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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 23}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no{} 2~\decofourright\\[5pt]Sujet 23 -- mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }1 \hfill 5 points}

\medskip

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre
correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au
brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse
n’apporte ni ne retire de point.

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip 

On considère la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = -x^2 - x + 6$. On admet que l’une
des quatre courbes ci-dessous représente la fonction $f$. Laquelle ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}

\textbf{a.~~}  .

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,labelsep=0.1pt,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-3.5,-7)(3,2.6)
\multido{\n=-3+1}{6}{\psline[linewidth=1.45pt](\n,-7.2)(\n,2.14)}
\multido{\n=-7+1}{10}{\psline[linewidth=0.45pt](-3.4,\n)(2.1,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt]{->}(0,0)(-3.54,-7)(2.3,2.1)
\uput[ur](0,0){O}
\def\Func{x 3 add x 2 sub mul }
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.2}{2.1}{\Func}
\end{pspicture}
&
\textbf{b.~~} 

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,labelsep=0.1pt,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-2.5,-7.4)(3,2.5)
\multido{\n=-2+1}{6}{\psline[linewidth=0.45pt](\n,-7)(\n,2.14)}
\multido{\n=-7+1}{10}{\psline[linewidth=0.45pt](-2.2,\n)(3.,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(-2.54,-7)(3.3,2.)
\uput[ur](0,0){O}
\def\Func{x 3 sub x 2 add mul }
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=lightgreen]{-2.1}{3.1}{\Func}
\end{pspicture}
&
\textbf{c.~~}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false,labelsep=0.1pt}
\begin{pspicture}(-3.4,-2)(2.5,7.4)
\multido{\n=-3+1}{6}{\psline[linewidth=0.45pt](\n,-2.2)(\n,7)}
\multido{\n=-2+1}{10}{\psline[linewidth=0.45pt](-3.4,\n)(2.1,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt]{->}(0,0)(-3,-2.)(2.1,6.9)
\uput[ur](0,0){O}
\def\Func{x 3 add x 2 sub mul 1 neg mul }
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=ballblue]{-3.2}{2.1}{\Func}
\end{pspicture}
&
\textbf{d.~~} 

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,labelFontSize=\scriptstyle, labelsep=0.1pt,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-2.5,-2.6)(3,7.4)
\multido{\n=-2+1}{6}{\psline[linewidth=0.45pt](\n,-2.2)(\n,7)}
\multido{\n=-2+1}{10}{\psline[linewidth=0.45pt](-2.4,\n)(3.1,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt]{->}(0,0)(-2.54,-2.2)(3.3,6.6)\uput[ur](0,0){O}
\def\Func{x 3 sub x 2 add  mul 1 neg mul}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=amethyst]{-2.2}{3.1}{\Func}
\end{pspicture}
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip 

On pose pour tout réel $x$ : $A(x) = \e^{2x}$. On a alors, pour tout $x \in \R$ :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$A(x) = 2\e^{x}$ &\textbf{b.~~}$A(x) = \e^{x^2} $  &\textbf{c.~~}$A(x) = \e^x + \e^2$& \textbf{d.~~}$A(x) = \left(\e^x\right)^2$.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip 


Le plan est muni d’un repère orthonormé.

Les droites d’équations $2x + y + 1 = 0$ et $3x -2y + 5 = 0$

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}sont sécantes en $A(1~;~1)$. & 
\textbf{b.~~}sont sécantes en $B(1~;~-1)$.\\
\textbf{c.~~}sont sécantes en $C(-1~;~1)$.& 
\textbf{d.~~}ne sont pas sécantes. 
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip 

Le plan est muni d’un repère orthonormé.

Les droites d’équations $x + 3y-5 = 0$ et $3x -y+ 6 = 0 $ sont :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} perpendiculaires. &\textbf{b.~~}  sécantes non perpendiculaires.\\\textbf{c.~~}parallèles.& \textbf{d.~~}confondues.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip 

On considère la fonction Python ci-dessous :
\begin{python}
def suite(n) :
	u=2
	k=0
	while k<n :
		u=u+k
		k=k+1
	return u
\end{python}

Quelle valeur renvoie l’appel suite(5) ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $5$ &\textbf{b.~~} $8$&\textbf{c.~~}$12$& \textbf{d.~~} $17$.
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }2 \hfill 5 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(x) =\dfrac{\e^x}{1+x}.\]

On note $\mathcal{C}_f$ la représentation graphique de $f$ dans un repère du plan.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point A, point d’intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$
avec l’axe des ordonnées.
\item La courbe $\mathcal{C}_f$ coupe-t-elle l’axe des abscisses ? Justifier la réponse.
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$. Montrer que, pour tout
réel $x$ de l’intervalle $[0; +\infty[$, \[f'(x) =\dfrac{x\e^x}{(1 + x)^2}.\]
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[0~;~+\infty[$. En déduire le sens de variation de $f$ sur
$[0~;~+\infty[$.

