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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 29}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no{} 2~\decofourright\\[5pt]Sujet 29 mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 5 points}}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

Pour chacune des questions, une seule des  quatre réponses proposées est correcte. 

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au
brouillon pour aider à déterminer la réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse
n’apporte ni ne retire de point.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 5 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L’arbre pondéré ci-dessous représente une situation où A, B, C et D sont des
évènements d’une expérience aléatoire :

\begin{center}

\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt,levelsep=2.75cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~~}\taput{$\np{0.12}$}}
	{
	\TR{$D$}\taput{$\np{0.5}$}
	\TR{$\overline{D}$}\tbput{$\dots$}
	}
\pstree{\TR{$B$~~}\taput{$\np{0.24}$}}
	{\TR{$D$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{D}$}\tbput{$\np{0.8}$}
	}
\pstree{\TR{$C$~~}\tbput{$\dots$}}
	{\TR{$D$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{D}$}\tbput{$\np{0.9}$}
	}	
}

\end{center}

La probabilité de l’évènement $D$ est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $0,06 $ &\textbf{b.~~} $0,8 $&\textbf{c.~~}$ 0,5 $& \textbf{d.~~} $0,172  $.
\end{tabularx}

\medskip

\item L’ensemble des solutions réelles de l’inéquation $- 2x^2 - 5x + 3 < 0 $ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $\left] - 3~;~\dfrac{1}{2}\right[$ &\textbf{b.~~} $\left] -\infty~;~-3  \right[\cup \left] \dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[ $ \\\textbf{c.~~}$ \left] -\infty~;~-\dfrac{1}{2}\right[\cup\left]3~;~+\infty\right[ $& \textbf{d.~~} $\left] -\dfrac{1}{2}~;~3\right[  $.
\end{tabularx}

\medskip

\item On considère la droite $\mathcal{D}$ d’équation $2x - 8y + 1 = 0$.

Les coordonnées d’un vecteur normal à $\mathcal{D}$ sont :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$ \dbinom{1}{-4}$ &\textbf{b.~~} $\dbinom{8}{-2} $&\textbf{c.~~}$\dbinom{-8}{2} $& \textbf{d.~~} $\dbinom{-4}{1}$.
\end{tabularx}

\medskip

\item Dans un repère orthonormé, l’équation du cercle de centre $A (-2~;~-4)$ et de rayon 2
est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}$ x^2 - 4x + y^2 - 8y + 16 = 0$ &\textbf{b.~~} $x^2 + 4x + y^2 + 8y + 16 = 0 $\\\textbf{c.~~}$ x^2 - 4x + y^2 - 8y + 18 = 0$& \textbf{d.~~} $x^2 + 4x + y^2 + 8y+ 18 = 0  $.
\end{tabularx}

\medskip

\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel non nul $n$, 

\[u_{n+1} = u_n + 2n - 3\]

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $u_1 = 0 $ &\textbf{b.~~} $\left(u_n\right)$ est arithmétique \\\textbf{c.~~}$u_3 = -2 $& \textbf{d.~~} $\left(u_n\right)$ est décroissante.
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\medskip

\emph{Dans tout l’exercice, on notera $p(E)$ la probabilité d’un évènement $E$.}

\bigskip

La répartition des $150$ adhérents d’un club de sport est donnée dans le tableau ci-dessous :

\medskip
\begin{center}
\begin{tabular}[]{|m{2.95cm}|*{4}{c|}}
\hline
\text{Âge} 				&15 \text{ans}	&16 \text{ans} 	&17 \text{ans} 	&18 \text{ans}\\\hline
\text{Nombre de filles}	&17				&39				&22				&10\\\hline
\text{Nombre de garçons}&13 			&36				&8 				&5\\\hline
\text{Total} 			&30				&75				&30				&15\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

On choisit un adhérent au hasard.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que l’adhérent choisi ait 17 ans ?
\item L’adhérent choisi a 18 ans. Quelle est la probabilité que ce soit une fille ?
\end{enumerate}

On note $X$ la variable aléatoire donnant l’âge de l’adhérent choisi. 

\begin{enumerate}[resume]
\item  Déterminer la loi de probabilité de $X$.
\item Calculer $p(X\geqslant 16)$ et interpréter le résultat.
\item Calculer l’espérance de $X$. Interpréter le résultat.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }3 \hfill (5 points)}

\medskip

La concentration d’un médicament dans le sang en mg.L$^{-1}$ au cours du temps $t$,
exprimé en heure, est modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par :

\[f(t) = t\e^{-0,5t}\]

dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.

\medskip

\begin{center}
\psset{yunit=3cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-0.75,-0.2)(11,1.1)
\multido{\n=0.0+0.2}{56}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,1)}
\multido{\n=0.0+0.2}{6}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](0,\n)(11,\n)}
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.45pt](\n,0)(\n,1)}
\multido{\n=0+1}{2}{\psline[linewidth=0.45pt](0,\n)(10.8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.1,0)(11,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(11,1)
\def\Func{2.71828 x 0.5 neg  mul exp  x mul  }
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{11}{\Func}
\uput[dr](6,0.5){\red $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de $f(4)$ et interpréter le résultat dans le contexte de
l’exercice.
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
Montrer que pour tout $t\in  [0~;~+\infty[$,\[ f'(t) = (1 - 0,5t)\e^{-0,5t}\].
\item Étudier le signe de $f'(t)$ sur $[0~;~+ \infty[$.
\item Déduire de la question précédente le tableau de variations de la fonction $f$
sur $[0~;~+ \infty[$.
\item Quelle est la concentration maximale du médicament dans le sang ? On
donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\medskip

Un téléphone coûte $600$ euros lors de son lancement. Tous les ans, le fabricant sort une
nouvelle version de ce téléphone. Le prix de ce téléphone augmente de 3\,\% chaque année.

On note $u_n$ le prix du téléphone en euros $n$ années après son lancement. On a donc
$u_0 = 600$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$. Interpréter les résultats.
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, pour tout entier naturel $n$ et en déduire la nature de
la suite $\left(u_n\right)$. Préciser sa raison et son premier terme.
\item Exprimer, pour tout entier $n$, $u_n$ en fonction de $n$.
\item Recopier et compléter sur la copie la fonction Python ci-dessous pour qu’elle détermine
le nombre minimum d’années nécessaires afin que le prix du téléphone dépasse \np{1000}
euros.

\begin{center}
\begin{tabular}[]{|m{12.4em}|}
\hline
def nombreAnnees():\\
n = 0\\
u = 600\\
while \dots :\\
\hspace{1em}n = \dots\\
\hspace{1em}u =\dots\\
return n\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Quelle est la valeur de $n$ renvoyée par cette fonction Python ?
\end{enumerate}
\end{document}