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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Première série générale}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{2020}}
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\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat Première  Métropole-La Réunion~\decofourright\\[6pt]série générale e3c \no 50 année 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont \textbf{indépendantes}. 

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée, cependant des traces de recherche au brouillon peuvent aider à trouver la bonne réponse. 

Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire de point.

\medskip

\textbf{Question 1}

Pour tout réel $x$, l'expression $\text{e}^x\times \text{e}^{x+2}$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$\text{e}^{2x+2}$&\textbf{b.~~}$\text{e}^{x^2+2}$&\textbf{c.~~}$\text{e}^{\frac{x}{x+2}}$&\textbf{d.~~}$\text{e}^{x^2 + 2x}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\textbf{Question 2}

Soit $g$ une fonction définie et dérivable en 1. Dans un repère du plan, une équation de la
tangente à la courbe de la fonction $g$ au point d'abscisse 1 est : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$y=g(1) \times (x - 1)- g'(1)$&\textbf{b.~~}$y= g'(1) \times (x - 1) +g(1)$\\
\textbf{c.~~}$y = g'(1) \times (x + 1) - g(1)$&\textbf{d.~~}$y = g(1) \times (x + 1) + g'(1)$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Question 3}

Le plan est muni d'un repère \Oij. On considère la droite $(d)$ de vecteur directeur $\vect{u}(4~;~7)$ et passant par le point A$(-2~;~3)$. Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$- 7x + 4y- 26= 0$&\textbf{b.~~}$4x + 7y - 13 = 0$&\textbf{c.~~}$- 7x+ 4y+ 26= 0$&\textbf{d.~~}$4x - 7y + 29 = 0$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Question 4}

$t$ est un réel. On sait que $\cos(t)= \dfrac{2}{3}$. Alors $\cos(t+4\pi) + \cos (-t)$ est égal à : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$- \dfrac{4}{3}$&\textbf{b.~~}$0$&\textbf{c.~~}$\dfrac{4}{3}$&\textbf{d.~~}$\dfrac{2}{3}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 5}

On considère, dans un repère du plan, la parabole $(P)$ d'équation : $y= - x^2 +6x - 9$. La parabole $(P)$ n'admet :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}aucun point d'intersection avec l'axe des abscisses&\textbf{b.~~}un seul point d'intersection avec l'axe des abscisses&\textbf{c.~~}deux points d'intersection avec l'axe des abscisses&\textbf{d.~~}trois points d'intersection avec l'axe des abscisses\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Dans cet exercice, les distances sont exprimées en mètres.

On considère un rectangle ABCD d'aire $49$~m$^2$ tel que DC $= x$ et BC $= y$. 

On admet que les nombres $x$ et $y$ sont strictement positifs.

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(4,3.5)
\psframe(4,3)
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0,3.3)(4,3.3)
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(4.3,0)(4.3,3)
\uput[u](2,3.3){$x$}\uput[r](4.3,1.5){$y$}
\uput[dl](0,0){A}\uput[dr](4,0){B}
\uput[ur](4,3){C}\uput[ul](0,3){D}
\end{pspicture}
\end{center}

On souhaite déterminer les dimensions $x$ et $y$ pour que le périmètre de ce rectangle soit
minimal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le périmètre, en mètres, du rectangle ABCD est égal à $2x + \dfrac{98}{x}$.
		\item Calculer ce périmètre pour $x = 10$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = 2x + \dfrac{98}{x}$.

On admet que $f$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
	\end{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x > 0$,

\[f'(x) = \dfrac{2x^2 - 98}{x^2}.\]

\item Déterminer le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
\item En déduire les dimensions du rectangle d'aire $49$~m$^2$ dont le périmètre est minimal.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Un constructeur de véhicules fabrique deux types d'automobiles: \og Citadine\fg{} ou \og Routière \fg.

Pour ces véhicules, ce constructeur propose deux finitions :

\begin{itemize}
\item \og Sport\fg{} au tarif de \np{2500} euros par véhicule, 
\item \og Luxe\fg{} au tarif de \np{4000} euros par véhicule.
\end{itemize}

En consultant le carnet de commandes de ce constructeur, on recueille les indications suivantes :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 80\,\% des clients ont commandé une automobile \og Citadine \fg. Les autres clients ont commandé une automobile \og Routière \fg.
\item[$\bullet~~$] Parmi les clients possédant une automobile \og Citadine \fg, 70\,\% ont pris la finition \og Sport \fg.
\item[$\bullet~~$] Parmi les clients possédant une automobile \og Routière \fg, 60\,\% ont pris la finition \og Luxe \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On choisit un client au hasard et on considère les évènements suivants : 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $C$ : \og Le client a commandé une automobile \og Citadine\fg{} \fg,
\item[$\bullet~~$] $L$ : \og Le client a choisi la finition \og Luxe\fg{} \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

D'une manière générale, on note $\overline{A}$ l'évènement contraire d'un évènement $A$.

On note $X$ la variable aléatoire qui donne le montant en euros de la finition choisie par un client.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire l'arbre pondéré de probabilité traduisant les données de l'exercice.
\item Calculer la probabilité que le client ait commandé une automobile \og Citadine\fg{} et ait choisi la
finition \og Luxe \fg, c'est-à-dire calculer $P(C \cap L)$.
\item Justifier que $P(L) = 0,36$.
\item La variable aléatoire $X$ ne prend que deux valeurs $a$ et $b$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les probabilités $P(X = a)$ et $P(X = b)$. 
		\item Déterminer l'espérance de $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

Fanny est inscrite dans un club d'athlétisme. Elle pratique le penta bond (le penta bond est un enchaînement de cinq bonds après une course d'élan).

La première semaine d'entraînement, Fanny réalise un saut de $8$ m.

Chaque semaine, la longueur de son saut augmente de $0,1$ m.

Pour $n$ entier naturel non nul, on note $s_n$ la longueur, en mètres, de son saut la $n$-ième semaine d'entraînement.

Puisque lors de la première semaine d'entraînement, Fanny réalise un saut de $8$ m, on a $s_1 = 8$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour $n \geqslant 2$, on considère la fonction Python suivante.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
\texttt{def saut(n)}\\
\quad  \texttt{s=8}\\
\quad  \texttt{for k in range(2~n+1):}\\
\qquad\quad \texttt{s=s+0,1}\\
\quad \texttt{return s}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Quelle valeur $s$ est-elle renvoyée par la commande \texttt{saut(4)} ?
		\item Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item Exprimer avec justification $s_n$ en fonction de $n$ pour $n$ entier naturel non nul.
\item Pour être qualifiée à une compétition, Fanny doit faire un saut d'au moins $12$~mètres.
	\begin{enumerate}
		\item À partir de quelle semaine, Fanny réalisera-t-elle un tel saut ? 
		\item Justifier votre réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}