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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Première série générale}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{2020}}
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\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat Première  Métropole-La Réunion~\decofourright\\[6pt]série générale e3c \no 45 année 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - Première générale}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM) comportant 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée mais il peut être nécessaire d'effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire de point.

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère les vecteurs $\vect{u}(-2~;~4)$ et $\vect{v}(3~;~-6)$. Le produit scalaire $\vect{u} \cdot \vect{v}$ est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}18&\textbf{b.~~}$-30$&\textbf{c.~~}$0$&\textbf{d.~~}$24$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip

On considère le triangle ABC tel que AB = 5, AC = 7 et BAC $= 60\degres$. Quelle est la longueur du côté BC ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}BC$ = \sqrt{109}$ &\textbf{b.~~}BC$ = \sqrt{74}$&\textbf{c.~~}BC$= -35\sqrt{3} + 74$  &\textbf{d.~~}BC$= \sqrt{39}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère le cercle $C$ de centre A(2~;~3) et de rayon $R = 4$.

Parmi les équations suivantes, laquelle est une équation du cercle $C$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$x^2 + 4x + y^2 + 6y + 9 = 0$&\textbf{b.~~} $x^2 + 4x + y^2 + 6y - 3 = 0$\\ \hline
\textbf{c.~~}$x^2 - 4x + y^2 - 6y - 3 = 0$&\textbf{d.~~}$x^2 - 4x + y^2 - 6y+ 9=0$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

Le réel $\dfrac{- 23\pi}{3}$ a le même point image sur le cercle trigonométrique que le réel :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$\dfrac{-\pi}{3}$ &\textbf{b.~~}$\dfrac{\pi}{3}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{-2\pi}{3}$ &\textbf{d.~~}$\dfrac{2\pi}{3}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip

On considère l'algorithme suivant écrit en langage Python:

\begin{center}
\begin{tabular}{|c l}
1& def liste(N) :\\
2&U = 1\\
3&L= [U]\\
4&for i in range(1, N) :\\
5&U = 2*U + 3\\
6&L.append(U)\\ 
7&return(L)\\
8&\\
\end{tabular}
\end{center}

Que contient la variable L à la fin de l'exécution dans le cas où on choisit N$ = 4$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}[1, 5, 13, 29, 61]&\textbf{b.~~}[1, 5, 13, 29]&\textbf{c.~~}61  &\textbf{d.~~}9\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Une urne contient deux boules rouges et trois boules noires toutes indiscernables au toucher.

On tire au hasard une première boule en notant sa couleur puis on la remet dans l'urne.

On tire ensuite toujours au hasard une deuxième boule en notant sa couleur.

On note $R$ l'évènement \og tirer une boule rouge \fg{} et $N$ l'évènement \og tirer une boule noire \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter sur la copie l'arbre pondéré ci-dessous associé à cette expérience. 

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{
\pstree{\TR{$R$~~}\taput{\ldots}}
	{\TR{$R$} \taput{\ldots}
	\TR{$N$} \tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$N$~~}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$R$}\taput{\ldots}
	\TR{$N$}\tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}
	
\item Quelle est la probabilité de tirer deux boules rouges ?
\item Si un joueur tire une boule rouge, il gagne $20$ euros. S'il tire une boule noire, il perd $10$ euros.

On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur, en euros, à l'issue des deux tirages successifs.

Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
\item Calculer la probabilité que le joueur gagne de l'argent.
\item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et en donner une interprétation.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

On considère les suites $\left(u_n\right)_{n\geqslant 0}$ et $\left(v_n\right)_{n\geqslant 0}$ définies par $u_0 = 7$ et, pour tout entier naturel $n$,

\[u_{n+1} = 0,5u_n + 3\quad \text{et}\quad v_n = u_n - 6.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)_{n\geqslant 0}$ est une suite géométrique de raison $0,5$ et de premier terme~$1$.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire, pour tout entier naturel $n$, une expression de $u_n$n en fonction de $n$.
\item On note $S = v_0 + v_1 + \ldots + v_{100}$ la somme des $101$ premiers termes de la suite $\left(v_n\right)_{n\geqslant 0}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur de $S$.
		\item En déduire la valeur de la somme des $101$ premiers termes de la suite $\left(u_n\right)_{n\geqslant 0}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

 
Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombre réels par 

\[f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2.\]

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que $f$ est dérivable sur Ret on note f' sa fonction dérivée.
Donner l'expression de $f'(x)$, pour tout nombre réel $x$.
\item On note $T$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $- 1$.

Donner l'équation réduite de la tangente $T$.
\item  Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[g(x) = 3x^3 - 4x + 1.\]

On note $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans le même repère que la courbe $\mathcal{C}_f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout nombre réel $x$, \:$f(x) - g(x) = -5x^2 + 4x + 1$.
		\item Étudier sur $\R$ le signe de $f(x) - g(x)$.
		\item En déduire pour quelles valeurs de $x$ la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de la courbe $\mathcal{C}_g$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}