\documentclass[10pt,a4paper,french]{article}
\usepackage{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
%\usepackage{cellspace}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{mathtools}% fleqn sans effet après asmmath  aignement à gauche  
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amstext ,mathrsfs}
\usepackage[psamsfonts]{eucal}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{multirow,multicol}
\usepackage[euler]{textgreek}
\usepackage{textcomp,enumitem}
\usepackage[table,dvips]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pythonhighlight}
\usepackage{listings}[frame=none]
%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pst-func,pst-3d,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3cm, right=3cm, top=1.9cm, bottom=2.4cm]{geometry}
\usepackage{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vv{\imath},~\vv{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vv{\imath},~\vv{\jmath},~\vv{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vv{u},~\vv{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\definecolor{aliceblue}{rgb}{0.94, 0.97, 1.0}
\definecolor{amethyst}{rgb}{0.6, 0.4, 0.8}
\definecolor{lightyellow}{rgb}{1.0, 1.0, 0.88}
\definecolor{lightgreen}{rgb}{0.56, 0.93, 0.56}
\usepackage[np]{numprint}
\renewcommand\arraystretch{1.3}
\newcommand{\e}{\text{e}}
%\frenchbsetup{StandardLists=true}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {épreuve de contrôle continu},
pdftitle = {e3c},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 47}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no{} 2~\decofourright\\[5pt]Sujet 47 \:\: mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 5 points}}
  
\medskip
Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les
questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre
correspondant à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches
au brouillon pour déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une question sans
réponse n’apporte ni ne retire de point.

\medskip
\textbf{Question 1}
\medskip 


Soient $\vv{u}$ et $\vv{v}$ deux vecteurs de coordonnées respectives $(-1~;~0)$ et $(-3~;~4)$ dans un repère orthonormé du plan. Alors $ \left\|\vv{u}-\vv{v}\right\|$ est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $4\sqrt{2} $ &\textbf{b.~~} $\sqrt{32} $&\textbf{c.~~}$20 $& \textbf{d.~~} $2\sqrt{5}  $.
\end{tabularx}

\medskip
\textbf{Question 2}
\medskip 

Le tableau de signes de la fonction polynôme définie sur $\R$ par $f(x) = x^2 + 2x + 5$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \begin{tabular}[]{|c|lcccccr|}
\hline
$x$ &$-\infty$& &$-3$& &1& &$+\infty$\\
\hline
$f(x)$& &+ &0& $-$ &0 &+&\\\hline
\end{tabular} &\textbf{b.~~}
\begin{tabular}[]{|c|lcccr|}\hline
$x$& $-\infty$& &$- 16$& &$+\infty$\\\hline
$f(x)$&        &+& 0  & + & \\\hline
\end{tabular}\\[1.2cm]

\textbf{c.~~}
\begin{tabular}[]{|c|l m{1.2cm}r|}
\hline
 $x$& $-\infty$& &$+\infty$\\\hline
$f(x)$&& \centering +&\\\hline
\end{tabular}
& \textbf{d.~~} 
\begin{tabular}[]{|c|l m{1.2cm}r|}
\hline
 $x$& $-\infty$& &$+\infty$\\\hline
$f(x$)&& \centering $-$&\\\hline
\end{tabular}.
\end{tabularx}

\medskip
\textbf{Question 3}
\medskip 

Sur l’intervalle $] -\pi~;~\pi]$, l’équation $\sin(x) = \dfrac{1}{2}$
a pour solution(s)

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{\pi}{6} $ &\textbf{b.~~} $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3} $&\textbf{c.~~}$-\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{6} $& \textbf{d.~~} $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{5\pi}{6} $.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip 

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 15$ et pour tout entier naturel $n$ :

\[u_{n+1} = 0,8 u_n + 1.\]

On a écrit la fonction suite() ci-contre en langage Python.

\begin{python}
def suite():
	n=0
	u=15
	while u>6:
		n=n+1
		u=0.8*u+1
	return n
\end{python}

