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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Première série générale}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{2020}}
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\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat Première  Métropole-La Réunion~\decofourright\\[6pt]série générale e3c \no 42 année 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - Première générale}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée mais il peut être nécessaire d'effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire de point.

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = 2x^2 + 5x - 4$.

La tangente à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse $2$ a pour équation:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$y = 14x + 14$ &\textbf{b.~~}$y = 14x -14$&\textbf{c.~~}$y = 13x - 15$&\textbf{d.~~}$y = 13x - 12$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip

On se place dans un plan muni d'un repère orthonormé. On considère les points A(4~;~8), 
B(9~;~6) et D(2~;~11). Alors $\vect{\text{AD}} \cdot \vect{\text{BD}}$ est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$-1$ &\textbf{b.~~}$11$&\textbf{c.~~}$-31$&\textbf{d.~~}$29$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip

Dans un plan muni d'un repère orthonormé, on considère la droite $D$ d'équation
$3x - 4y + 5 = 0$. La droite parallèle à $D$ et passant par A(4~;~8) a pour équation :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$4x +3y - 40 = 0$ &\textbf{b.~~}$3x - 4y - 5 = 0$&\textbf{c.~~}$3x - 4y +20 = 0$&\textbf{d.~~}$4x +3y +6 = 0$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$ la suite géométrique de raison $q = - 1,2$ et de terme initial $u_0 = 10$. 

Alors :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$0< u_{\np{3000}} < \np{1000}$ &\textbf{b.~~}$u_{\np{3000}} = \np{- 3590}$&\textbf{c.~~}$u_{\np{3000}} > \np{1000}$&\textbf{d.~~}$u_{\np{3000}} = - \np{36000}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip

Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par : $v_0 = 1$ et $v_{n+1} = 4v_n +2$ pour tout entier $n$.

On veut déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $v_n$ est supérieur ou égal
à \np{100000}. On réalise pour cela le programme incomplet ci-dessous écrit en langage
Python :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\texttt{def algo( ) : }\\
\qquad \texttt{V = 1}\\
\qquad \texttt{n = 0}\\
\qquad \texttt{while \ldots \ldots :}\\
\qquad \qquad \texttt{n = n + 1}\\
\qquad \qquad \texttt{V =4 * V + 2}\\
\qquad  \texttt{return(n)}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Pour que le programme retourne la valeur demandée, il faut compléter la partie en pointillé par:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$V = = \np{100000}$ &\textbf{b.~~}$V!= \np{100000}$&\textbf{c.~~}$V > \np{100000}$&\textbf{d.~~}$ V < \np{100000}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Un fromager fait l'inventaire des produits qu'il a en cave. 

Le graphique ci-dessous indique la répartition de ses trois types de fromages : au lait de chèvre, au lait de vache ou au lait de brebis.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,3)
\rput(0,2.8){\large Répartition des types de fromage}
\pscircle(0,0){2}
\pswedge(0,0){2}{0}{54}\rput(1.6;35){\footnotesize fromage au }\rput(1.5;20){\footnotesize lait de brebis}
\pswedge(0,0){2}{54}{144}\rput(1.6;90){\footnotesize fromage au lait}\rput(1.3;85){\footnotesize de chèvre}
\pswedge(0,0){2}{144}{360}\rput(1.3;270){fromage au lait}\rput(1.6;270){de vache}
\end{pspicture}
\end{center}

