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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 36}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no 2~\decofourright\\[5pt]Sujet 36 -- mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 5 points}}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes,
une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou
l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère la droite D d'équation
cartésienne $4x + 5y - 7 = 0$.

Un vecteur normal à D a pour coordonnées :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $(5~;~4) $ &\textbf{b.~~} $(-5~;~4) $&\textbf{c.~~}$(4~;~5) $& \textbf{d.~~} $(4~;~-5)  $.
\end{tabularx}

\medskip

 \item Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, l'ensemble E des points M de coordonnées
$(x~;~y)$ vérifiant : $x^2 - 2x +y^2 = 3$ est un cercle :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} de centre $A(1~;~0)$ et de rayon 2.  &\textbf{b.~~}  de centre $ A(1~;~0)$ et de rayon 4.\\
\textbf{c.~~}de centre $ A(-1~;~0)$ et de rayon 2.& \textbf{d.~~} de centre $A(-1~;~0)$ et de rayon 4. 
\end{tabularx}

\item La somme $15 + 16 + 17 + \dots + 243$ est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \np{29403} &\textbf{b.~~} \np{29412}&\textbf{c.~~}$\np{29541} $& \textbf{d.~~} $\np{29646}  $.
\end{tabularx}

\item On considère la fonction $f$ dérivable définie sur $\R$ par $f(x) = (x + 1)\e^x$.

La fonction dérivée $f'$ de $f$ est définie sur $\R$ par :

\medskip

 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $f'(x) = (x + 2)\e^x  $ &\textbf{b.~~} $f'(x) = (x + 1)\e^x $&\textbf{c.~~}$f'(x) = x\e^x $& \textbf{d.~~} $f'(x) = \e^x $.
\end{tabularx}
 
\item En utilisant l’arbre de probabilité pondéré ci-dessous, on obtient :

\medskip
	
\begin{minipage}[]{0.25\linewidth}
\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabular}[]{l}
\textbf{a.~~} $p(B) =\dfrac{1}{4}$\\
\textbf{b.~~} $p(B) =\dfrac{2}{5}$\\
\textbf{c.~~} $p(B) =\dfrac{13}{20}$\\
\textbf{d.~~} $p(B) =\dfrac{3}{10}$\\
\end{tabular}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[]{0.6\linewidth}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt,levelsep=2.75cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~~}\taput{$\frac{1}{3}$}}
	{
	\TR{$B$}\taput{$\frac{2}{5}$}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{$\frac{3}{5}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A}$~~}\tbput{$\frac{2}{3}$}}
	{\TR{$B$}\taput{$\frac{1}{4}$}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{$\frac{3}{4}$}
	}
}
\end{minipage}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}
  
\medskip

Dans un repère orthonormé \Oij{} du plan, on considère les points A$(2~;~-1)$,
B$(0~;~3)$ et C$(3~;~1)$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
		\item Vérifier que $\vv{\text{AB}}\cdot\vv{\text{AC}} = 6$.
%$\vect{\text{AB}}\binom{- 2}{4}$ et $\vect{\text{AC}}\binom{1}{2}$, d’où 
%$\vv{\text{AB}}\cdot\vv{\text{AC}} = - 2 + 8 = 6$.
		\item Calculer $\left\|\vv{\text{AB}}\right\|$ et $\left\|\vv{\text{AC}}\right\|$, on donnera les valeurs exactes.
%$\left\|\vv{\text{AB}}\right\|^2 = \vv{\text{AB}}\cdot\vv{\text{AB}} = 4 + 16 = 20$, d’où $\left\|\vv{\text{AB}}\right\| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ ;
%
%$\left\|\vv{\text{AC}}\right\|^2 = \vv{\text{AC}}\cdot\vv{\text{AC}} = 1 + 4  = 5$, d’où $\left\|\vv{\text{AC}}\right\| = \sqrt{5}$.
		\item Vérifier que $\cos(\widehat{\text{BAC}}) = 0,6$ et en déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ au degré près.
%On a aussi :

