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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Première série générale}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{2020}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat Première  Métropole-La Réunion~\decofourright\\[6pt]série générale e3c \no 48 année 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - Première générale}



\emph{Ce QCM comprend $5$ questions indépendantes. Pour chacune d'elles, une seule des réponses proposées est exacte.\\
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.\\
Aucune justification n'est demandée.\\
Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n'apporte ni ne retire de point.}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-1~;~4]$.

On a tracé sur la figure ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ et la tangente à cette courbe au point A de coordonnées (2~;~2).

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-2,-1)(6,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1.95,-0.95)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-1.95,-0.95)(5.99,4.99)
\pscurve[linecolor=red,linewidth=1.25pt](-1,3)(0,2.5)(1,2)(2,2)(3,3.2)(4,4)
\psplot[plotpoints=2000]{-1}{10}{x 2 sub 2 mul 3 div 2 add}
\uput[u](3,3.2){\red $\mathcal{C}_C$}
\uput[ul](2,2){A}
\psdots(5,4)(4,4)(-1,3)(2,2)
\end{pspicture*}
\end{center}

L'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point A est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Réponse a}& \textbf{Réponse b}& \textbf{Réponse c}& \textbf{Réponse d}\\ \hline
$y = \dfrac{2}{3}(x - 2) + 2$&$y = 2(x - 2) + \dfrac{2}{3}$&$y  = \dfrac{2}{3}(x + 2) + 2$&$y = \dfrac{3}{2}(x - 2) + 2$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item ~

\parbox{0.6\linewidth}{Dans un repère orthonormal \Oij, le point A, placé ci-contre sur le cercle trigonométrique de centre O, d'origine I, est associé au réel :} \hfill\parbox{0.3\linewidth}{
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-1.5)(1.5,1.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1.5,-1.5)(1.5,1.5)
\pscircle[linewidth=1.25pt](0,0){1}
\uput[ur](0,0){O}\uput[ur](1,0){I}\uput[ur](0,1){J}\uput[dl](-0.5,-0.866){A}
\psdots(0,0)(1,0)(0,1)(-0.5,-0.866)
\end{pspicture*}} 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Réponse a}& \textbf{Réponse b}& \textbf{Réponse c}& \textbf{Réponse d}\\ \hline
$\dfrac{11\pi}{6}$&$\dfrac{2\pi}{3}$&$- \dfrac{2\pi}{3}$&$-\dfrac{3\pi}{4}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère une fonction du second degré $f$ définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = ax^2 + bx\]

où $a$ et $b$ sont deux nombres réels strictement positifs.

Quelle est la courbe représentative de cette fonction dans un repère orthonormé ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Réponse a}& \textbf{Réponse b}& \textbf{Réponse c}& \textbf{Réponse d}\\ \hline
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1.5)(3,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(3,4)
\psplot[plotpoints=2000]{-1}{5}{2 1.414 x sub dup mul sub}
\end{pspicture*}&
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-1)(3,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-1.5,-1)(3,5)
\psplot[plotpoints=2000]{-1}{5}{x 1 sub dup mul}
\end{pspicture*}&
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-0.5)(1.5,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-3.5,-0.5)(1.5,4)
\psplot[plotpoints=2000]{-3}{5}{x 1 add dup mul 1. add}
\end{pspicture*}&
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-3,-1.5)(2,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-3,-1.5)(2,4)
\psplot[plotpoints=2000]{-3}{2}{1.5 x add  x  mul}
\end{pspicture*}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item  Dans le plan muni d'un repère orthonormé une droite $D$ a pour équation : $x - 2y = 1$.

