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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 27}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no{} 2~\decofourright\\[5pt]Sujet 27 mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 5 points}}

\medskip

Ce QCM comprend 5 questions.

 Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. 

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre
correspondante à la réponse choisie.

 Aucune justification n’est demandée mais il peut être
nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans
réponse n’apporte ni ne retire de point.

\medskip

\textbf{Question 1 }

\medskip 

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \e^{100x}$ . Alors :

\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $g$ est croissante sur $\R$. &\textbf{b.~~} $g $ est décroissante sur $\R$. \\\textbf{c.~~}$g$ change de sens de variation sur $\R$. & \textbf{d.~~} aucune des propositions \textbf{a.~}, \textbf{b.~} et \textbf{c.~} n’est correcte.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip 


Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 100x^2 + 10x + 1$. Dans le plan muni d’un repère
orthogonal, la courbe représentative de la fonction $f$ est une parabole dont l’axe de
symétrie a pour équation :

\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $x = 10 $ &\textbf{b.~~} $x = -10 $&\textbf{c.~~}$x = 0,05 $& \textbf{d.~~} $ x = -0,05 $.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip 

Soit $a$ et $b$ les fonctions définies sur $\R$ par $a(x) = 3x^2 + 15x+ 1$ et
$b(x) = 25x^2 + 5x - 100$. Dans le plan muni d’un repère orthonormé les courbes
représentatives des fonctions $a$ et $b$ ont :

\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} 0 point d’intersection &\textbf{b.~~} 1 point d’intersection\\\textbf{c.~~}2 points d’intersection& \textbf{d.~~}4 points d’intersection.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip 

La somme $1 + 5 + 5^2 + \dots + 5^{10}$ est égale à :

\medskip 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $ \np{2 441 406}$ &\textbf{b.~~} $271 $&\textbf{c.~~}$ 5^{55}$& \textbf{d.~~} $ \np{12 207 031} $.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip 

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ dont la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ est donnée ci-dessous.
On sait de plus que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet deux tangentes horizontales : une au point d’abscisse
$-1$ et l’autre au point d’abscisse 3.

\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=1.2cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-4,-3.5)(4.7,1.6)

\psaxes[linewidth=0.95pt]{->}(0,0)(-3.5,-3.5)(4.3,1.4)
\def\Func{x x x 12 div 0.25 sub mul 0.75 sub mul 0.17 add}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3.3}{4.3}{\Func}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-1,0)(-1,0.58333)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](3,0)(3,-2.08333)
\psline[linewidth=0.75pt,]{<->}(-1.5,0.58333)(-0.5,0.58333)
\psline[linewidth=0.75pt]{<->}(3.5,-2.08333)(2.5,-2.08333)
\uput[ur](-2.5,0.3){\red $\mathcal{C}_f$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}


Alors le réel $f'(-1)\times f'(3)$  est :

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}strictement positif &\textbf{b.~~}strictement négatif &\textbf{c.~~} égal à 0& \textbf{d.~~}égal à $f'(-3)  $.
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\medskip

Dans le plan muni d’un repère, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d’une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. On note $f'$ la dérivée de $f$. 

On sait que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet exactement deux tangentes horizontales :

\begin{itemize}
\item l’axe des abscisses comme tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A(-1~;~0)$ ;
\item la droite $T_B$ comme tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $B\left(\dfrac{1}{3}~;~-\dfrac{32}{27}\right)$.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{xunit=2.5cm,yunit=1.5cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false,comma=true}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,2.6)
\multido{\n=-2.5+0.1}{50}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,-2.9)(\n,2.4)}
\multido{\n=-2.9+0.1}{54}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](-2.5,\n)(2.4,\n)}
\multido{\n=-2.5+0.5}{10}{\psline[linewidth=0.45pt](\n,-2.9)(\n,2.4)}
\multido{\n=-2.5+0.5}{10}{\psline[linewidth=0.45pt](-2.5,\n)(2.4,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-2.5,-2.9)(2.5,2.4)
\def\Func{x x x 1 add mul 1 sub mul 1 sub }
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{1.4}{\Func}
\psline[linewidth=1.25pt](-2.5,-1.185185)(2.4,-1.185185)
\psdots[dotstyle=Mul,dotscale=2.06,linecolor=blue](-1,0)(0.333333,-1.185185)
\uput[u](-1,0){$A$}\uput[d](0.333333,-1.185185){$B$}\uput[dl](0,0){O}\uput[r](1.01,1.3){\red $\mathcal{C}_f$}
\uput[d](2.2,-1.25){$T_B$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Par lecture graphique, donner les solutions de l’équation $f(x)=0$.
\end{enumerate}

La fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=x^3+x^2-x-1$. On note $f'$ la dérivée de $f$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$.
\item En déduire le tableau de variations de $f$.
\item En utilisant ce qui précède, déterminer la position relative de la courbe $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=x^3+x^2$ et de la droite $D$ d’équation $y=x+1$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\medskip

Dans cet exercice et si cela est nécessaire, les résultats seront arrondis à 0,1.

\begin{minipage}[]{6.25cm}
Le graphique ci-contre illustre l’évolution du nombre (en milliers) de voitures électriques immatriculées en France entre 2015 et 2018.
\end{minipage}
\begin{minipage}[]{8.8125cm}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.15cm}
\begin{pspicture}(-0.9,-7)(4.85,40)
\psaxes[axesstyle=none,ticks=none,Ox=2015,Dy=5]{-}(0,0)(0,-1)(4.25,33.5)
\multido{\n=0+5}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(5,\n)}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.75,0)(1.25,17.3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.75,0)(2.25,21.8)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.75,0)(3.25,24.9)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.75,0)(4.25,31.1)
\uput[u](1,17.3){$17,3$}
\uput[u](2,21.8){$21,8$}
\uput[u](3,24.9){$24,9$}
\uput[u](4,31.1){$31,1$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On cherche à modéliser l’évolution du nombre (en milliers) de voitures électriques immatriculées en France à compter de l’année 2015 à l’aide d’une suite. On hésite entre deux modèles :
\begin{itemize}
\item Premier modèle : 

on fait l’hypothèse que ce nombre augmente de 21\,\% par an. On définit alors une suite $\left(u_n\right)$ où, selon ce modèle, $u_n$ est le nombre (en milliers) de voitures électriques immatriculées en France l’année $2015+n$ avec $n\in \N$. Ainsi, on a $u_0=17,3$.
\item Second modèle :

on définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_0= 17,3$ et pour tout entier naturel $n$,
 \mbox{$v_{n+1}= 0,7v_n + 10$}. D’après ce modèle et pour tout entier naturel $n$, $v_n$ est le nombre (en milliers) de voitures électriques immatriculées en France l’année $2015+n$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Donner les valeurs des réels $u_1$, $u_2$, $u_3$, $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
\item Des deux modèles, lequel apparaît le mieux adapté pour modéliser à l’aide d’une suite l’évolution du nombre de voitures électriques immatriculées en France à compter de l’année 2015 donnée dans le graphique ? Argumenter.
\end{enumerate}
\item Dans ce qui suit, on choisit de modéliser le nombre de voitures immatriculées en France à compter de l’année 2015 à l’aide de la suite $\left(u_n\right)$ définie dans la question \textbf{1}.
	\begin{enumerate}
		\item  Donner la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et préciser sa raison.
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
		\item On considère l’algorithme en langage Python ci-dessous.
\begin{center}
\begin{python}
u=17.3
n=0
while u<50 :
  u=1.21*u
  n=n+1
\end{python}
\end{center}

Quelle est la valeur de la variable $n$ à la fin de l’exécution de cet algorithme ? Interpréter ce
résultat dans le contexte de l’exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\medskip

Un jeu est organisé à partir d’un sac contenant 6 jetons rouges et 4 jetons noirs. Les jetons
sont indiscernables au toucher.

Un joueur prend deux jetons au hasard dans le sac selon le déroulé suivant :
\begin{itemize}
\item le joueur prend un premier jeton au hasard dans le sac et il met le jeton de côté ;
\item le joueur prend un second jeton au hasard dans le sac et il met le jeton de côté.
\end{itemize}

On note :
\begin{itemize}
\item $R_1$ l’évènement \og le premier jeton tiré est de couleur rouge \fg;
\item $R_2$ l’évènement \og le second jeton tiré est de couleur rouge \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Recopier sur la copie et compléter l’arbre ci-dessous :

\begin{center}

\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt,levelsep=2.75cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$R_1$~~}\taput{$\dots$}}
	{
	\TR{$R_2$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{R_2}$}\tbput{$\dots$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{R_1}$~~}\tbput{$\dots$}}
	{\TR{$R_2$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{R_2}$}\tbput{$\dots$}
	}
}
\end{center}

\item On considère l’évènement $A$  \og le joueur obtient deux jetons de couleur rouge \fg.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité $p(A)$.
		\item Décrire l’évènement contraire de l’évènement $A$ par une phrase de la forme

\hspace{7em}\og le joueur obtient $\ldots$ \fg.
		\item Montrer que la probabilité que le second jeton tiré soit de couleur rouge est égale à $0,6$.
		\item Le second jeton tiré est de couleur noire. Que peut-on alors penser de l’affirmation suivante :

\og il y a plus de 50\,\% de chance que le premier jeton tiré ait été de couleur rouge \fg{} ?

Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}







