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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 33}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no{} 2~\decofourright\\[5pt]Sujet 33 -- mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 5 points}}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\
Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est exacte.\\
Indiquer sur la copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie.\\
Aucune justification n'est attendue.\\
\emph{Une réponse juste rapporte un point, une
réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlèvent pas de point.}

\begin{description}
\item[Question 1:]\ %

Dans un repère du plan, la droite $(d)$ a pour équation: $2x-3y+1=0$.

Un vecteur directeur de la droite $(d)$ est:

\begin{enumerate*}[label=\textbf{\alph{*}.},itemjoin=\hfil,afterlabel={~~}]
\item $\vect{u}(2\,;\,-3)$ \item $\vect{v}(3\,;\,2)$ \item $\vect{w}(-3\,;\,1)$ \item $\vect{r}\left(1\,;\,\dfrac{3}{2}\right)\cdotp$
\end{enumerate*}

\item[Question 2:]\ %

Dans un repère du plan, la droite $(d)$ a pour équation: $2x-3y+1=0$. Un vecteur normal à la droite $(d)$
est:

\begin{enumerate*}[label=\textbf{\alph{*}.},itemjoin=\hfil,afterlabel={~~}]
\item $\vect{u}(2\,;\,3)$ \item $\vect{v}(3\,;\,2)$ \item $\vect{w}(-3\,;\,1)$ \item $\vect{r}\left(1\,;\,\dfrac{3}{2}\right)\cdotp$
\end{enumerate*}

\item[Question 3:]\ %

On donne trois points distincts: $\mathsf{A}$, $\mathsf{B}$ et $\mathsf{C}$.\\
Les points $\mathsf{D}$ et $\mathsf{E}$ sont tels que $\vect{\mathsf{EB}}=\vect{\mathsf{BA}}$ et $\vect{\mathsf{ED}}=2\vect{\mathsf{BC}}$.

On a:

\begin{enumerate*}[label=\textbf{\alph{*}.},itemjoin=\hfil,afterlabel={~~}]
\item $\mathsf{A}$ est le milieu de $[\mathsf{EB}]$ \item $\mathsf{B}$ est le milieu de $[\mathsf{ED}]$
\end{enumerate*}

\begin{enumerate*}[resume,label=\textbf{\alph{*}.},itemjoin=\hfil,afterlabel={~~}]
\item $\mathsf{C}$ est le milieu de $[\mathsf{AD}]$ \item $\mathsf{D}$ est le milieu de $[\mathsf{AC}]$.
\end{enumerate*}

\item[Question 4:]\ %

Soit $x$ un nombre réel. Dans un repère orthonormé, les vecteurs $\vect{u}(-x+4\,;\,7)$ et $\vect{v}(9\,;\,2x-5)$ sont
orthogonaux lorsque $x$ est égal à:

\begin{enumerate*}[label=\textbf{\alph{*}.},itemjoin=\hfil,afterlabel={~~}]
\item $\dfrac{1}{5}$
\item 10
\item $-\dfrac{1}{5}$
\item 6.
\end{enumerate*}

\item[Question 5:]\ %

Dans un repère orthonormé, on considère les points $\mathsf{A}(-1\,;\,-2)$, $\mathsf{B}(2\,;\,0)$, $\mathsf{C}(3\,;\,-1)$ et\\
$\mathsf{D}(-3\,;\,4)$.

Alors $\vect{\mathsf{AC}}\cdot\vect{\mathsf{BD}}$ est égal à:

\begin{enumerate*}[label=\textbf{\alph{*}.},itemjoin=\hfil,afterlabel={~~}]
\item $-16$
\item 11
\item 21
\item $-24$.
\end{enumerate*}
\end{description}
\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\medskip
À partir d'un premier segment de \qty{2}{\mm}, on ajoute successivement un nouveau segment mesurant \qty{150}{\percent}
de la longueur du précédent.

Pour tout entier naturel $n\geqslant1$, on désigne par $u_n$ la longueur, en mm, du $n$-ième segment.

