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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 25}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no{} 2~\decofourright\\[5pt]Sujet 25 -- mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice }1 \hfill 5 points}

\medskip

Ce QCM comprend 5 questions. 

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. 

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

\medskip
\textbf{Question 1} :
\medskip 

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, l’ensemble des points M de coordonnées $(x~;~y)$ vérifiant : $(x + 1)^2+(y - 1)^2 = 9$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} un cercle  &\textbf{b.~~} une droite &\textbf{c.~~}une parabole & \textbf{d.~~}l’ensemble vide .
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
\textbf{Question 2} :
\medskip 

Combien y-a-t-il de fonctions polynômes du second degré qui s’annulent en 1 et en 3 ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $0$ &\textbf{b.~~} $ 1 $ seule&\textbf{c.~~}$2$& \textbf{d.~~} une infinité.
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
\textbf{Question 3} :
\medskip 

Une fonction polynôme du second degré :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} est nécessairement de signe constant sur $\R$ &\textbf{b.~~}n’est jamais de signe constant sur $\R$ $ $&\textbf{c.~~}est nécessairement positive sur $\R$& \textbf{d.~~} peut être ou non de signe constant sur $\R$.
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
\textbf{Question 4} :
\medskip 

Pour tout réel $x$, $\e^{2x+1}=$

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\e^{2x} + \e $ &\textbf{b.~~} $\e^{2x} \times \e $&\textbf{c.~~}$(\e^{x+1})^2 $& \textbf{d.~~} $(2x+1)\times \e $.
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
\textbf{Question 5} :
\medskip 

Dans un repère orthonormé, la droite $d$ d’équation cartésienne $2x-5y-4=0$

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées $(0~;~-4)$ &\textbf{b.~~}passe par le point de coordonnées $(2~;~0,2)$&\textbf{c.~~}admet  $\vv{u}\ \binom{2}{-5}$ pour vecteur normal& \textbf{d.~~}admet $\vv{u}\ \binom{2}{-5}$   pour vecteur directeur.
\end{tabularx}
\end{center}


\vspace{1cm}

 \textbf{\textsc{Exercice }2 \hfill 5 points}
  
\medskip

Le principe d’un Escape Game est le suivant : une équipe de participants est enfermée à l’intérieur d’une salle à thème et doit réussir à en sortir en moins d’une heure (on parle alors de partie réussie). Au-delà d’une heure, les participants sont libérés et la partie est perdue.

Un exploitant d’Escape Game propose à ses participants de faire deux parties à la suite : la première partie se déroule dans la salle à thème \og Espion \fg, la seconde partie dans la salle à thème \og Musée \fg{}. Il dispose des données suivantes :
\begin{itemize}
\item lorsqu’une équipe joue dans la salle à thème \og Espion \fg{}, la probabilité qu’elle réussisse sa partie \og Espion \fg{} est égale à 0,5 ;
\item lorsqu’une équipe a réussi la partie \og Espion\fg, la probabilité qu’elle réussisse sa partie \og Musée \fg{} est égale à 0,6 ;
\item lorsqu’une équipe n’a pas réussi la partie \og Espion \fg, la probabilité qu’elle réussisse sa partie \og Musée \fg{} est égale à 0,45.
\end{itemize}
 
Une équipe est choisie au hasard. On note les événements suivants :
\begin{itemize}
\item $E$ : \og l’équipe réussit la partie \og Espion \fg{} ;
\item $M$ : \og l’équipe réussit la partie \og Musée \fg.
\end{itemize} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur la copie, recopier et compléter l’arbre de probabilités suivant :

\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt,levelsep=2.5cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$E$~~}\taput{$\dots$}}
	{
	\TR{$M$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{M}$}\tbput{$\dots$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{E}$~~}\tbput{$\dots$}}
	{\TR{$M$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{M}$}\tbput{$\dots$}
	}
}
\end{center}

\item Déterminer la probabilité que l’équipe réussisse les deux parties.
\item Montrer que la probabilité que l’équipe réussisse la partie \og Musée \fg{} est égale à 0,525.
\item Quelle est la probabilité qu’une équipe échoue à la partie \og Espion \fg{} sachant qu’elle a réussi la partie \og Musée \fg{} ? On donnera la réponse arrondie à $10^{-2}$.
\item Pour chacune des deux parties qui sont gagnées, une équipe reçoit 2 \euro{} de réduction pour une prochaine visite. Elle peut donc recevoir 0, 2 ou 4 \euro{} de réduction.

Si un très grand nombre d’équipes jouent les deux parties, quel est le montant moyen de la réduction obtenue à la fin des deux parties ? Expliquer la démarche.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }3 \hfill 5 points}

\medskip

En France métropolitaine, 2018 a été l'année la plus chaude d’après les relevés météorologiques. La température moyenne y a été de 14~\textcelsius{} ; elle a dépassé de 1,4~\textcelsius{} la normale de référence calculée sur la période 1981-2010. (\emph{Source : site Météo France})

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour modéliser la situation, on considère l’année 2018 comme l’année zéro et on suppose que cette hausse moyenne de 1,4~\textcelsius{} par an se poursuit chaque année. Pour tout entier naturel $n$, on note alors $T_n$ la température moyenne annuelle en France pour l’année 2018+$n$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(T_n\right)$ ainsi définie ? On donnera son premier terme et sa raison.
		\item On considère qu’au-delà d’une température moyenne de 35~\textcelsius{} les corps ne se refroidissent pas et il devient insupportable pour les humains de continuer à habiter cette région que l’on qualifie alors d’inhabitable.

