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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Première série générale}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{2020}}
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\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat Première  Métropole-La Réunion~\decofourright\\[6pt]série générale e3c \no 44 année 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - Première générale}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée mais il peut être nécessaire d'effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire de point.

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip

$\cos(x)  = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ pour:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$x = \dfrac{5\pi}{6}$ &\textbf{b.~~}$x = \dfrac{4\pi}{3}$&\textbf{c.~~}$x = -\dfrac{\pi}{3}$&\textbf{d.~~}$x = - \dfrac{\pi}{6}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère, on considère la droite (AB) passant par les points
A(-2~;~7) et B$(4~;~-5)$. Un vecteur directeur de la droite (AB) est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$\vect{u}\binom{2}{2}$ &\textbf{b.~~}$\vect{u}\binom{-12}{6}$&\textbf{c.~~}$\vect{u}\binom{6}{-12}$&\textbf{d.~~}$\vect{u}\binom{2}{-12}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère, la droite d'équation $y=- 2x + 5$ pour vecteur directeur :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$\vect{u}\binom{2}{1}$ &\textbf{b.~~}$\vect{u}\binom{-1}{2}$&\textbf{c.~~}$\vect{u}\binom{1}{2}$&\textbf{d.~~}$\vect{u}\binom{-2}{1}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

\parbox{0.58\linewidth}{Dans le plan muni d'un repère, la représentation graphique d'une parabole $P$ est donnée ci-contre. La forme canonique de son équation est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$y = (x + 2)^2 + 5y$ &\textbf{b.~~}$y = (x - 5)^2 + 1$\\ \hline
\textbf{c.~~}$(x - 1) + 2y$&\textbf{d.~~}$y = (x - 2)^2 + 1$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}} \hfill\parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-0.6)(4,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](0,0)(4,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(4,5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1}{4}{x 2 sub dup mul 1 add}
\end{pspicture*}}

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip

Soit le cercle d'équation cartésienne $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 9$ dans le
plan muni d'un repère orthonormé:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}Le cercle a pour centre C$(-2~;~3)$ &\textbf{b.~~}Le cercle a pour centre C$(3~;~-2)$&\textbf{c.~~}Le cercle a pour rayon $R = 9^2$&\textbf{d.~~}Le cercle a pour centre C$(2~;~-3)$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Soit la fonction $p$ définie sur $\R$ par 

\[p(x) = -x^3 +3x^2 + 9x + 5.\]

\smallskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'image de 5 par $p$ ?
\item Montrer que pour tout réel $x$,\: $p(x) = (5- x)\left(x^2 + 2x + 1\right)$.
\item En déduire le signe de $p(x)$ sur $\R$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée de la fonction $p$.
\item Démontrer que la fonction $p$ admet un maximum sur l'intervalle [0~;~5] dont on
précisera la valeur.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Au cours de l'hiver, on observe dans une population, 12\,\% de personnes malades.

Parmi les personnes malades, 36\,\% d'entre elles pratiquent une activité sportive régulièrement.

Parmi les personnes non malades, 54\,\% d'entre elles pratiquent une activité sportive régulièrement.

Une personne est choisie au hasard dans la population.

On note $M$ l'évènement \og la personne est malade \fg{} et $S$ l'évènement \og la personne a une activité sportive régulière \fg.

\emph{Dans cet exercice, les résultats approchés seront donnés à $10^{-3}$ près.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré : \quad\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
\pstree{\TR{$M$~~}\taput{0,12}}
	{\TR{$S$} \taput{0,36}
	\TR{$\overline{S}$} \tbput{}
	}
\pstree{\TR{$\overline{M}$~~}\tbput{0,88}}
	{\TR{$S$}
	\TR{$\overline{S}$}
	}
}	

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que la personne soit malade et qu'elle pratique une activité sportive régulièrement ?
		\item Montrer que la probabilité que la personne pratique une activité sportive régulièrement est égale à \np{0,5184}.
	\end{enumerate}
\item La personne choisie n'a pas d'activité sportive régulière. Quelle est la probabilité pour qu'elle soit malade ?	
\item  Un journaliste annonce qu'une pratique régulière d'une activité sportive diminue par deux le risque de tomber malade. Que peut-on conclure sur la pertinence de cette annonce? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

En 2012, un artisan batelier a transporté $300$ tonnes de marchandises sur sa péniche.

Il augmente sa cargaison chaque année de 11\,\% par rapport à l'année précédente.

\smallskip

On modélise alors la quantité en tonnes de marchandises transportées par l'artisan batelier par une suite $\left(u_n\right)$ où pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est la quantité en tonnes de marchandises transportées en $(2012 + n)$. Ainsi $u_0 = 300$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et préciser sa raison. 
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item Le batelier décide qu'à partir de \np{1000} tonnes transportées dans l'année, il achètera une péniche plus grande.
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme suivant, écrit en langage Python, afin de déterminer en quelle année il devra changer de péniche :
		
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\texttt{u = 300}\\
\texttt{n = 0}\\
\texttt{while \ldots :}\\
\qquad \texttt{u = \ldots}\\
\qquad  \texttt{n = n+1}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

		\item En quelle année changera-t-il de péniche ?
	\end{enumerate}
\item Une tonne transportée est payée au batelier $15$~\euro.

La proposition: \og Le chiffre d'affaires total entre 2012 et 2019 de l'artisan batelier sera
supérieur à \np{70000}~\euro{} \fg{} est-elle vraie ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\end{document}