Ainsi $u_1=2$ et $u_2=3$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $u_3$ et $u_4$.
\item Pour tout entier naturel $n$ supérieur à 1, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.\\
En déduire la nature de la suite $(u_n)$.
\item Pour tout entier naturel $n\geqslant1$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item On cherche à déterminer à partir de combien de segments la longueur totale dépasse 1~mètre.\hspace*{-8.5pt}\\
On réalise pour cela un programme écrit en langage \textsf{Python}.\\
Recopier et compléter sur la copie ce programme pour qu'il affiche le nombre attendu de segments.

\begin{center}
\begin{tabular}[]{|l|}
\hline
i = 1\\
u = 2\\
longueur = 2\\
while longueur < 1000:\\
\hspace{1.3em}	i = $\dots$\\
\hspace{1.3em}	u = $\dots$\\
\hspace{1.3em}	longueur = $\dots$\\
print(i)\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Ce programme affiche 14.\\
Déterminer, par le calcul, la longueur de la spirale formée des 14 premiers segments. Arrondir le
résultat au mm.
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\medskip
Un libraire dispose d'un stock de magazines. On sait que \qty{40}{\percent} des magazines provient d'un fournisseur
A et le reste d'un fournisseur B.

Il constate que \qty{91}{\percent} des magazines reçus sont vendus dans la semaine.

Il constate également que \qty{85}{\percent} des magazines provenant du fournisseur A sont vendus dans la semaine.

Le responsable des achats prend au hasard un magazine dans le stock. On considère les évènements
suivants:
\begin{itemize}
\item $A$: «le magazine provient du fournisseur A».
\item $B$: «le magazine provient du fournisseur B».
\item $S$: «le magazine est vendu dans la semaine».
\end{itemize}
Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$.

Pour tout évènement $E$ et $F$ où $F$ est un évènement de probabilité non nulle, la probabilité de $E$ sachant
$F$ est notée $p_F(E)$.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que le magazine provienne du fournisseur B?
\item On note $p_B(S)=x$, $x\in\interval{0}{1}$. Recopier et compléter sur la copie avec les trois valeurs demandées
l'arbre pondéré ci-dessous traduisant la situation:

\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt,levelsep=2.5cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~~}\naput{$\cdots$}}
	{
	\TR{$S$}\naput{\num{0.85}}
	\TR{$\overline{S}$}\nbput{$\dots\mathstrut$}
	}
\pstree{\TR{$B$~~}\nbput{$\dots\mathstrut$}}
	{\TR{$S$}\naput{$x\mathstrut$}
	\TR{$\overline{S}$}\tbput{}
	}
}
\end{center}

\item Calculer la probabilité que le magazine choisi au hasard provienne du fournisseur A et qu'il soit
vendu dans la semaine.
\item Démontrer que $\num{0,34}+\num{0,6}x=\num{0,91}$. En déduire que $(B\cap S)=\num{0,57}$.
\item Le magazine choisi est vendu dans la semaine. Calculer la probabilité qu'il provienne du fournisseur
B. En donner sa valeur arrondie à $10^{-3}$.
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\medskip
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $\interval{-5}{5}$ par:
\[
g(x)=\e^x-x+1.
\]
\begin{enumerate}
\item On admet que $g$ est dérivable sur l'intervalle $\interval{-5}{5}$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

Calculer $g'(x)$.

\item Étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $\interval{-5}{5}$.
\item Démontrer que $g$ est strictement positive sur $\interval{-5}{5}$, c'est-à-dire que:
\[
\text{pour tout }x\in\interval{-5}{5},\ g(x)>0.
\]
\end{enumerate}
Soit $f$ la fonction définie sur $\interval{-5}{5}$ par:
\[
f(x)=x +1+\frac{x}{\e^x}\cdotp
\]
On appelle $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle $\interval{-5}{5}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
\begin{enumerate}[resume]
\item Démontrer que pour tout réel $x$ de $\interval{-5}{5}$,
\[
f'(x)=\frac{1}{\e^x}\times g(x).
\]
En déduire les variations de $f$ sur l'intervalle $\interval{-5}{5}$.
\item Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0.
\end{enumerate}
\end{document}

\endinput
Un organisme de vacances propose des séjours en France et à l'étranger pour des jeunes.
 Ces derniers sont répartis en deux catégories suivant leur âge : adolescents ou jeunes enfants.
 \begin{itemize}
\item 40\,\% des participants sont des adolescents et parmi eux, 70\,\% choisissent un séjour à l'étranger.
\item Parmi les jeunes enfants, 90\,\% choisissent un séjour en France.
\end{itemize}

On interroge au hasard un participant à un séjour de cet organisme.

On note :
\begin{itemize}
\item $A$ l'évènement \og le participant est un adolescent\fg,
\item $F$ l'évènement \og le participant choisit un séjour en France \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter sur la copie les branches de l'arbre de probabilité ci-dessous pour qu'il représente la situation.

