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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 32}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no{} 2~\decofourright\\[5pt]Sujet 32  --  mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 5 points}}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. 

Aucune justification n’est demandée.

Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip 

Soit la fonction $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=(x^2+x+1)(x-1)$.
L’équation $P(x)=0$ :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}n’a pas de solution sur $\R$ &\textbf{b.~~}a une unique solution sur $\R$ \\\textbf{c.~~}a exactement deux solutions sur $\R$& \textbf{d.~~} a exactement trois solutions sur $\R$.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip 

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (7x - 23)\left(\e^x+1\right)$.

L’équation $f(x)=0$ :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}admet $x=1$ comme solution &\textbf{b.~~}admet deux solutions sur $\R $\\\textbf{c.~~} admet $x=\frac{23}{7}$ comme solution & \textbf{d.~~}admet $x=0$ comme solution.
\end{tabularx}


\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip 

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, le cercle de centre A$(-4~;2)$ et de rayon $r=\sqrt{2}$ a pour équation :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $(x+4)^2+(y-2)^2=\sqrt{2} $ &\textbf{b.~~} $(x-4)^2+(y-2)^2=4 $\\\textbf{c.~~}$(x+4)^2+(y-2)^2=2 $& \textbf{d.~~} $(x-4)^2+(y+2)^2=2  $.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip 

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère les vecteurs $\vv{u}(m+1~;~- 1)$ et $\vv{v}(m~;~2)$ où $m$ est un réel.

Une valeur de $m$ pour laquelle les vecteurs $\vv{u}$ et $\vv{v}$ sont orthogonaux est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $m= -\frac{2}{3}$ &\textbf{b.~~} $m=-2 $&\textbf{c.~~}$m=2 $& \textbf{d.~~} $m=-1  $.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip 

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, une équation cartésienne de la droite $D$ passant par le point $A(-2~;~5)$ et admettant pour vecteur normal
 $\vv{n}\, (-1~;~3)$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $-x + 3y + 7 = 0 $ &\textbf{b.~~} $x-3y + 17 = 0 $\\\textbf{c.~~}$-3x - y - 1 = 0$& \textbf{d.~~} $-x - 3y + 13 = 0  $.
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\medskip

Une entreprise vend des téléviseurs. Une étude a montré que ces téléviseurs peuvent rencontrer deux types de défauts : un défaut sur la dalle, un défaut sur le condensateur.
L’étude indique que :

\begin{itemize}
\item 3\,\% des téléviseurs présentent un défaut sur la dalle et que parmi ceux-ci, 2\% ont également un défaut sur le condensateur.
\item 5\,\% des téléviseurs ont un défaut sur le condensateur.
\end{itemize}
On choisit un téléviseur au hasard et on considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item $D$ : \og le téléviseur a un défaut sur la dalle \fg{} ;
\item $C$ : \og le téléviseur a un défaut sur le condensateur \fg.
\end{itemize}

Pour tout évènement $E$, on note $p(E)$ sa probabilité et $\overline{E}$ l’évènement contraire de $E$. Pour tout évènement $F$ de probabilité non nulle, on note $p_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.

Les résultats seront approchés si nécessaire à $10^{-4}$ près.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que $p(D)= 0,03$ puis donner $p_D(C)$.
\item Recopier l’arbre ci-dessous et compléter uniquement les pointillés par les probabilités associées :

\begin{center}

\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt,levelsep=2.75cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$D$~~}\taput{$\dots $}}
	{
	\TR{$C$}\taput{$\dots $}
	\TR{$\overline{C}$}\tbput{$\dots $}
	}
\pstree{\TR{$\overline{D}$~~}\tbput{$\dots $}}
	{\TR{$C$}\taput{$ $}
	\TR{$\overline{C}$}\tbput{$ $}
	}
}
\end{center}

\item Calculer la probabilité $p(D\cap C)$ de l’évènement $D \cap C$.
\item Le téléviseur choisi a un défaut sur le condensateur. Quelle est alors la probabilité qu’il ait un défaut sur la dalle ?
\item Montrer que la probabilité que le téléviseur choisi ait un défaut sur le condensateur et n’ait pas de défaut sur la dalle est égale à 0,0494.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\medskip

Dans le repère ci-dessous, on note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-10~;~2]$.

On a placé dans ce repère les points $A~(0~;~2$), $B~(2~;~0)$ et $C~(-2~;~0)$.

On dispose des renseignements suivants :
\begin{itemize}
\item Le point B appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$.
\item La droite (AC) est tangente en A à la courbe $\mathcal{C}_f$.
\item La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse 1 est une droite parallèle à l’axe des abscisses.
\end{itemize}


\psset{unit=1.05cm,labelFontSize=\scriptstyle, showorigin=false}
\begin{pspicture}(-10.35,-1.3)(2.7,3)
\multido{\n=-10.33333333+0.33333333}{40}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,-1.33)(\n,3)}
 \multido{\n=-1.3333333+0.3333333}{14}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](-10.4,\n)(2.7,\n)}
% \multido{\n=-10+1}{11}{\psline[linewidth=0.6pt](\n,-1.33)(\n,3)}
 %\multido{\n=-1+1}{5}{\psline[linewidth=0.6pt](-10.4,\n)(2.7,\n)}
 \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-10.33,-1.33)(2.7,3)
\def\Func{2.71828 x exp 2 x sub mul}
 \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-10}{2}{\Func}
 \psplot[plotpoints=3000,linewidth=0.85pt,linecolor=blue]{-10.333}{2.3}{2.71828}
 \psplot[plotpoints=3000,linewidth=0.85pt,linecolor=ballblue]{-3.4}{1.02}{x 2 add}
 \psdots[dotstyle=Mul,dotscale=2.6](0,2)(2,0)(-2,0)
 \uput[ur](2,0){B} \uput[r](0,2){A} \uput[u](-2,0){C} \uput[dl](0,0){O} 
 \uput[dr](1.8,1.32){\blue $\displaystyle \mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}

\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur de $f'(1)$.
\item Donner une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A.
\end{enumerate}
On admet que cette fonction $f$ est définie sur $[-10~;~2]$ par \[f(x)=(2-x)\e^x.\]
\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[-10~;~2]$,

\[f'(x)=(-x+1)e^x.\]

\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10 ;2]$.
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point B.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\medskip

La médiathèque d’une petite ville a ouvert ses portes début janvier 2013 et a enregistré \np{2 500}~inscriptions pour l’année 2013.

Elle estime que, chaque année, 80\,\% des anciens inscrits renouvellent leur inscription l’année suivante et qu’il y aura également $400$ nouveaux adhérents.

Pour tout entier naturel $n$, on peut donc modéliser le nombre d’inscrits à la médiathèque $n$ années après 2013 par une suite numérique $(a_n)$ définie par :
$ a_0=\np{2500}$ et $a_{n+1}=0,8a_n + 400$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer $a_1$ et $a_2$.
\item On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=a_n- \np{2000}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,8. Préciser son premier terme.
		\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $a_n=500\times 0,8^n + \np{2000}$.
		\item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $a_n\leqslant \np{2010}$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}