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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Première série générale}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{2020}}
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\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat Première  Métropole-La Réunion~\decofourright\\[6pt]série générale e3c \no 30 année 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip


Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire de point.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
L'inéquation $2x^2 - 9x +4 \geqslant 0$ a pour ensemble de solutions :
	\begin{enumerate}
		\item $S= \left[\dfrac{1}{2}~;~4\right]$
		\item $S = \left ]-\infty~;~\dfrac{1}{2}\right ] \cup  [4~;~+\infty$[
		\item $S = \emptyset$ 
		\item $S = ]- \infty~;~-4] \cup \left [- \dfrac{1}{2}~;~+\infty\right [$
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	
\item On considère la fonction $g$ définie sur l'ensemble des réels $\R$ par 

\[g(x) = -x^2 +4x\]

alors
	\begin{enumerate}
		\item le minimum de la fonction $g$ sur $\R$ est 4
		\item  le maximum de la fonction $g$ sur $\R$ est 4
		\item  le maximum de la fonction $g$ sur $\R$ est 2
		\item  $g$ est décroissante sur l'intervalle $[4~;~ +\infty[$
	\end{enumerate}
	
		\medskip

\item Le plan est rapporté à un repère orthonormé. La droite passant par le point A$(0~;~-7)$ et de vecteur normal $\vect{n}\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}$ a pour équation
	\begin{enumerate}
		\item $2x - 5y - 35 = 0$ 
		\item $2x- 5y + 35 = 0$ 
		\item $-5x - 2y + 14 = 0$ 
		\item $5x+ 2y+ 14 = 0$
	\end{enumerate}
	
		\medskip

\item Le plan est rapporté à un repère orthonormé. L'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ telles que $x^2 - 4x +y^2 + 6y = 12$ est
	\begin{enumerate}
		\item le point de coordonnées (5~:~1)
		\item le cercle de centre A$(2~;~-3)$ et de rayon $\sqrt{12}$
		\item le cercle de centre A$(2~;~-3)$ et de rayon $5$
		\item le cercle de centre B$(-2~;~3)$ et de rayon $5$
	\end{enumerate}
	
		\medskip

\item Le plan est muni d'un repère orthonormé.

On considère la droite $d$ d'équation $2x + 3y - 1 = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item La droite $d$ est perpendiculaire à la droite (AB), où A$(-2~;~3)$ et B(2~;~9).
		\item  Le vecteur $\vect{u}\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à la droite $d$.
		\item  La droite perpendiculaire à $d$ passant par le point $(-1~;~2)$ admet pour équation \\ $3x- 2y+1=0$.
		\item  La droite parallèle à $d$ passant par le point (2~;~3) admet pour équation $2x + 3y + 13 = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \left (2x - 1\right )\text{e}^x$.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$,

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$,\, $f'(x) = \left (2x + 1\right )\text{e}^x$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$.
\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$. Dans les questions suivantes, on note $\mathcal C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère.
\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal C$ avec l'axe des ordonnées. 
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal C$ au point d'abscisse $0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

On appelle pourcentage de compression d'une image, le pourcentage de réduction de sa taille en ko (kilo-octets) après compression.

Une image a une taille initiale de 800 ko. Après une première compression, sa taille est de 664 ko.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le pourcentage de réduction associé à cette première compression.
\end{enumerate}

Dans la suite de l'exercice, on fixe le pourcentage de réduction à 17\,\%. On effectue $n$ compressions successives.

Pour tout entier naturel $n$, on note $t_n$ la taille de l'image en ko après $n$ compressions.

On a donc $t_0 = 800$.
\begin{enumerate}[resume]
\item  Pour tout entier naturel $n$, exprimer $t_{n+1}$ en fonction de $t_n$ et en déduire la nature de la suite $\left(t_n\right)$.
\item  Pour tout entier naturel $n$, exprimer $t_n$  en fonction de $n$.

Afin de déterminer le nombre minimal $n$ de compressions successives à effectuer pour que cette image ait une taille finale inférieure à $50$ ko, on considère la fonction Python suivante:

\begin{center}
\fbox{
\begin{tabularx}{0.45\linewidth}{X}%\hline
\texttt{def nombreCompressions(A):} \\
\qquad \texttt{t = 800}\\
\qquad \texttt{n = 0}\\
\qquad \texttt{While t > A:}\\
\qquad \qquad \texttt{t = t*0,83}\\
\qquad \qquad \texttt{n = n+1} \\
\qquad \texttt{return n}\\% \hline
\end{tabularx}
}
\end{center}

\item Préciser, en justifiant, le nombre A de sorte que l'appel \texttt{nombreCompressions(A)} renvoie le nombre de compressions successives à effectuer que l'on cherche à déterminer.
\item Quel est le nombre minimal de compressions successives à effectuer pour que ce fichier ait une taille finale inférieure à $50$ ko ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

Dans un jeu, Jeanne doit trouver la bonne réponse à une question posée.

Les questions sont classées en trois catégories : sport, cinéma et musique.

Jeanne, fervente supportrice de ce jeu, est consciente qu'elle a :

$\bullet~~$1 chance sur 2 de donner la bonne réponse sachant qu'elle est interrogée en sport ;

$\bullet~~$3 chances sur 4 de donner la bonne réponse sachant qu'elle est interrogée en cinéma ;
 
$\bullet~~$1 chance sur 4 de donner la bonne réponse sachant qu'elle est interrogée en musique.

On note :

\quad $S$ l'évènement: \og Jeanne est interrogée en sport\fg{} ;

\quad $C$ l'évènement: \og Jeanne est interrogée en cinéma\fg{} ; 

\quad $M$ l'évènement: \og Jeanne est interrogée en musique\fg{} ; 

\quad $B$ l'évènement: \og Jeanne donne une bonne réponse \fg


\emph{Rappel de notation: la probabilité d'un évènement $A$ est notée $P(A)$.}

Dans chaque catégorie, il y a le même nombre de questions. On admet donc que
$P(S) = P(C) = P(M) = \dfrac{1}{3}$.

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
\item Jeanne tire au hasard une question. Montrer que $P(B) = \dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}

Pour participer à ce jeu, Jeanne doit payer 10~\euro{} de droit d'inscription. Elle recevra:

$\bullet~~$ 10 \euro{} si elle est interrogée en sport et que sa réponse est bonne ;

$\bullet~~$ 20 \euro{} si elle est interrogée en cinéma et que sa réponse est bonne ;

$\bullet~~$ 50 \euro{} si elle est interrogée en musique et que sa réponse est bonne ;

$\bullet~~$ rien si la réponse qu'elle donne est fausse.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque partie jouée par Jeanne associe son gain algébrique, c'est-à-dire la différence en euros entre ce qu'elle reçoit et les $10$~\euro{} de droit d'inscription.

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que $P(X = 40) = \dfrac{1}{12}$.
\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
\item Calculer l'espérance mathématique de $X$. Jeanne a-t-elle intérêt à jouer ?
\end{enumerate}
\end{document}