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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Première série générale}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{2020}}
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\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat Première  Métropole-La Réunion~\decofourright\\[6pt]série générale e3c \no 41 année 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - Première générale}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée mais il peut être nécessaire d'effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire de point.

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip

Dans un repère orthonormé, on a : $\vect{\text{AB}}\binom{-4}{3}$  et $\vect{\text{CB}}\binom{- 1}{5}$ . Le produit scalaire $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{CB}}$ vaut :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$- 23$ &\textbf{b.~~}$- 17$&\textbf{c.~~}$19$&\textbf{d.~~}$23$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip

Dans un repère orthonormé, on a $\vect{\text{CB}}\binom{-1}{5}$. Alors la longueur CB est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$24$ &\textbf{b.~~}$\sqrt{24}$&\textbf{c.~~}$26$&\textbf{d.~~}$\sqrt{26}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip

\parbox{0.68\linewidth}{ABC est un triangle équilatéral de côté 3.

I et H sont les milieux respectifs de [CB] et de [AB].

D est le projeté orthogonal de I sur (CH).}\hfill \parbox{0.3\linewidth}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,0)(2,3.5)
\pspolygon(-2,0)(2,0)(0,3.464)
\uput[dl](-2,0){A}\uput[dr](2,0){B}\uput[u](0,3.464){C}\uput[r](1,1.732){I}\uput[r](0,1.732){D}
\uput[d](0,0){H}
\psdots(-2,0)(2,0)(0,3.464)(1,1.732)(0,1.732)(0,0)
\psline(0,3.464)(0,0)
\end{pspicture}}

On a :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$\vect{\text{HB}} \cdot \vect{\text{HC}} = 0$ &\textbf{b.~~}$\vect{\text{AH}} \cdot \vect{\text{DI}} = 0$&\textbf{c.~~}$\vect{\text{AH}} \cdot \vect{\text{AI}} = 0$&\textbf{d.~~}$\vect{\text{BH}} \cdot \vect{\text{DI}} = 0$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

Soit un réel $x$ tel que $\cos (x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. On a :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$\cos (-x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ &\textbf{b.~~}$\sin (- x) = - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$&\textbf{c.~~}$\sin (x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$&\textbf{d.~~}$\cos (- x) = - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé.

On considère l'équation de cercle $x^2 - 2x + (y + 3)^2 = 3$. 

Son centre a pour coordonnées :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$(-1~;~-3)$ &\textbf{b.~~}$(1~;~-3)$&\textbf{c.~~}$(-2~;~3)$&\textbf{d.~~}$(-2~;~-3)$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Au sein d'un lycée, parmi les élèves de première ayant choisi la spécialité mathématique, il y a $110$ filles dont $5$ ne poursuivent pas la spécialité en terminale et $90$ garçons dont $8$ ne poursuivent pas la spécialité.

On interroge au hasard un élève et on définit les évènements suivants :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item $F$ l'évènement: \og L'élève interrogé est une fille \fg,
\item $G$ l'évènement: \og L'élève interrogé est un garçon \fg,
\item $S$ l'évènement: \og L'élève interrogé poursuit la spécialité \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\emph{On donnera les valeurs exactes pour chacune des questions.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $p(G)$, $p\left(G \cap \overline{S}\right)$ et $p\left(\overline{S}\right)$.
\item L'élève interrogé ne poursuit pas la spécialité. Calculer la probabilité que ce soit
un garçon.
\item  Les évènements $G$ et $S$ sont-ils indépendants ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit la suite géométrique $\left(u_n\right)$
de raison $0,999$ et de premier terme $u_0 = \np{82695}$. 


\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{19}$.
\item Calculer $S = u_0 + u_1 + \ldots + u_{19}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La population d'un pays s'élevait à \np{82695000}~habitants au premier janvier 2016.

\medskip

Sans tenir compte des flux migratoires, on estime que la population baisse de 0,1\,\% chaque année.

Déterminer une estimation de l'effectif de la population de ce pays au premier janvier 2035.

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Dans cette partie, on tient compte des flux migratoires: on estime qu'en 2016, le solde migratoire (différence entre les entrées et les sorties du territoire) est positif et s'élève à \np{58700} personnes.

De plus, on admet que la baisse de 0,1\,\% de la population ainsi que le solde migratoire restent constants chaque année suivant 2016.

On propose la fonction suivante écrite sous Python:

\begin{center}
\begin{tabular}{l}
\texttt{def population(N):}\\
\qquad \texttt{p=\np{82695000}}\\
\qquad \texttt{for I in range(1, N+1):}\\
\qquad \qquad  \texttt{p=0,999*p + \np{58700}}\\
\qquad \texttt{return p}\\
\end{tabular}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Si on saisit: \og population (2) \fg, quelle valeur nous retourne cette fonction ?
\item Si on saisit: \og population (19) \fg, la valeur arrondie à l'entier retournée par
cette fonction est \np{82243175}.

Que représente ce nombre dans le contexte de la partie C ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $] - \infty~;~2[$ par : 

\[f(x) = \dfrac{x^2- 4x + 8}{x - 2}.\]

On se place dans un repère orthonormé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre $f(x) = 0$.
\item On note $f'$, la fonction dérivée de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $x$ de $] - \infty~;~2[$ : 
		
\[f'(x) = \dfrac{x^2 - 4x}{(x - 2)^2}.\]

		\item Déterminer les variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $D$ à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 1.
\item Tracer la droite $D$ et une esquisse de la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère donné en \textbf{annexe à rendre avec la copie}.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\Large Annexe}

\vspace{2.5cm}

\psset{unit=0.65cm}
\begin{pspicture}(-10,-10)(10,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-10,-10)(10,3)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}