\item On note $\mathcal{T}$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point B d’abscisse 1,6. La tangente $\mathcal{T}$ passe-t-elle par l’origine du repère ? Justifier la réponse.

\emph{Remarque : \footnotesize {le texte donnait A mais A était déjà défini autrement}}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }3 \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, pour tout évènement A, on note $\overline{A}$ son évènement contraire, $p(A)$ sa probabilité et, si $B$ est un évènement de probabilité non nulle, $p_B(A)$ la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$.}

\medskip

Une entreprise a fabriqué en un mois \np{1500} chaudières, dont $900$~chaudières à
cheminée et $600$~chaudières à ventouse.

On a constaté, dans ce lot, que :

\begin{itemize}
\item 1\,\% des chaudières à cheminées ont un défaut
\item 6\,\% des chaudières à ventouses ont un défaut.
\end{itemize}

On prélève au hasard le numéro de série d’une chaudière de la production de ce
mois.

On considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $C$ : \og Le numéro de série est celui d’une chaudière à cheminée \fg
\item $V$ : \og Le numéro de série est celui d’une chaudière à ventouse \fg
\item $D$ : \og Le numéro de série est celui d’une chaudière défectueuse \fg
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter sur la copie le tableau à double entrée suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.3315cm}|*{3}{X|}}
\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&
nombre de chaudières à cheminée & nombre de chaudières à ventouse &
 \centering Total\tabularnewline\hline
nombre de chaudières
défectueuses
&&&\\\hline
nombre de chaudières non défectueuses
&&&\\\hline
 Total &\centering 900& \centering 600& \centering 1500\tabularnewline
\hline
\end{tabularx}

\item Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :

\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$C$~}\taput{$\np{0.6}$}}
	{
	\TR{$D$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{D}$}\tbput{$\dots$}
	}
\pstree{\TR{$V$~}\tbput{$\dots$}}
	{\TR{$D$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{D}$}\tbput{$\dots$}
	}
}
\end{center}

\item Calculer la probabilité que le numéro de série soit celui d’une chaudière
défectueuse.
\item Déterminer $P_D(V)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
\item Les évènements $D$ et $V$ sont-ils indépendants ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }4 \hfill 5 points}

\medskip

Un jeu vidéo fait évoluer un personnage sur un parcours semé d’obstacles.

Au début du parcours, ce personnage est doté de \np{1000} pions noirs dans son sac et il
n’a pas de pion blanc.

Le nombre de pions noirs diminue au cours du jeu.

Le personnage gagne 10 pions blancs par minute jouée.

Chaque partie est chronométrée et dure 45 minutes. Au bout des 45 minutes, la
partie s’arrête et le joueur a gagné si le nombre de pions blancs gagnés est supérieur
ou égal au nombre de pions noirs du sac.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étude de l’évolution du nombre de pions blancs

On note $u_n$ le nombre de pions blancs obtenus au bout de $n$ minutes de jeu.

Ainsi $u_0 = 0$.

Déterminer la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et en déduire, pour tout entier $n$, l’expression
de $u_n$ en fonction de $n$.
\item Étude de l’évolution du nombre de pions noirs

Lucas estime qu’au cours d’une partie, le nombre de ses pions noirs diminue de 2\,\%
par minute. Il voudrait savoir si cette évolution est suffisante pour gagner, ou s’il doit
poursuivre son entraînement.

On note $v_n$ le nombre de pions noirs restant à la $n$-ième minute.

Ainsi $v_0 = \np{1000}$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $v_1 = 980$.
\item Déterminer la nature de la suite $\left(v_n\right)$ et en déduire, pour tout entier $n$,
l’expression de $v_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item On a calculé les premiers termes des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ à l’aide d’un tableur. La feuille de calcul est donnée ci-dessous.
Les termes de la suite $\left(v_n\right)$ ont été arrondis à l’unité.
Lucas peut-il gagner la partie ?

\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|>{\columncolor{lightgray}}m{0.35cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\rowcolor{lightgray}&A&B&C\\\hline
1&$n$&$u_n$&$v_n$\\\hline
2&0&0&\np{1000}\\\hline
3&1&10&980\\\hline
4&2&20&960\\\hline
5&3&30&941\\\hline
6&4&40&922\\\hline
7&5&50&904\\\hline
8&6&60&886\\\hline
9&7&70&868\\\hline
10&8&80&851\\\hline
\multicolumn{4}{|c|}{\dotfill}\\\hline
\multicolumn{4}{|c|}{\dotfill}\\\hline
\multicolumn{4}{|c|}{\dotfill}\\\hline
41&39&390&455\\\hline
42&40&400&446\\\hline
43&41&410&437\\\hline
44&42&420&428\\\hline
45&43&430&419\\\hline
46&44&440&411\\\hline
47&45&450&403\\\hline
48&46&460&395\\\hline
49&47&470&387\\\hline
50&48&480&379\\\hline
51&49&490&372\\\hline
52&50&500&364\\\hline
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{document}