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%Tapuscrit Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 52}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no{} 2~\decofourright\\[5pt]Sujet 52 -- mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }1– QCM  \hfill 5 points}

\medskip

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses
proposées est exacte.

Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de
réponse n’apporte ni ne retire de point.

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip 

Pour tout entier naturel $n$, on définit la suite $\left(u_n\right)$ par : $u_n= 3 \times \dfrac{10^n}{2^{n+1}}$

La suite $\left(u_n\right)$ est une suite :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~} arithmétique de
raison 3.&\textbf{B.~~} géométrique de
raison 3.\\\textbf{C.~~}arithmétique de
raison 5.& \textbf{D.~~}géométrique de
raison 5. .
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip 

Dans un repère orthonormé \Oij{} du plan, on considère les points $A(-2~;~ 1)$ et $B(2; 4)$.

La droite $\Delta$ passe par le point $C(-1~;~1)$ et admet le vecteur $\vv{AB}$ pour vecteur normal.

La droite $\Delta$ admet pour équation cartésienne :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $3x - 4y + 7 = 0$ &\textbf{B.~~} $ 4x + 3y + 1 = 0$&\textbf{C.~~}$ 3x - 4y - 1 = 0$& \textbf{D.~~} $4x + 3y + 7 = 0$.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip 

Dans l’intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$, l’unique solution de l’équation : $2\cos (x + \pi) + 1 = 0$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $\dfrac{\pi}{3}$ &\textbf{B.~~} $-\dfrac{5\pi}{3}$&\textbf{C.~~}$\dfrac{\pi}{6}$& \textbf{ D.~~} $\dfrac{2\pi}{3}$.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip 

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ par : $f(x)=\dfrac{\e^x}{ 1+\e^x}$

La fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $f'(x)=\dfrac{\e}{1+\e}$ &\textbf{B.~~} $f'(x)=\dfrac{\e^x}{(1+\e^x)^2}$&\textbf{C.~~}$f'(x)=1$& \textbf{D.~~} $f'(x)=\dfrac{-\e^x}{(1+\e^x)^2}$.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip 

On considère la fonction $f$ définie sur $R$ par : $f(x) = -0,5(x + 2)^2 + 4,5$.

On peut affirmer que :

\begin{center}
A.
\end{center}

Le tableau de variations de la fonction $f$ est donné ci-dessous :

\begin{center}
\begin{pspicture}(6.75,1.8)
\psframe(6.65,1.7)
\psline(0,1.24)(6.65,1.24)  \psline(1.2,0)(1.2,1.7)
\uput[u](0.7,1.2){$x$} \uput[u](1.58,1.2){$-\infty$}\uput[u](4.15,1.2){$2$}\uput[u](6.3,1.2){$+\infty$}
\uput[d](0.7,0.9){$f(x)$}\uput[d](4.1,1.2){4,5}
\psline{->}(2,0.2)(3.4,0.85)\psline{->}(4.65,0.85)(5.8,0.2)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{center}
B.
\end{center}

La courbe représentative de la fonction $f$ admet un sommet de coordonnées $(4,5~;~-2)$.

\begin{center}
C.
\end{center}
Le signe de $f(x)$ est donné ci-dessous :

\smallskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|l m{0.5cm}c m{0.5cm}c m{0.5cm} r|}
\hline
$x$&$-\infty$& &$-5$&&1&&$+\infty$\\ \hline
$f(x)$&&\centering $-$&&\centering +&&\centering $-$&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
D.
\end{center}
La fonction $f$ admet un minimum en $-2$ égal à 4,5.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }2 \hfill 5 points}

\medskip

Une fleuriste met en vente quatre sortes de bouquets dont les tarifs et la composition sont
indiqués dans le tableau ci-dessous :

\medskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|*{2}{X|}}\hline
Bouquet de tulipes orange : 10,50 \euro  & Bouquet de roses orange : 23,50 \euro\\\hline
Bouquet de tulipes blanches : 11,60 \euro& Bouquet de roses blanches : 25,50 \euro\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\begin{itemize}
\item 72\,\% des bouquets mis en vente ne contiennent que des roses.
\item Les autres bouquets mis en vente ne contiennent que des tulipes.
\item 20\,\% des bouquets de tulipe mis en vente ne contiennent que des tulipes orange.
\item 36\,\% des bouquets mis en vente ne contiennent que des roses blanches.
\end{itemize}
Un client achète au hasard un bouquet parmi ceux mis en vente par la fleuriste. On note :

\begin{itemize}
\item $R$ l’évènement : \og Le bouquet acheté par ce client est composé de roses.\fg
\item $B$ l’évènement : \og Le bouquet acheté par ce client est composé de fleurs blanches. \fg
\end{itemize}
Les évènements contraires des évènements $R$ et $B$ sont notés respectivement $\overline{R}$ et $\overline{B}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner, sans justifier, la probabilité $p(R \cap B)$.
		\item Recopier et compléter le plus possible l’arbre de probabilité ci-dessous en
traduisant uniquement les données de l’énoncé.
\begin{center}

\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt,levelsep=2.5cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{}\taput{}}
	{
	\TR{}\taput{}
	\TR{}\tbput{}
	}
\pstree{\TR{~}\tbput{}}
	{\TR{}\taput{}
	\TR{}\tbput{}
	}
}
\end{center}

		\item Montrer que $p(B) = 0,584$.
	\end{enumerate}
\item On note $X$ la variable aléatoire qui donne le prix d’un bouquet acheté par un client.
	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter le tableau ci-dessous donnant, pour chaque valeur $x_i$ de $X$,
la probabilité de l’évènement $\{X = x_i \}$. Justifier.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|m{1.82cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\centering $x_i$		&	&	&	& \\\hline
\centering $p(X = x_i)$ &	&	&	&\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$. \emph{On arrondira le résultat au centième.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }3 \hfill 5 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle [0~;~10] par : 

\[f(x)= 60x\,\e^{- 0,5x}.\]

La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout réel $x$, $f'(x) = - 30(x - 2)\e^{-0,5x}$.
\item Déterminer le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle [0~;~10].
\item Établir le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle [0~;~10].

\emph{On indiquera dans ce tableau les valeurs exactes des extremums.}
\item Quelles sont les coordonnées du point en lequel la tangente à la courbe représentative de
la fonction $f$ est parallèle à l’axe des abscisses ?
\item Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$
au point d’abscisse 0.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }4 \hfill 5 points}

\medskip

Le 1\up{er} janvier 2019, le propriétaire d’un appartement a fixé à 650 euros le montant des loyers mensuels pour l’année 2019. Chaque 1\up{er} janvier, le propriétaire augmente de 1,52\,\% le loyer mensuel.

On modélise l’évolution du montant des loyers mensuels par une suite $\left(u_n\right)$. L’arrondi à l’unité du terme $u_n$ représente le montant, en euros, du loyer mensuel fixé le 1\up{er} janvier de l’année $(2019+n)$, pour $n$ entier naturel. Ainsi $u_0 = 650$ euros.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le montant du loyer mensuel fixé le 1\up{er} janvier 2020.
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Préciser sa raison et son premier terme.
		\item Calculer le montant du loyer mensuel qui, selon ce modèle, sera fixé pour l’année 2027.
	\end{enumerate}
\item Pour calculer la somme totale des loyers perçus par le propriétaire durant les années 2019
à 2019+A, on utilise la fonction ci-dessous, écrite en langage Python.

\begin{python}
1 def somme(A):
2 	S=0
3 	n=0
4 	while n<=A:
5		S=S+7800*1.0152**n
6 		n = n + 1
7 	return S
\end{python}

L’exécution de ce programme pour quelques valeurs de A donne les résultats ci-dessous :

\begin{center}
%\rowcolors{1}{}{aliceblue}
\begin{tabular}[]{|l}
>\! >\! > somme(\textcolor{ballblue}{0})\\
\textcolor{ballblue}{7800.0}\\
>\! >\! > somme(\textcolor{ballblue}{1})\\
\textcolor{ballblue}{15718.560000000001}\\
>\! >\! > somme(\textcolor{ballblue}{2})\\
\textcolor{ballblue}{23757.482112000005}\\
>\! >\! > somme(\textcolor{ballblue}{3})\\
\textcolor{ballblue}{31918.595440102407}\\
>\! >\! > somme(\textcolor{ballblue}{8})\\
\textcolor{ballblue}{74623.04180934158}\\
\end{tabular}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter, dans le contexte de l’exercice, le résultat obtenu lors de l’appel somme(1).
		\item Déterminer la somme totale des loyers perçus par le propriétaire durant les années
2022 à 2027 incluses. On arrondira le résultat à l’unité.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}