{x + 1}\]

On se place dans un repère orthonormé du plan.

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $]-1~;~ +\infty[$:
\[f'(x) =\dfrac{x^2 + 2x - 1}{(x + 1)^2}\]
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur $]-1~;~+\infty[$.
\item Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative
de $f$ au point d’abscisse $0$.
\item Étudier la position relative de la courbe représentative de $f$ et de la
droite d'équation $y = x$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

 \textbf{\textsc{Exercice }3 \hfill (5 points)}
  
\medskip

Un jeu consiste à combattre en duel soit un monstre A, soit un monstre B.

On a une probabilité de $\dfrac{4}{5}$ d’affronter le monstre A.

Le joueur gagne contre le monstre A dans 30\,\% des cas, et gagne contre le monstre
B dans 25\,\% des cas.

Le joueur lance une partie. On considère les évènements :

\begin{itemize}
\item $A$ : \og Le joueur affronte le monstre A. \fg
\item $B$ : \og Le joueur affronte le monstre B. \fg
\item $V$ : \og Le joueur est victorieux. \fg
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $p_B\left(\overline{V}\right)$ et interpréter le résultat.
\item Montrer que $p(B \cap V) = \dfrac{1}{20}$.
\item Calculer $p(V)$.
\item Calculer la probabilité d’avoir combattu le monstre B sachant que le joueur est victorieux.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice }4 \hfill 5 points}

\medskip

\psset{labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-7,-3)(4,4)
 \psline[linewidth=0.5pt](-2,0)(3,0)
\psline[linewidth=0.5pt](0,-2)(0,3)
\psline[linewidth=0.5pt](3,0)(3,3)
\psline[linewidth=0.5pt](0,3)(3,3)
 \psline[linewidth=0.5pt](-2,0)(-2,-2)
\psline[linewidth=0.5pt](-2,-2)(0,-2)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](3,0)(3,-2)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,-2)(3,-2)
\uput[ul](0,0){O}\uput[ul](0,3){C}\uput[ur](3,3){B}\uput[r](3,0){A}\uput[dr](3,-2){M}
\uput[ul](-2,0){D}\uput[dl](-2,-2){E}\uput[d](0,-2){F}
\psplot[plotpoints=1000, linewidth=0.5pt, linecolor=lightgray]{-3.3333}{1.24}{x 1.5 mul 3 add}
\psplot[plotpoints=1000, linewidth=0.5pt, linecolor=lightgray]{-4.5}{3.4}{x 0.6667 neg  mul }
\end{pspicture}

OABC et ODEF sont des carrés de côtés respectifs 3 et 2. OAMF est un rectangle.
On note H le projeté orthogonal du point M sur la droite (DC).

Dans cet exercice, on pourra, si on le souhaite, se placer dans le repère
$(\text{O},\frac{1}{3}\,\vv{\text{OA}} ,\frac{1}{3}\,\vv{\text{OC}} )$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La droite (OM) est-elle perpendiculaire à la droite (DC) ?
\item Calculer $\vv{\text{CD}}\cdot \vv{\text{CM}}$.
\item Déterminer la longueur CH.
\end{enumerate}
\end{document}