Chacun de ses trois types de fromages se partage en deux catégories: frais ou affiné. Le tableau suivant donne la répartition des fromages de chaque catégorie suivant leur affinage:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&frais &affiné\\ \hline
Lait de vache & 20\,\% &80\,\% \\ \hline
Lait de chèvre&40\,\%& 60\,\%\\ \hline
Lait de brebis&70\,\% &30\,\%\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le fromager prend un fromage au hasard. On note les évènements suivants :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item $V$ : \og le fromage est fait avec du lait de vache \fg{};
\item $C$ : \og le fromage est fait avec du lait de chèvre \fg{} ;
\item $B$ : \og le fromage est fait avec du lait de brebis \fg{} ;
\item $F$ : \og le fromage est frais \fg{} ;
\item $A$ : \og le fromage est affiné \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner les probabilités $P_C(A)$ et $P(B)$.
\item Démontrer que $P(A) = 0,675$.
\item Le fromager prend au hasard un fromage affiné. Quelle est la probabilité qu'il
s'agisse d'un fromage au lait de vache? On donnera le résultat à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Étudier sur $\R$ le signe de $P(x)= - 10x^2 - 40x + 120$.

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On se place dans un plan muni d'un  repère orthonormé. La courbe $H$ représentée sur le graphique ci -dessous est l'ensemble des points de l'hyperbole d'équation:

\[y = \dfrac{10x + 4}{x + 2}\]

avec $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~8].

Pour toute abscisse $x$ dans l'intervalle [0~;~8], on construit le rectangle ABDE comme indiqué sur la figure. On donne les informations suivantes :

\medskip

\parbox{0.35\linewidth}{
\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item A et B sont sur l'axe des abscisses;
\item A est d'abscisse $x$;
\item B et D ont pour abscisse 8 ;
\item E appartient à la courbe H ;
\item D et E ont la même ordonnée.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}
}\hfill
\parbox{0.63\linewidth}{\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(9,9)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,0)(8,4.66667)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](0,0)(9,9)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(9,9)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{8}{10 x mul 4 add x 2 add div}
\uput[dl](1,0){\footnotesize A}\uput[dr](8,0){\footnotesize B}
\uput[ur](8,4.66667){\footnotesize D}\uput[ul](1,4.66667){\footnotesize E}
\uput[u](3.2,7){\red $H$}
\end{pspicture}}

\medskip

L'objectif de ce problème est de déterminer la ou les valeurs éventuelles $x$ de l'intervalle [0~;~8] correspondant à un rectangle ABDE d'aire maximale.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'aire du rectangle ABDE lorsque $x = 0$.
\item Déterminer l'aire du rectangle ABDE lorsque $x =  4$.
\end{enumerate}

On définit la fonction $f$ qui à tout réel $x$ de [0~;~8], associe l'aire du rectangle ABDE. On admet que:

\[f(x) = \dfrac{-10x^2 + 76x + 32}{x + 2}.\]

\begin{enumerate}[resume]
\item Répondre au problème posé.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

On applique une tension sinusoïdale $u$ aux bornes d'un circuit électrique comportant en série une résistance et une diode idéale.

Le temps $t$ est exprimé en seconde.

La tension est donnée par la fonction $u$ définie pour tout réel $t \geqslant 0$ par:

\[u(t) = \sqrt{3}\sin \left(100\pi t + \dfrac{\pi}{3}\right).\]

La diode est non passante si $u(t) \leqslant \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et elle est passante si $u(t) > \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La diode est-elle passante à l'instant $t = 0$ ?
\item Calculer $u\left(\dfrac{1}{100}\right)$. Interpréter le résultat.
\item On admet que $u\left(t + \dfrac{2}{100}\right) = u(t)$ pour tout $t \geqslant 0$. 

En déduire une propriété de la fonction $u$.
\item On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction $u$ sur l'intervalle [0~;~ 0,02] :

\begin{center}
\psset{xunit=500cm,yunit=1cm,algebraic=true,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.0001,-2)(0.02,2)
\multido{\n=0.000+0.001}{21}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-2)(\n,2)}
\multido{\n=-2.0+0.5}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(0.02,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.005,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,-2)(0.02,2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{0.02}{1.73205*sin(314.159*x+1.0472)}
\end{pspicture})
\end{center}
On cherche à savoir au bout de combien de temps la diode devient non
passante pour la première fois.
	\begin{enumerate}
		\item Conjecturer la solution du problème à l'aide du graphique.
		\item Calculer $u(0,005)$ et conclure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip


\end{document}