L’appel de cette fonction renvoie :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} Le plus petit entier $n$ tel que $u_n > 6$ &\textbf{b.~~}Le plus petit entier $n$ tel que $u_n \leqslant 6$ \\\textbf{c.~~} Le premier terme de la suite tel que $u_n > 6$ & \textbf{d.~~}Le premier terme de la suite tel que $u_n \leqslant 6$ .
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip 

Pour tout réel $x$,\, $\e^{3x-5} \times \e^{4 - 3x}$ est égal à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{1}{\text{e}}$ &\textbf{b.~~} $ \e^{(3x-5)\times(4-3x)}$&\textbf{c.~~}$ \e $& \textbf{d.~~} $\e^{-9x^2+27x-20} $.
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\medskip

Le président d’un club de handball a constaté une augmentation du nombre d’adhérents dans
son club depuis 2016 (toutes catégories confondues). En effet en 2016, il y avait $377$ adhérents,
$396$ en 2017 et $416$ en 2018. Ce qui correspond à une hausse chaque année d’environ 5\,\%.

Il souhaite faire une estimation pour les années à venir, en supposant que cette hausse de 5\,\%
par an se poursuit.

On modélise le nombre d’adhérents l’année 2018 + $n$ par la suite de terme général $u_n$.

On a donc $u_0 = 416$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$. Arrondir les résultats à l’unité.
\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Préciser son premier terme et sa raison.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
\item Calculer $u_7$. Interpréter ce résultat par rapport aux données de l’énoncé.
\item À partir de quelle année le président du club peut-il espérer dépasser les $700$ adhérents ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\medskip

Un artisan fabrique de la confiture qu’il vend à un grossiste. Le coût, en euros, de fabrication
de $x$ kilos de confiture est :

\[C(x) = 0,1x^2 + 0,7x + 100, \hspace{5em}\text{pour } x \in [0~;~160].\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Chaque kilo est vendu $14$~\euro. Exprimer la recette $R$ en fonction de $x$.
\item Soit $B$ la fonction représentant le bénéfice de l’artisan, définie sur [0~;~160].

$B$ a pour expression

\[B(x) =- 0,1x^2 + 13,3x - 100.\]

Étudier le signe de $B(x)$. En déduire l’intervalle dans lequel doit se trouver le nombre de
kilos de confiture à vendre pour que l’artisan réalise un bénéfice positif.
\item On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $B'(x)$.
		\item Dresser le tableau de variation de $B$ sur l’intervalle [0~;~160].
		\item Donner le nombre de kilos à vendre pour que le bénéfice soit maximal ainsi que son
montant.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\medskip

On dispose d’un dé équilibré à six faces et de deux urnes U et V contenant des boules blanches ou rouges, indiscernables au toucher.

L’urne U contient $40$ boules blanches et $60$ boules rouges.

L’urne V contient $70$ boules blanches et $30$ boules rouges.

Un jeu consiste à lancer le dé puis tirer une boule dans l’une des urnes. Si on obtient 1 ou 6 sur le dé, le tirage s’effectue dans l’urne U. Si on obtient 2, 3, 4 ou 5 sur le dé, le tirage s’effectue dans l’urne V.

On considère les évènements :
\begin{itemize}
\item $U$ : \og le tirage s’effectue dans l’urne U \fg
\item $V$ : \og le tirage s’effectue dans l’urne V \fg
\item $B$ : \og la boule tirée est blanche \fg
\item $R$ : \og la boule tirée est rouge \fg.
\end{itemize}

Sauf indication contraire, les probabilités seront arrondies au millième.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
\item Déterminer la probabilité de l’évènement \og la boule tirée est rouge \fg.
\item On tire une boule rouge. Quelle est la probabilité qu’elle ait été tirée dans l’urne U ?
\item Pour jouer, il faut miser 1 \euro. Le joueur gagne 3 \euro{} s’il tire une boule rouge et il ne gagne rien s’il tire une boule blanche. On note $\mathcal{G}$  la variable aléatoire donnant le gain du joueur.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $\mathcal{G}$.

\emph{On donnera le tableau de la loi de probabilité, mais aucune justification n'est demandée.}
		\item Calculer l’espérance mathématique de $\mathcal{G}$. Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}