Selon le modèle considéré, en quelle année la France deviendrait-elle inhabitable pour les humains ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item À cause du réchauffement climatique, certaines régions risquent de connaître une baisse de 10\,\% par an des précipitations moyennes annuelles mesurées en millimètres (mm). Dans une région du nord de la France, les précipitations moyennes annuelles étaient de \np[mm]{673}  en 2018. On considère l’année 2018 comme l’année zéro et on suppose que cette baisse de 10\,\% par an se poursuit chaque année. Pour tout entier naturel $n$, on note $P_n$ les précipitations annuelles moyennes en mm dans cette région pour l’année $2018+n$.
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la nature de la suite $\left(P_n\right)$ ainsi définie ? On donnera son premier terme et sa raison.
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $P_n$ en fonction de $n$.
		\item On donne le programme Python suivant :

\begin{python}
def precipitations(J):
	I=673
	n=0
	while I > J:
		I = 0.9*I
		n = n+1
return n+2018
\end{python}

L’exécution de \og precipitations(300) \fg{} renvoie la valeur 2026. Que représente cette valeur pour le problème posé ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }4 \hfill 5 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(x)= -x^2 +2x + 4.\]

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on note $\mathcal{C}$  sa courbe représentative.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$ .
\item Déterminer la valeur exacte de l’abscisse du point A, intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l’axe des abscisses, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
\item On note $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point B d’abscisse 2.
Déterminer l’équation réduite de la droite $\mathcal{T}$
\item Tracer la droite $\mathcal{T}$ sur le graphique fourni \textbf{en annexe, qui est à rendre avec la copie}.
\item On admet que la courbe $\mathcal{C}$ est toujours en-dessous de la droite $\mathcal{T}$.

La société Logo reçoit une commande de l’entreprise RapidResto, qui lui demande de confectionner des logos dans des plaques rectangulaires de largeur \np[dm ]{4} et de hauteur \np[dm]{8}  selon le modèle ci-dessous.

Le bord supérieur du logo est modélisé par la courbe $\mathcal{C}$ tracée dans le repère orthonormé figurant sur l’annexe dont l’unité graphique est le décimètre (dm).

\emph{ Les figures ci-dessous ne sont pas à l’échelle}.

\begin{center}
\begin{tabular}[]{|l|r|} 
\hline
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,labelFontSize=\scriptstyle,labelsep=0.1pt}
\begin{pspicture}(-0.4,-0.94)(5.6,8.6)
\multido{\n=-0.4+0.2}{24}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,-0.6)(\n,8.4)}
\multido{\n=-0.6+0.2}{44}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](-0.4,\n)(4.2,\n)}
\multido{\n=0+1}{5}{\psline[linewidth=0.45pt](\n,-0.6)(\n,8.4)}
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linewidth=0.45pt](-0.4,\n)(4.2,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt]{->}(0,0)(4.2,8.4)
\def\Func{x x neg 2 add  mul 4 add }
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=0.85pt,linecolor=red]{0}{3.2361}{\Func}
\psdots[dotstyle=Mul,dotscale=1.6,linecolor=blue](0,8)(4,8)(4,0)(0,0)(3.2361,0)(1,5)(0,4)
\uput[ur](0,8){Q}\uput[ur](4,8){P}\uput[u](4,0){M}\uput[ur](0,0){O}\uput[ur](3.2361,0){A}\uput[u](1,5){C}\uput[l](0,4){D} 
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=aliceblue,linecolor=aliceblue]
{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3.2361}{\Func}
\lineto(3.2361,0)\lineto(0,0)
\closepath % indispensable !
}
\uput[r](0.5,2){\textbf{\footnotesize RapidResto}}
\end{pspicture}
&
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,9)
\psframe(0,0)(4,8)
\psline(0,8)(4,0)
\uput[dr](0.5,8){\emph{\scriptsize découpe dans}}
\uput[dr](0.6,7.61){\emph{\scriptsize la diagonale}}
\uput[dr](0.7,7.185){\emph{\scriptsize de la plaque}}
\psline{->}(1.8,6.65)(1.8,4.5)
\psline{<->}(-0.4,8)(-0.4,0)\psline{<->}(0,-0.4)(4,-0.4)
\uput[d](2,-0.5){\scriptsize\np[dm]{4}}\uput[l](-0.35,4){\scriptsize\np[dm]{8}}
\end{pspicture}\\
Logo à réaliser &Découpe selon la diagonale \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

Dans un souci d’économie, l’entreprise Logo espère pouvoir réaliser deux logos identiques dans une seule plaque, en la coupant dans sa diagonale.

 Est-ce possible ? Justifier à l’aide des questions précédentes.
 \end{enumerate}
 
\newpage
\begin{center}
\textbf{\textsc{ANNEXE}}
\end{center}
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 4, question 4}.

\begin{center}

 \textbf{À rendre avec la copie}
 
 \vspace{1.5cm}
 
\psset{unit=1.5cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-0.8,-0.9)(5,9)
\multido{\n=0+1}{5}{\psline[linewidth=0.45pt](\n,0.2)(\n,8.4)}
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linewidth=0.45pt](0,\n)(4.4,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt]{->}(0,0)(-0.44,-0.2)(4.4,8.4)
\def\Func{x x neg 2 add  mul 4 add }
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=0.65pt,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{3.3361}{\Func}
\uput[dl](-0.2,-0.2){O}\uput[ur](3.2361,0){A}
\psdot[dotstyle=Mul,dotscale=1.6,linecolor=blue](3.2361,0)
\uput[u](0.75,5){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}