\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt,levelsep=2.5cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~~}\taput{}}
	{
	\TR{$F$}\taput{}
	\TR{$\overline{F}$}\tbput{}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A}$~~}\tbput{}}
	{\TR{$F$}\taput{}
	\TR{$\overline{F}$}\tbput{}
	}
}
\end{center}

\item Calculer la probabilité que le participant soit un adolescent et qu'il choisisse un séjour à l'étranger.
\item Montrer que la probabilité qu'un participant choisisse un séjour à l'étranger est 0,34.
\item Calculer la probabilité que le participant ne soit pas un adolescent, sachant qu'il part à l'étranger. Donner la valeur arrondie au centième de cette probabilité.
\item On interroge au hasard, et de manière indépendante, deux participants à des séjours de cet organisme pour connaître s'ils ont choisi un séjour en France ou non. L'organisation de ce sondage est telle qu'une même personne peut être interrogée deux fois.

 Calculer la probabilité qu'au moins un des deux participants ait choisi un séjour en France. Donner cette probabilité arrondie au centième.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\medskip

Une commune compte $800$ habitants au début de l'année 2019. Le maire prévoit une baisse de 2\,\% par an du nombre d'habitants à partir de 2019.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d'habitants $n$ années après 2019.

Ainsi, $u_0 = 800$ et pour tout entier naturel, $u_{n+1}= 0,98u_n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et préciser ce que cette valeur représente dans le contexte de l'exercice.
\item Préciser la nature de la suite $\left(u_n.\right)$ ainsi que sa raison.
\item Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer une valeur approchée, à l'entier près, du nombre d'habitants dans cette commune en 2025.
\item Recopier et compléter sur la copie la fonction écrite en langage Python ci-dessous, afin qu'elle permette de calculer, pour tout entier naturel $n$, le terme $u_n$.

\begin{center}
\begin{tabular}[]{|l|}
\hline
def u(n):\\
\hspace{1.3em}	u = $\dots$\\
\hspace{1.3em}	for i in range(1, $\dots$):\\
\hspace{2.8em}  u = \dots \\
\hspace{1.3em}return \dots\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\medskip

\textbf{Partie A : lecture graphique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans le plan muni d'un repère orthonormé, $\mathcal{C}_f$ est la courbe représentative d'une fonction $f$, défi\-nie et dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.

Dans la figure ci-dessous, on a tracé la courbe $\mathcal{C}_f$.

Les points A et B sont les points de $\mathcal{C}_f$ d'abscisses respectives $- 2$ et 0, et on a tracé les tangentes à $\mathcal{C}_f$ en ces points.

On suppose que la tangente en A est parallèle à l'axe des abscisses et que la tangente en B passe par le point C(1~\,;\,~6).

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

Lire graphiquement les valeurs de $f'(-2)$ et $f'(0)$. Justifier brièvement.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1.6cm,yunit=1.6cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-4.5,-1.5)(3,7.5)
 \multido{\n=-4.2+0.2}{36}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,-1.1)(\n,7.2)}
\multido{\n=-1+0.2}{41}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](-4.2,\n)(2.8,\n)}
 \multido{\n=-4+1}{7}{\psline[linewidth=0.65pt](\n,-1.1)(\n,7.2)}
 \multido{\n=-1+1}{9}{\psline[linewidth=0.6pt](-4.2,\n)(2.8,\n)}
\psaxes[linewidth=0.85pt]{->}(0,0)(-4.3,-1.3)(3,7.3)
 \def\Func{2.71828 x exp x 2 mul 2 add mul }
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=0.85pt,linecolor=blue]{-4.2}{0.73}{\Func}
\psdots[dotstyle=Mul,dotscale=1.9,linecolor=blue](-2,-0.27067)(0,2)(1,6)
\uput[d](-2,-0.27067){A}\uput[r](0,2){B}\uput[r](1,6){C}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=orange]{-0.8}{1.254}{x 4 mul 2 add}
\uput[l](0.75,6.48){\blue $\displaystyle \mathcal{C}_f$}
\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=deepsaffron](-4.2,-0.27067)(2.8,-0.27067)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie B : Calcul algébrique}

\medskip

La fonction représentée sur le graphique précédent est la fonction $f$ définie
sur l'ensemble $\R$ des nom\-bres réels par : \[f(x)=\e^x(2x + 2)\]
On admet que $f$ est dérivable sur $\R$.

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que pour tout nombre réel $x$, $f'(x)=\e^x(2x + 4)$.
\item Étudier le signe de $f'$ sur $\R$, puis en déduire le tableau de variation de $f$ sur $\R$.
\item Déterminer par le calcul, l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0.
\item Justifier par le calcul les deux résultats suivants admis au début de l'exercice :
\begin{itemize}
\item La tangente en A est parallèle à l'axe des abscisses.
\item La tangente en B passe par le point C(1~\,;\,~6).
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{document}