%$\vv{\text{AB}}\cdot\vv{\text{AC}}  = \left\|\vv{\text{AB}}\right\|  \times \left\|\vv{\text{AC}}\right\| \cos  (\widehat{\text{BAC}}) $, soit :
%
%$6 = \sqrt{5} \times 2\sqrt{5} \cos  (\widehat{\text{BAC}}) $ ; on en déduit que 
%
%$ \cos  (\widehat{\text{BAC}}) = \dfrac{6}{2 \times 5} = \dfrac{3}{5} = 0,6$.
		\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier qu'une équation cartésienne de la droite (AB) est $2x + y - 3 = 0$.
%Soit $y = ax + b$ est l’équation de la droite (AB) :
%
%$\left\{\begin{array}{l c l}
%-1&=&2a + b\\
%3&=&0a + b
%\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
%-1&=&2a + 3\\
%3&=& b
%\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
%-4&=&2a\\
%3&=&b
%\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
%-2&=&a\\
%3&=&b
%\end{array}\right.$
%
%Une équation de la droite (AB) est donc $y = - 2x + 3$ ou $2x + y - 3 = 0$.
		\item On note H le pied la hauteur du triangle ABC issue du sommet C.

Déterminer les coordonnées du point H.
%		On a avec H$(x~;~y)$,  $\vect{\text{CH}}\binom{x - 3}{y - 1}$ donc 
%		
%$\left\{\begin{array}{l }
%\text{H} \in (\text{AB})\\
%\vect{\text{CH}} \cdot \vect{\text{AB}} = 0
%\end{array}\right. \iff
%\left\{\begin{array}{l c l}
%2x + y - 3&=&0\\
%- 2(x - 3) + 4(y - 1)&=&0
%\end{array}\right.\iff 
%\left\{\begin{array}{l c l}
%2x + y - 3&=&0\\
%- 2x + 6 + 4y - 4&=&0
%\end{array}\right. \iff
%\left\{\begin{array}{l c l}
%2x + y - 3&=&0\\
%- 2x + 4y + 2&=&0
%\end{array}\right. \Rightarrow 5y - 1 = 0 \iff y = \dfrac{1}{5}$, d’où en utilisant la première équation :
%
%$y = - 2x + 3 = - \dfrac{2}{5} + 3 = \dfrac{13}{5}$.
%
%Donc H$\left( \dfrac{1}{5}~;~\dfrac{13}{5}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\medskip

En 1995, le taux de scolarisation des jeunes de 18 ans atteignait 84,8\,\%, du fait d’une forte
progression de la poursuite d’études dans le second cycle général et technologique jusqu’au
baccalauréat.

Une étude de l’INSEE montre que ce taux de scolarisation a régulièrement diminué au cours
des dix années suivantes.

On considère que la diminution du taux de scolarisation à 18 ans est chaque année de 1\,\% à
partir de 1995.

Pour tout entier naturel $n$, on modélise le taux de scolarisation des jeunes de 18 ans en
1995 +$ n$, par une suite $\left(u_n\right)$ ; ainsi $u_0 = 84,8$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le taux de scolarisation des jeunes âgés de 18 ans en 1996 ?
\item Déterminer, en justifiant, la nature de la suite $\left(u_n\right)$.
\item On donne le programme suivant en langage Python :
\begin{python}
U=84.8
n=0
while U > 80:
	U=0.99*U
	n=n+1
\end{python}

Déterminer la valeur numérique que contient la variable $n$ à l’issue de l’exécution du
programme. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’énoncé.
\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$.
\item Quel est le taux de scolarisation des jeunes de 18 ans en 2005 ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\medskip


Soit $f$ la fonction dérivable définie sur $[-3~;~3]$ par 

\[f(x) = 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère donné.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f'(x)$, où $f'$ est la fonction dérivée de $f$ sur $[-3~;~3]$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[-3~;~3]$.
\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-3~;~3]$. Les valeurs aux bornes pourront être
données en valeur approchée à $10^{-2}$ près.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier qu’une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d’abscisse 0, est $y = -2x + 1$.
		\item Montrer que cette tangente $\mathcal{T}$ passe par un point B de la courbe $\mathcal{C}$, avec B distinct du point A.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}