Parmi les propositions suivantes, laquelle est correcte ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}\hline
\textbf{Réponse a}& \textbf{Réponse b}& \textbf{Réponse c}& \textbf{Réponse d}\\ \hline
Le vecteur $\vect{u}\binom{1}{-2}$  est un vecteur directeur
de la droite $D$.&Le vecteur $\vect{u}\binom{1}{-2}$  est un vecteur normal à la
 droite $D$&Le point A de coordonnées $(1~;~-2)$ appartient à la droite $D$&L'ordonnée à l'origine de la droite $D$ est égale à $1$.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item Un homme marche pendant $10$ jours. Le premier jour, il parcourt $12$~km. Chaque jour, il parcourt $500$~m de moins que la veille. Durant ces dix jours, il aura parcouru au total:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash }X|}}\hline
\textbf{Réponse a}& \textbf{Réponse b}& \textbf{Réponse c} 19 km& \textbf{Réponse d} 84 km\\ \hline
95 km&97,5 km&19 km&84 km\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise fabrique chaque jour $x$ tonnes d'un produit. Le coût total mensuel, en milliers d'euros, pour produire chaque jour $x$ tonnes de ce produit est modélisé par la fonction $C$ définie sur l'intervalle [0~;~10] par:

\[C(x) = (5x - 2)\text{e}^{-0,2x} + 2.\]

On a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_C$ de la fonction $C$ dans un repère.

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1.2,-1.2)(10.5,12.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](0,0)(10.5,12.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(10.5,12.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(0,0)(10.5,12.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{5 x mul 2 sub 2.71828 0.2 x mul exp div 2 add}
\uput[ur](9,9){\blue $\mathcal{C}_C$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner une estimation de la quantité journalière de produit pour laquelle le coût total mensuel est maximal.
\item Le \textbf{coût marginal} $C_m$ qui correspond au supplément de coût total pour la production d'une unité de valeur supplémentaire, est assimilé à la \textbf{dérivée} de la fonction coût total.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le coût marginal $C_m$ est défini sur l'intervalle [0~;~10] par: 
		
\[C_m(x) = (-x + 5,4)\text{e}^{-0,2x}.\]
		
		\item Pour quelle quantité de produit fabriqué par jour le coût marginal est-il négatif ? 
		\item Donner le tableau de variations de la fonction $C$ sur l'intervalle [0~;~10].
		\item Déterminer le coût total mensuel maximal sur l'intervalle considéré. On donnera la valeur arrondie à l'euro près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

On considère qu'en 2019, \np{3300000}~personnes étaient atteintes de diabète en France.

Pour étudier l'évolution de la maladie, des chercheurs appliquent un modèle selon lequel le nombre de personnes atteintes augmente de $2$\,\% par an.

On note $u_n$ le nombre de personnes atteintes de diabète en France selon ce modèle durant l'année $(2019 + n)$. On a donc $u_0 = \np{3300000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que, selon ce modèle, le nombre de personnes atteintes de diabète en France sera de \np{3433320} en 2021.
\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?
\item Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire le nombre de personnes qui, selon ce modèle, seront atteintes de diabète en France en 2025.
\item On définit en langage Python la fonction suivante.

\begin{center}
\begin{python}
def seuil(S): 
    u=33000
    n=0
    while u<S :
       u=u*1,02
       n=n+1
    return n
\end{python}
\end{center}

Après exécution dans la console on obtient l'affichage suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$>>>$ seuil(5000000)\\
21\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.

On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique. 

On note:

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item $S$ l'évènement \og le voyageur fait sonner le portique \fg{} ;
\item $M$ l'évènement \og le voyageur porte un objet métallique \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $\overline{S}$ et $\overline{M}$ les évènements contraires des évènements $S$ et $M$.

On considère qu'un voyageur sur $500$ porte sur lui un objet métallique. 

On admet que :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item Lorsqu'un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à 0,95.
\item Lorsqu'un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est de 0,96.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de $P(M)$, $P_M(S)$ et $P_{\overline{M}}\left(\overline{S}\right)$. 
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous, modélisant cette situation :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
\pstree{\TR{$M$~~}\taput{\ldots}}
	{\TR{$S$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{S}$} \tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{M}$~~}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$S$}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{S}$}\tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}

\item Montrer que $P(S) = \np{0,04182}$.
\item En déduire la probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique sachant qu'il a fait
sonner le portique en passant. On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
\item Les évènements $M$ et $S$ sont-ils indépendants?
\end{enumerate}

\end{document}