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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Première série générale}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat Première  Métropole-La Réunion~\decofourright\\[6pt]série générale e3c \no 20 année 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM) comportant cinq questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée mais il peut être nécessaire d'effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer la réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire de point.

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip

Soit ABC un triangle tel que AB $= 6$, AC $= 3$ et $\widehat{\text{BAC}} = \dfrac{\pi}{3}$.

\textbf{a.~~} $\vect{\text{AB}} \cdot  \vect{\text{AC}} = 9$

\textbf{b.~~} $\vect{\text{AB}} \cdot  \vect{\text{AC}} = 18$

\textbf{c.~~} $\vect{\text{AB}} \cdot  \vect{\text{AC}}= 9\sqrt{3}$

\textbf{d.~~} les données sont insuffisantes pour calculer $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}}$
.
\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip

Soit $f$ une fonction telle que, pour tout nombre réel $h$ non nul,

\[\dfrac{f(1 + h) - f(1)}{h} =  h^2 + 3h - 1.\]

Alors $f'(1)$ est égal à:

\textbf{a.~~} $h^2 + 3h - 1$

\textbf{b.~~} $- 1$

\textbf{c.~~} 3

\textbf{d.~~} les données sont insuffisantes pour déterminer $f'(1)$.

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = (x + 2)\text{e}^x$.

Alors, la fonction $f'$ dérivée de $f$  est donnée sur $\R$ par :

\textbf{a.~~} $f'(x) = \text{e}^x$

\textbf{b.~~} $f'(x)=(x+3)\text{e}^x$

\textbf{c.~~} $f'(x)=(-x-1)\text{e}^x$

\textbf{d.~~} $f'(x) = \dfrac{(- x - 1)\text{e}^x}{\text{e}^{2x}}$ 

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

Soit $f$ une fonction telle que $f(2) = 5$ et $f'(2) = -1$. 

Dans un repère, la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $2$ a pour équation :

\textbf{a.~~} $y = - x - 3$

\textbf{b.~~} $y =-x + 3$

\textbf{c.~~} $y= - x + 7$

\textbf{d.~~} $y = 5x - 11$

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ dans un
repère est la courbe ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-1.2,-3)(2.1,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=8]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1.2,-2.95)(2.1,5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.2}{2.1}{x dup mul 5 mul x sub 3 div}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-1.2}{2.1}{x 3 mul  5 3 div sub}
\psdots(1,1.333)(0,-1.6667)
\uput[dr](1,1.333){A}\uput[dr](0,-1.6667){B}\uput[ul](1.7,4.25){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A$\left(1~;~\dfrac{4}{3}\right)$ passe par le point B$\left(0~;~- \dfrac{5}{3}\right)$.

Alors :

\textbf{a.~~} $f'(1)= \dfrac{1}{3}$

\textbf{b.~~} $f'(1) = \dfrac{4}{3}$

\textbf{c.~~} $f'(1) = - \dfrac{5}{3}$

\textbf{d.~~} $f'(1) = 3$

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise fabrique $q$ milliers d'objets, $q \in [1~;~20]$. Le coût total de fabrication, exprimé en euros en fonction de $q$, est donné par l'expression :

\[C(q) = q^3 - 18q^2 +750q + 200.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le coût total de fabrication de \np{5000} objets.
		\item Déterminer le coût moyen de fabrication d'un millier d'objets lorsqu'on fabrique \np{5000} objets.
	\end{enumerate}
\item Le coût moyen $C_M(q)$ de fabrication de $q$ milliers d'objets, exprimé en euros, est donné par l'expression:

\[C_M(q) = \dfrac{C(q)}{q}   = q^2 - 18q + 750 + \dfrac{ 200}{q}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item On note $C'_M$ la fonction dérivée, sur l'intervalle [1~;~20], de la fonction $C_M$.
		
 Montrer que, pour tout $q \in [1~;~20]$,

\[C'_M(q) = \dfrac{2(q - 10)\left(q^2 + q + 10\right)}{q^2}\]

		\item Étudier le signe de $C'_M$ et dresser le tableau de variation de la fonction $C_M$ sur l'intervalle [1~;~20].
		\item Quel est le coût moyen minimal et pour quelle quantité d'objets est-il obtenu ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

La famille A décide de diminuer de 2\,\% par mois sa quantité de déchets produits par mois à partir du 1\up{er} janvier 2020.

