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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Première série générale}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{2020}}
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\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat Première  Métropole-La Réunion~\decofourright\\[6pt]série générale e3c \no 40 année 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d'elles, une seule des réponses proposées est exacte.

Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée.

Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n'apporte ni ne retire de point.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$, \,$\sin(7\pi - x)$ est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$\sin x$&\textbf{b.~~}$- \sin x$&\textbf{c.~~}$\cos x$&\textbf{d.~~}$- \cos x$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Dans laquelle des quatre situations proposées ci-dessous le produit scalaire $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}}$ est- il égal à 6 ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\small}X|}}\hline
\textbf{a.~~}ABC est un triangle tel que: 

AB $= 6$, AC $= 4$ et 

BC $= 8$.
&\textbf{b.~~}Dans un repère orthonormé du plan: A$(-3~;~ 5)$, B$(2~;~-2)$
et C(1~;~7).
&\textbf{c.~~}ABC est un triangle rectangle en B tel que :
 
AB $= 3$ et $\text{BC} = 2$
&\textbf{d.~~}ABC est un triangle tel que :

AB $= 6$, AC $= 4$ et 

$\widehat{\text{BAC}} = 30\degres$.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par: $f(x) = \dfrac{3x + 4}{x^2 + 1}$.

$f$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$,\; $f'(x)$ est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$\dfrac{3}{2x}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{9x^2+8x+3\rule{0pt}{10pt}}{\left(x^2+1\right)^2}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{-3x^2- 8x+3\rule{0pt}{10pt}}{\left(x^2+1\right)^2}$&\textbf{d.~~}$9x^2 + 8x+ 3$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Le plan est rapporté à un repère orthonormé.

L'ensemble des points $M(x~;~y)$ tels que $x^2 + y^2 - 10x +6y +30 = 0$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}une droite&\textbf{b.~~}une parabole&\textbf{c.~~}un cercle&\textbf{d.~~}ni une droite, ni une parabole, ni un cercle.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item La somme $1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{30}$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$\dfrac{1 - 5^{30}\rule{0pt}{10pt}}{4\rule[-3pt]{0pt}{0pt}}$
&\textbf{b.~~}$\dfrac{5^{30} - 1}{4}$
&\textbf{c.~~}$\dfrac{1 - 5^{31}}{4}$
&\textbf{d.~~}$\dfrac{5^{31} - 1}{4}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Une enquête a été réalisée auprès des élèves d'un lycée afin de connaître leur point de vue sur la durée de la pause méridienne et sur les rythmes scolaires.

L'enquête révèle que 55\,\% des élèves sont favorables à une pause méridienne plus longue.

Parmi ceux qui sont favorables à une pause méridienne plus longue, 95\,\% souhaitent une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.

Parmi ceux qui ne sont pas favorables à une pause méridienne plus longue, seulement 10\,\% souhaitent une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.

\smallskip

On tire au hasard le nom d'un élève du lycée. On considère les évènements suivants:

\smallskip

$\bullet~~$ $L$: \og L'élève concerné est favorable à une pause méridienne plus longue. \fg

$\bullet~~$ $C$ : \og L'élève concerné souhaite une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire. \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous décrivant la situation.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$L$~~}\naput{\ldots}}
	{\TR{$C$}\naput{\ldots}
	\TR{$\overline{C}$}\nbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{L}$~~}\nbput{\ldots}}
	{\TR{$C$}\naput{\ldots}
	\TR{$\overline{C}$}\nbput{\ldots}
	}
}
\end{center}

\item Calculer la probabilité que l'élève concerné soit favorable à une pause méridienne plus longue et souhaite une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
\item Montrer que $P(C) = \np{0,5675}$.
\item Calculer la probabilité que l'élève concerné soit favorable à une pause méridienne plus longue sachant qu'il souhaite une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.

En donner une valeur arrondie à $10^{-4}$.
\item Les évènements $L$ et $C$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip
 
À l'issue d'une étude conduite pendant plusieurs années, on modélise l'évolution du prix du m$^2$ d'un appartement neuf dans une ville française de la manière suivante:

À partir d'un prix de \np{4200}~\euro{} le m$^2$ en 2019, on applique chaque année une augmentation annuelle de 3\,\%.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Avec ce modèle, montrer que le prix du m$^2$ d'un appartement neuf dans cette ville en 2021 serait de \np{4455,78}~\euro.
\item  On considère la suite de terme général $u_n$ qui permet d'estimer, avec ce modèle, le prix en euro du m$^2$ d'un appartement neuf l'année $2019 + n$. On a donc $u_0 = \np{4200}$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? En préciser la raison.
		\item En déduire l'expression du terme général $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel~$n$.
		\item Selon ce modèle, pourra-t-on acheter en 2024, un appartement de $40$~m$^2$ si l'on dispose d'une somme de \np{200000}~\euro ?
	\end{enumerate}
\item  On définit, en langage Python, la fonction seuil ci-dessous.

\begin{center}
\fbox{
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{c X}%\hline
1& \texttt{def seuil():}\\
2&\qquad \texttt{u = 4200} \\
3&\qquad \texttt{n = 0 }\\
4&\qquad \texttt{while u <= 8000 : }\\
5&\qquad \qquad \texttt{u = \ldots} \\
6&\qquad \qquad \texttt{n = n+1 }\\
7&\qquad \texttt{return \ldots}\\% \hline
\end{tabularx}
}
\end{center}
 
Recopier et compléter les lignes 5 et 7 de sorte que cette fonction renvoie le nombre d'années nécessaires pour que, selon ce modèle, le prix du m$^2$ d'un appartement neuf dépasse \np{8000}~\euro.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 4x^3 - 48x^2 + 144x.$ 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = 12\left(x^2 - 8x + 12\right)$.
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item Dans une plaque de carton carrée de $12$~cm de côté, on découpe, aux quatre coins, des carrés identiques afin de construire une boîte sans couvercle, comme indiqué sur les figures ci-dessous.

On note $x$ la longueur (en cm) du côté de chacun des carrés découpés.

On admet que $x \in ]0~;~6[$.

\begin{center}
\psset{unit=0.3cm}
\begin{pspicture}(30,16)
%\psgrid
\psframe(1,1)(13,13)
\pspolygon[linestyle=dashed,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3,1)(3,3)(1,3)(1,11)(3,11)(3,13)(11,13)(11,11)(13,11)(13,3)(11,3)(11,1)
\psline{<->}(11,0.5)(13,0.5)\uput[d](12,0.5){$x$}
\psline{<->}(13.4,1)(13.4,3)\uput[r](13.4,2){$x$}
\psline{<->}(0.3,1)(0.3,13)\psline{<->}(1,13.6)(13,13.6)
\uput[l](0.3,7){12}\uput[u](7,13.6){12}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](17,1)(25,3)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](25,1)(30,3)(30,5)(25,3)
\psline(17,3)(22,5)(30,5)
%\psline(12,3.8)(12,2.8)(14.85,2.8)
\psline(22,5)(22,3)
\psarc[linewidth=0.15cm]{<-}(15.5,0){5}{70}{110}
\end{pspicture}
\end{center}


L'objectif est de déterminer la longueur $x$ permettant d'obtenir une boîte de volume maximal.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le volume de la boîte est égal à $100$ cm$^3$ pour $x = 1$. Détailler le calcul.
		\item Montrer que, pour $x \in ]0~;~6[$, le volume de la boîte est égal à $f(x)$,\: $f$ étant la fonction étudiée à la question 1.
		\item Quelle est la valeur de $x$ permettant d'obtenir une boîte de volume maximal ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}