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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Première série générale}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{2020}}
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\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat Première  Métropole-La Réunion~\decofourright\\[6pt]série générale e3c \no 46 année 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - Première générale}



\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.\\
Aucune justification n'est demandée.\\
Une bonne  réponse  rapporte $1$ point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses  ou ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.\\
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses 
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre qui correspond à la réponse choisie.}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On munit le plan du repère orthonormé \Oij

On considère trois points du plan A, B et C tels que AB $= 2$, AC $= \sqrt{3}$ et $\widehat{\text{BAC}} = \dfrac{5\pi}{3}$.

Alors $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}} = $

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$ = 2\sqrt{3}$ &\textbf{b.~~}$3$&\textbf{c.~~}$- 2\sqrt{3}$  &\textbf{d.~~}$ - 3$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soit $a$ un nombre réel. On munit le plan du repère orthonormé \Oij.
, --+ (Sin(a)) .(-cOs(a))
On considere les vecteurs $\vect{u}\binom{\sin (a)}{\cos (a)}$ et $\vect{v}\binom{-\cos (a)}{\sin (a)}$. Alors $\vect{u} \cdot \vect{v}$ est égal à

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}BC$ = \sqrt{109}$ &\textbf{b.~~}BC$ = \sqrt{74}$&\textbf{c.~~}BC$= -35\sqrt{3} + 74$  &\textbf{d.~~}BC$= \sqrt{39}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On munit le plan du repère orthonormé \Oij. On considère les points A(2~;~8), B(35~;~0), C(7~;~-5) et D(3~;~0). Alors, les droites (AB) et (CD) sont:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}parallèles&\textbf{b.~~}perpendiculaires&\textbf{c.~~}sécantes&\textbf{d.~~}confondues\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On munit le plan du repère orthonormé \Oij.

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ non nul par $f(x) = \dfrac{3}{x}$. On note $C$ sa courbe représentative dans ce repère. 

L'équation réduite de la tangente à $C$ au point d'abscisse 1 est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$y = -3x + 6$ &\textbf{b.~~}$y = -3x$&\textbf{c.~~}$ y = 3x$  &
\textbf{d.~~}$y = 3x + 6$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item L'ensemble des solutions dans $\R$ de l'équation $x^2 = 6x - 5$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$S =\{1~;~5\}$ &\textbf{b.~~}$S = \{1\}$&\textbf{c.~~}$S = \emptyset$  &\textbf{d.~~}$S = \{- 5~;~-1\}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Maxime participe à un jeu qui se déroule en deux parties :
\begin{itemize}
\item La probabilité qu'il gagne la première partie est de 0,2.
\item S'il gagne la première partie, il gagne la deuxième avec une probabilité de 0,9. 
\item S'il perd la première partie, il perd la suivante avec une probabilité de 0,6.
\end{itemize}

On note :
\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item $G_1$ l'évènement \og Maxime gagne la première partie \fg
\item $G_2$ l'évènement \og Maxime gagne la première partie \fg
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
\item Calculer la probabilité que Maxime gagne les deux parties du jeu.
\item Montrer que la probabilité que Maxime gagne la deuxième partie du jeu est $0,5$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On sait de plus que :

\begin{itemize}
\item à chaque partie gagnée, le joueur gagne $1,50$~\euro.
\item à chaque partie perdue, il perd $1$~\euro.
\end{itemize}

\smallskip

On note $X$ la variable aléatoire qui correspond au gain algébrique en euros de Maxime
à l'issue des deux parties.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier sur la copie et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeurs de $X$&&&3&Total\\ \hline
Probabilité&&& 0,18&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item Déterminer si ce jeu est équitable. Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Une personne souhaite louer une maison à partir du 1\up{er} janvier 2020 et a le choix entre deux formules de contrat :

\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item Contrat \no 1 : le loyer augmente chaque année de 200 €.
\item Contrat \no 2 : le loyer augmente chaque année de 5\,\%.
\end{itemize}

Pour tout entier naturel $n$, on note :

\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item $u_n$ le loyer annuel de l'année $2020 + n$ pour le contrat \no 1.
\item $v_n$ le loyer annuel de l'année $2020 + n$ pour le contrat \no 2.
\end{itemize}

Dans les deux cas, le loyer annuel initial est de \np{3600}~\euro. 

On a donc $u_0 = v_0 = \np{3600}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étude de la suite $\left(u_n\right)$
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le loyer annuel de l'année 2021 pour le contrat n°l.
		\item Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ puis en déduire le loyer annuel de
l'année 2030.
	\end{enumerate}
\item Étude de la suite $\left(v_n\right)$
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le loyer annuel de l'année 2021 pour le contrat \no 2.
		\item Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ puis en déduire le loyer annuel de l'année 2030.
	\end{enumerate}
\item On considère le script suivant, écrit en langage Python :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\texttt{u = \np{3600}}\\
\texttt{v = \np{3600}}\\
\texttt{n = 0}\\
\texttt{while u > = v}\\
\qquad \texttt{u = u + 200}\\
\qquad \texttt{v = 1,05*v}\\
\qquad \texttt{n = n + 1}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Après exécution, la variable $n$ contient la valeur 6. Donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

Des pucerons envahissent une roseraie.

On introduit alors des coccinelles, prédatrices des pucerons, à l'instant $t = 0$, et on s'intéresse à l'évolution du nombre de pucerons à partir de cet instant et sur une période de $20$ jours.

\bigskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

Dans le repère ci-dessous, on a tracé :

\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item La courbe $\mathcal{C}$ représentant le nombre de milliers de pucerons en fonction du nombre de jours écoulés depuis l'introduction des coccinelles.
\item La tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0 passe par les points A(0~;~2,1) et B(2~;~4,3).
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.75)(22,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5](0,0)(22,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\displaystyle]{->}(0,0)(0,0)(22,7)
\def\F{x 3 exp 0.003 mul x dup mul 0.12 mul sub 1.1 x mul add 2.1 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{20}{x 3 exp 0.003 mul x dup mul 0.12 mul sub 1.1 x mul add 2.1 add}
\uput[ur](16,1.25){\red $\mathcal{C}$}\uput[u](20,0){\small $t$, nombre de jours}\uput[r](0,6.7){\small  $f(t)$ nombre de pucerons en milliers}
%\psplotTangent[Derive=\F]{0}{3}{\F}
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,2.1)(2,4.3)
\uput[ul](2,4.3){$T$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer par lecture graphique le nombre de pucerons à l'instant où l'on introduit les coccinelles puis le nombre maximal de pucerons sur la période de $20$ jours.
\item On assimile la vitesse de prolifération des pucerons à l'instant $t$ au nombre dérivé $f'(t)$.

Déterminer graphiquement la vitesse de prolifération des pucerons à l'instant $t = 0$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B :}

\medskip

On modélise l'évolution du nombre de pucerons par la fonction $f$ définie, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~20], par:

\[f(t) = 0,003t^3 - 0,12t^2 + 1,1t + 2,1\]

où $t$ représente le nombre de jours écoulés depuis l'introduction des coccinelles et
$f(t)$ le nombre de pucerons en milliers.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f'(t)$ pour tout $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~20] où $f'$ désigne la
dérivée de la fonction $f$.
\item Dresser le tableau de signes de $f'(t)$ sur l'intervalle [0~;~20].
\item En déduire le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~20]. Préciser les images des valeurs de $t$ apparaissant dans le tableau.
\end{enumerate}
\end{document}