Au mois de décembre 2019, elle a produit $120$~kg de déchets.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier qu'au bout de 2 mois, la famille A aura produit environ $115$~kg de déchets.
\end{enumerate}

On admet que la quantité de déchets produits chaque mois conserve la même évolution toute l'année.

On modélise l'évolution de la production de déchets de la famille A par la suite de terme général $a_n$, où $a_n$ représente la quantité, en kg, de déchets produits par la famille A $n$ mois après décembre 2019.

Ainsi, $a_0$ représente la quantité de déchets produits durant le mois de décembre 2019, $a_1$ représente la quantité de déchets produits durant le mois de janvier 2020, etc.

\begin{enumerate}[resume]
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la nature de la suite $\left(a_n\right)$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $a_n$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer la quantité totale de déchets que produira la famille A durant l'année
2020.

On arrondira le résultat à l'unité.

On rappelle que :

Soit $\left(a_n\right)_{n\in \N}$ une suite géométrique de raison $q$,\,$ q \ne 1$. La somme $S$ de termes consécutifs est égale à $S = u_1 + u_2 +\ldots + u_n = u_1 \times \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$.
		\item On donne le programme ci-dessous.
		
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{m{0.5cm}| X}
%\multicolumn{1}{l}{1}&\texttt{def S(n):}\\
%2&\texttt{U = 128}\\
%3&\texttt{S = 0}\\
%4&\texttt{for k in range (n):}\\
%5&\multicolumn{1}{l}{\quad|~\texttt{U = 0.98*U}}\\
%6&\multicolumn{1}{l}{\quad|~\texttt{S = S + U}}\\
%7&\texttt{return (S)}\\
%\multicolumn{1}{l}{8}&\\
%\end{tabularx}
%\end{center}
 
\begin{center}
\begin{tabular}{c l}
\texttt 1 & \texttt{{\blue def} S(n) :}\\
\texttt 2 &  \vline \quad \texttt{U = 120}\\
\texttt 3 &  \vline \quad \texttt{S = 0}\\
\texttt 4 &  \vline \quad \texttt{{\blue for} k {\blue in} range (n) :}\\
\texttt 5 &  \vline \quad \vline \quad \texttt{U = 0.98 * U}\\
\texttt 6 &  \vline \quad \vline \quad \texttt{S = S + U}\\
\texttt 7 &  \vline \quad \texttt{{\blue return} (S)}\\
\texttt 8 & 
\end{tabular}
\end{center} 
 
Que représente le résultat renvoyé par la fonction si on entre l'instruction S(6) ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

Pierre joue à un jeu dont une partie est constituée d'un lancer d'une fléchette sur une cible suivi d'un tirage au sort dans deux urnes contenant des tickets marqués \og gagnant\fg ou
\og perdant\fg{} indiscernables.

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] S'il tire un ticket marqué \og gagnant \fg, il pourra recommencer une partie.
\item[$\bullet~~$] S'il atteint le centre de la cible, Pierre tire un ticket dans l'urne $U_1$ contenant exactement neuf tickets marqués \og gagnant\fg et un ticket marqué \og perdant \fg.
\item[$\bullet~~$] S'il n'atteint pas le centre de la cible (donc même s'il n'atteint pas la cible), Pierre tire un ticket dans l'urne $U_2$ contenant exactement quatre tickets marqués \og gagnant\fg et six tickets marqués \og perdant \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

Pierre atteint le centre de la cible avec une probabilité de 0,3.

\smallskip
On note les évènements suivants:

\qquad $C$ : \og Pierre atteint le centre de la cible\fg{} ;

\qquad $G$ : \og Pierre tire un ticket lui offrant une autre partie \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier l'arbre pondéré ci-dessous et justifier la valeur $0,9$.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$C$~~}\naput{0,3}}
	{\TR{$G$} \naput{0,9}
	\TR{$\overline{G}$}\nbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{C}$~~}\nbput{\ldots}}
	{\TR{$G$} \naput{\ldots}
	\TR{$\overline{G}$}\nbput{\ldots}
	}
}
\end{center}

\item Compléter sur la copie l'arbre pondéré en traduisant les données de l'exercice.
\item Calculer la probabilité de l'évènement $\overline{C} \cap G$.
\item Montrer que la probabilité qu'à l'issue d'une partie Pierre en gagne une nouvelle est égale à $0,55$.
\item Sachant que Pierre a gagné une nouvelle partie, quelle est la probabilité qu'il ait atteint le centre de la cible ? Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
\end{enumerate}
\end{document}