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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale Sujet 53}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no{} 2~\decofourright\\[5pt]Sujet 53 -- mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 5 points}}
  
\medskip

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses
proposées est exacte.

Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.

Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une absence de
réponse n’apporte ni ne retire de point.

\medskip
\textbf{Question 1}
\medskip 


L’équation $2x^2 - 8x + 6 = 0 $ admet deux solutions. Leur somme $S$ et leur produit $P$ sont :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} \begin{minipage}[t]{2cm}
$S = -8$\\
$P = 6$\end{minipage} &\textbf{B.~~} \begin{minipage}[t]{2cm}$S= -4$\\$P = 3$\end{minipage}&\textbf{C.~~}\begin{minipage}[t]{2cm}$S = 4$\\
$P = 3$\end{minipage}& \textbf{D.~~} \begin{minipage}[t]{2cm}$S = 3$\\$P =-4$\end{minipage}.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip 

$\alpha$ est un nombre réel tel que $\sin(\alpha) = 0,5$. On a alors :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $\sin(\pi-\alpha) = 0,5$ &\textbf{B.~~} $\sin(\pi-\alpha) = -0,5$&\textbf{C.~~}$\sin(\pi-\alpha) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$& \textbf{D.~~} $\sin(\pi-\alpha) =\dfrac{\pi}{6}$.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip 

Dans un repère orthonormé du plan, on considère le cercle d’équation :
$(x-3)^2 + (y+ 0,5)^2 = \dfrac{25}{4}$

On peut affirmer que :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} ce cercle a un rayon
de 6,25. &\textbf{B.~~} ce cercle passe par
le point $R(5~;~-2$).&\textbf{C.~~}le centre de ce cercle a pour
coordonnées $(-3~;~0,5)$& \textbf{D.~~} aucune des réponses A., B. ou C. n’est
correcte.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip 

Dans un repère orthonormé du plan, une équation cartésienne de la droite passant par le
point $A(2~;~-4)$ et de vecteur normal $\vv{n} \ (5~;~6)$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $6x -5y - 32 = 0$ &\textbf{B.~~} $6x + 5y + 8 = 0
$&\textbf{C.~~}$5x+ 6y + 14 = 0$& \textbf{D.~~} $5x + 6y - 14 = 0$.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip 

On considère la fonction $f$ définie sur $R$ par $f(x) = (2x + 3)\e^x$.

La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f'$. On a alors :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $f'(x) = 2\e^x$ &\textbf{B.~~}$f'(x) = (2x + 3)\e^x$
 &\textbf{C.~~}$f'(x) = (2x + 1)\e^x$& \textbf{D.~~}$f'(x) = (2x + 5)\e^x$ .
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\medskip

Une entreprise fabrique des jeux en bois. Avant sa commercialisation, chaque jeu est soumis
à deux contrôles : un contrôle de peinture et un contrôle de solidité.

Après un très grand nombre de vérifications, on constate que :

\begin{itemize}
\item  8\,\% des jeux ont un défaut de peinture,
\item parmi les jeux qui n’ont pas de défaut de peinture, 5\,\% ont un défaut de solidité,
\item 2\,\% des jeux présentent les deux défauts.
\end{itemize}
On choisit au hasard un jeu parmi ceux fabriqués par l’entreprise. On note :
\begin{itemize}
\item $T$ l’évènement : \og le jeu a un défaut de peinture. \fg
\item $S$ l’évènement : \og le jeu a un défaut de solidité. \fg
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $p_T(S) = 0,25$.
\item Recopier et compléter l’arbre pondéré de probabilité ci-dessous traduisant les données de
l’énoncé.

\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt,levelsep=2.5cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$T$~~}\taput{}}
	{
	\TR{$S$}\taput{$\np{0.25}$}
	\TR{$\overline{S}$}\tbput{}
	}
\pstree{\TR{$\overline{T}$~~}\tbput{}}
	{\TR{$S$}\taput{}
	\TR{$\overline{S}$}\tbput{}
	}
}
\end{center}

\item Démontrer que la probabilité que le jeu choisi au hasard n’ait pas de défaut de solidité est
égale $0,934$.
\item Les jeux qui présentent un défaut de solidité sont détruits. Dans cette question, on leur
attribuera un prix de vente de 0 \euro.

Les jeux ne présentant aucun défaut sont vendus $14$ \euro{} chacun.

Les autres jeux sont vendus 9 \euro{} chacun.

On note $X$ la variable aléatoire qui donne le prix de vente, en euros, d’un jeu.

	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter le tableau ci-dessous donnant, pour chaque valeur $x_i$ de $X$,
la probabilité de l’évènement $ \{X=x_i\}$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|m{1.4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\centering $x_i$& 0 &9	& 14\\\hline
$P(X=x_i)$		&	&	&\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\item Quel est le prix de vente moyen d’un jeu fabriqué par cette entreprise ?

\emph{On arrondira le résultat au centime d’euro.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\medskip

L’évolution d’une population de bactéries dépend de l’environnement dans lequel ces bactéries sont placées. Cette population peut être modélisée par la suite $(P_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $P_{n+1}= (1+\alpha)P_n+\beta$, où $\alpha$ et $\beta$ sont des paramètres liés à l’environnement, notamment à la température et à l’humidité.

$P_n$ modélise alors le nombre de bactéries, en milliers, qui composent cette population $n$ jours après les avoir introduites dans un certain environnement.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Une population, initialement composée de 500 mille bactéries, est étudiée dans un
environnement pour lequel $\alpha=0,2$ et $\beta=70$.
\begin{enumerate}
\item  Combien y a-t-il de bactéries dans cet environnement au bout de deux jours ?
\item Recopier et compléter le programme suivant, écrit en langage Python, pour que la
fonction Nombrebacteries renvoie le nombre de bactéries présentes dans cet environnement au bout de N jours.

\begin{center}
\begin{tabular}[]{|l}
def Nombrebacteries(N):\\
	p=500\\
	for i in range(0,N):\\
	\phantom{xxx}		P = $\dots$\\
	return $\dots$\\
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}
\item Une autre population, initialement composée de $500$ mille bactéries, est étudiée dans un
nouvel environnement. On constate que le nombre de bactéries de cette population augmente de 9\,\% par jour.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs des paramètres $\alpha$ et $\beta$ pour cet environnement.
		\item Quelle est, dans ce cas, la nature de la suite $\left(P_n\right)$ ?
		\item Justifier qu’après 9 jours dans cet environnement, le nombre de bactéries de cette population
a doublé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(x)=3x\e^{-0,4x}.\]

La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f'$.

\textbf{On admet} que la fonction $f'$ a pour expression $f'(x)=(- 1,2x + 3)\e^{-0,4x}$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[0~;~+\infty[$.
\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0~;~+\infty[$.
\item Un sportif a pris un produit dopant. La fonction $f$ modélise la quantité, en mg/L, de
ce produit dopant présent dans le sang du sportif $x$ heures après la prise.
	\begin{enumerate}
		\item  Pourquoi peut-on affirmer que ce produit dopant n’est pas naturellement présent
dans l’organisme du sportif ?
		\item Combien de temps après son absorption, ce produit dopant sera-t-il présent en
quantité maximale dans le sang du sportif ?
		\item Le sportif absorbe ce produit dopant au début d’une séance d’entraînement.

Le même jour, 6 heures après le début de cette séance d’entraînement, il est soumis à un contrôle anti-dopage.

Celui-ci se révélera positif si la quantité de produit dopant présent dans l’organisme de ce sportif dépasse \np[mg/L]{1,4}.

Ce contrôle anti-dopage sera-t-il positif ? Justifier. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}