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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 38}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no{} 2~\decofourright\\[5pt]Sujet 38 --  mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 5 points}}

\medskip

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. 

Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.

Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  L’inéquation $-3(x-2)(x+1)>0$ admet pour ensemble des solutions :

\medskip

\begin{tabularx}{1.05\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $[-1~;~2] $ &\textbf{b.~~}\small $]-\infty~;~-1[\cup[2~;~\infty[ $&\textbf{c.~~}$]-1~;~2[ $& \textbf{d.~~}\small $ ]-\infty~;~-1[\cup]2~;~+\infty[ $.
\end{tabularx}

\item Soit $x$ un nombre réel. Le réel $\cos(x+3\pi)$ est égal à :

\medskip

\begin{tabularx}{1.05\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\cos(x) $ &\textbf{b.~~} $-\cos(x) $&\textbf{c.~~}$\sin(x) $& \textbf{d.~~} $-\sin (x)  $.
\end{tabularx}

\item  Dans un repère orthonormé, on considère la droite $d$ passant par le point $A(1~;~2)$ et dont un vecteur normal est le vecteur $\vv{v}\ \binom{2}{-3}$. 

Une équation de la droite $d$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{1.05\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $2x+3y-8=0 $ &\textbf{b.~~} $ x+2y+4=0 $&\textbf{c.~~}$ 2x-3y-4=0$& \textbf{d.~~} $y=\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}  $.
\end{tabularx}

\item On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$.

On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative sur $[0~;~+\infty[$.

Le coefficient directeur de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse 1 est :

\medskip

\begin{tabularx}{1.05\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $ \dfrac{1}{2}$ &\textbf{b.~~} $\dfrac{3}{4} $&\textbf{c.~~}$\dfrac{3}{2} $& \textbf{d.~~} $ 2 $.
\end{tabularx}

\item L’ensemble des points $M(x~;~y)$ dont les coordonnées vérifient l’équation $x^2-2x+y^2+4y=4$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{1.05\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}une droite $ $ &\textbf{b.~~} \small le cercle de centre $ A(1~;~-2)$ et de rayon 3\\\textbf{c.~~}\small le cercle de centre $ B(-1~;~2)$ et de rayon 9& \textbf{d.~~}l’ensemble vide.
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\medskip

Un snack propose deux types de plats : des sandwichs et des pizzas.

Le snack propose également plusieurs desserts.

La gérante constate que 80\,\% des clients qui achètent un plat choisissent un sandwich et que parmi
ceux-ci seulement 30\,\% prennent également un dessert.

Elle constate aussi que 45\,\% des clients qui ont choisi une pizza comme plat ne prennent pas de
dessert.

On choisit au hasard un client ayant acheté un plat dans ce snack.

On considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $S$ : \og Le client interrogé a choisi un sandwich \fg.
\item $T$ : \og Le client interrogé a choisi un dessert \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sans justifier, recopier puis compléter l’arbre pondéré suivant :

\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt,levelsep=2.75cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$S$~}\taput{$\np{0.8}$}}
	{
	\TR{$T$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{$\dots$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{S}$~}\tbput{$\dots$}}
	{\TR{$T$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{$\dots$}
	}
}
\end{center}
\item Calculer la probabilité que le client ait choisi un sandwich et un dessert.
\item Démontrer que $P(T) = 0,35$.
\item Sachant que le client a acheté un dessert, quelle est la probabilité, arrondie à \np{0.01} près, qu’il ait acheté une pizza ?
\item Les évènements $S$ et $T$ sont-ils indépendants ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\medskip

Désirant participer à une course de 150~km, un cycliste prévoit l’entraînement suivant :
\begin{itemize}
\item parcourir 30~km en première semaine ;
\item chaque semaine qui suit, augmenter la distance parcourue de 9\,\% par rapport à celle
parcourue la semaine précédente.
\end{itemize}
On modélise la distance parcourue chaque semaine à l’entraînement par la suite $\left(d_n\right)$ où $d_n$
représente la distance en km parcourue pendant la $n$-ième semaine d’entraînement.

On a ainsi $d_1 = 30$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Prouver que $d_3 = 35,643$.
\item Quelle est la nature de la suite $\left(d_n\right)$ ? Justifier.
\item En déduire l’expression de $d_n$ en fonction de $n$.
\item On considère la fonction définie de la façon suivante en langage Python.

\begin{python}
1 def distance (k) :
2   d=30
3   n=1
4   while d<=k :
5      d=d*1.09
6 	   n=n+1
7   return n
\end{python}

Quelle information est obtenue par le calcul de distance(150) ?
\item Calculer la distance totale parcourue par le cycliste pendant les 20 premières semaines
d’entraînement.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle [0~;~2] par $f(x) = 8x - 2x^3$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ de [0; 2], $f'(x)$ a le même signe que $4 - 3x^2$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur [0~;~2].
\end{enumerate}
\item Dans un repère orthonormal, on considère la parabole $p$ d’équation $y = x^2$ et la droite $\mathscr{D}$ d’équation $y = 4$.

On considère le rectangle $MSFE$ tel que :
\begin{itemize}
\item $M$ un point de $p$ dont l’abscisse $x$ est un réel de $]0~;~2[$.
\item $S$ est le symétrique de $M$ par rapport à l’axe des ordonnées.
\item $E$ et $F$ sont respectivement les projetés orthogonaux de $M$ et $S$ sur la droite $\mathscr{D}$.
\end{itemize}

\begin{center}



\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-4.4,-1.5)(4.5,5.6)
\psframe[fillstyle=solid, fillcolor= aliceblue](-1,1)(1,4)
\multido{\n=-4+0.2}{40}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](\n,-0.99)(\n,5.2)}
\multido{\n=-0.8+0.2}{30}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](-4,\n)(4,\n)}
\multido{\n=-4+1}{9}{\psline[linewidth=0.45pt](\n,-0.9)(\n,5.2)}
\multido{\n=0+1}{6}{\psline[linewidth=0.45pt](-4,\n)(4,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt]{-}(0,0)(-4,-0.99)(4,5.2)
\def\Func{x x  mul  }
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=0.85pt,linecolor=red]{-2.27}{2.27}{\Func}
\uput[dl](0,0){O}
\psdots[dotstyle=Bullet,dotscale=1.5,](1,1)(-1,1)(-1,4)(1,4)
\uput[dr](1,1){\footnotesize $M$}\uput[ur](1,4){\footnotesize $E$}\uput[ul](-1,4){\footnotesize $F$}\uput[dl](-1,1){\footnotesize $S$}
\psline[linewidth=1.25pt](-4,4)(4,4)\uput[u](3.8,4){$\mathscr{D}$}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item  Lorsque l’abscisse $x$ du point $M$ varie dans ]0~;~2[, l’aire du rectangle $MSFE$ est-elle constante ?
		\item Montrer que l’aire du rectangle $MSFE$ en fonction de l’abscisse $x$ de $M$ est $8x - 2x^3$.
		\item Montrer que l’aire maximale du rectangle $MSFE$ est $\dfrac{32}{3\sqrt{3}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}