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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 54}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no{} 2~\decofourright\\[5pt]Sujet 54 mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice }1 \hfill 5 points}
  
\medskip

\emph{Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.}

\emph{Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.}

 \emph{Aucune justification n’est demandée.}

\emph{Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.}

\begin{enumerate}
\item Si $\sin x=\dfrac{1}{3}$ alors


\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $ \sin(x+\pi)=-\frac{1}{3}$ &\textbf{b.~~} $\sin(x-\pi)=\dfrac{1}{3}$&\textbf{c.~~}$\cos(x)=\dfrac{2}{3}$& \textbf{d.~~} $\sin(x+15\pi)=\frac{1}{3}$.
\end{tabularx}
 
\item Parmi les paraboles ci-dessous laquelle représente une fonction qui n’admet aucune racine ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-4.4,-2)(2.2,2.6)
\multido{\n=-4.2+0.2}{31}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,-2)(\n,2.4)}
\multido{\n=-2+0.2}{22}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](-4.4,\n)(2.2,\n)}
\multido{\n=-4+1}{7}{\psline[linewidth=0.45pt](\n,-2)(\n,2.4)}
\multido{\n=-2+1}{5}{\psline[linewidth=0.45pt](-4.4,\n)(2.2,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt]{->}(0,0)(-4.4,-2)(2.1,2.4)
\def\Func{x 3 add x 1 sub mul 0.4 mul }
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=0.85pt,linecolor=red]{-4.2}{2.1}{\Func}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
&\textbf{b.~~} 
 
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-4.4,-3.8)(0.4,1)
\multido{\n=-4.2+0.2}{23}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,-3.6)(\n,0.8)}
\multido{\n=-3.6+0.2}{23}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](-4.4,\n)(0.2,\n)}
\multido{\n=-4+1}{5}{\psline[linewidth=0.45pt](\n,-3.6)(\n,0.8)}
\multido{\n=-3+1}{4}{\psline[linewidth=0.45pt](-4.4,\n)(0.2,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt]{->}(0,0)(-4.4,-3.62)(0.2,1)
\def\Func{x 3 add x 2 add mul 0.8 neg mul }
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=0.85pt,linecolor=green]{-4.4}{-0.4}{\Func}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\\
\textbf{c.~~}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-1,-0.6)(3.2,3.4)
\multido{\n=-0.8+0.2}{21}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,-0.4)(\n,3.2)}
\multido{\n=-0.4+0.2}{19}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](-0.8,\n)(3.2,\n)}
\multido{\n=0+1}{4}{\psline[linewidth=0.45pt](\n,-0.4)(\n,3.2)}
\multido{\n=0+1}{4}{\psline[linewidth=0.45pt](-0.8,\n)(3.2,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt]{->}(0,0)(-0.8,-0.4)(3.4,3.2)
\def\Func{x 1 sub x 1 sub mul 2 mul }
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=0.85pt,linecolor=red]{-0.24}{2.29}{\Func}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}

& \textbf{d.~~} 

\psset{unit=1.2cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.4,-1)(3.2,2.6)
\multido{\n=0+0.1}{30}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,-0.4)(\n,2.4)}
\multido{\n=-0.4+0.1}{28}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](0,\n)(3,\n)}
\multido{\n=0+0.5}{6}{\psline[linewidth=0.45pt](\n,-0.4)(\n,2.4)}
\multido{\n=0+0.5}{5}{\psline[linewidth=0.45pt](0,\n)(3,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=0.5,labels=x]{->}(0,0)(0,-0.5)(3,2.4)
\def\Func{x 1.5 sub x 1.5 sub mul  0.75 add }
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=0.85pt,linecolor=blue]{0.2}{2.7}{\Func}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}

\end{tabularx}
\item Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0~;~+\infty[$ par $f(x)= 2x- \dfrac{1}{x}$

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse 1 est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $1$ &\textbf{b.~~} $3$&\textbf{c.~~}$-1$& \textbf{d.~~} $0$.
\end{tabularx}

\item Dans le plan muni d’un repère orthonormé, l’ensemble des points $M(x~;~y)$ tels que

$x^2-2x+y^2+6y+2=0$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}une parabole  &
\textbf{b.~~}\begin{minipage}[t]{2.89cm}
{\footnotesize le cercle de centre $\Omega$ de coordonnées} \mbox{$(-1~;~3)$} et de rayon 8.\end{minipage} &
\textbf{c.~~}\begin{minipage}[t]{2.89cm}
{\footnotesize  le cercle de centre $\Omega$ de coordonnées} \mbox{$(1~;~-3)$} et de rayon $2\sqrt{2}$.\end{minipage}&
 \textbf{d.~~} une droite.
\end{tabularx}
 
\item La loi de probabilité d’une variable aléatoire $X$ donnant le gain en euros, d’un joueur, à un jeu, est donnée par le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|m{1.4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\centering $x_i$& $-10$ &6& 10\\
\hline
$P(X=x_i)$&$\dfrac{1}{4}$&$\dfrac{3}{8}$&$\dfrac{3}{8}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

Sur un grand nombre de parties, le gain moyen que peut espérer le joueur est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 3,5 euros &\textbf{b.~~}4 euros &\textbf{c.~~}2 euros& \textbf{d.~~6 euros} .
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }2 \hfill 5 points}

\medskip

Le directeur d’une maternité en milieu rural a enregistré $900$ accouchements entre le 1\up{er}
janvier 2019 et le 31 décembre 2019.

Depuis déjà 10 ans, il constate que le nombre d’accouchements baisse d’environ 4\,\% chaque
année par rapport à l’année précédente.

En supposant que cette diminution se poursuive avec ce même taux les prochaines années, il
modélise le nombre d’accouchements de cette maternité pour l’année $2019 + n$ à l’aide du
$n$-ième terme d’une suite $\left(u_n\right)$. Il a ainsi $u_0 = 900$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
\item On considère la fonction Suite définie ci-dessous en langage Python.
\begin{python}
1 def Suite(n):
2 	  u=900
3   for i in range(1,n+1):
4 	  u=0.96*u
5   return u 
\end{python}

Quelle sera la valeur obtenue pour Suite(5) ?
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Le directeur sait que la maternité devra fermer dès le nombre d’accouchements
deviendra inférieur à 600.

Avec ce modèle, la maternité sera-t-elle fermée en 2030 ? Justifier.
\item Selon ce modèle, en quelle année la maternité fermera-t-elle ses portes ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }3 \hfill 5 points}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur [0~;~3] par $f(x) = 4x\e^{-x}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère
orthonormé d’origine~\textbf{O}.

\begin{center}
\psset{xunit=2.75cm,yunit=2.75cm,showorigin=false,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.75)(3,2)
\multido{\n=0.0+0.2}{16}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,2)}
\multido{\n=0+0.2}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(3,\n)}
\multido{\n=0+1}{4}{\psline[linewidth=0.75pt](\n,0)(\n,2)}
\multido{\n=0+1}{2}{\psline[linewidth=0.75pt](0,\n)(3,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(3.1,2)
\uput[dl](0,0){\textbf{O}}
\def\Func{2.71828 x neg exp x 4 mul mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3}{\Func}
\uput[u](2.3,1){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}
Conjecturer une valeur approchée du maximum de $f$ sur [0~;~3].
\item La fonction $f$ est dérivable sur [0~;~3].

Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle [0~;~3], $f'(x) = 4(1 -x)\e^{-x}$.
\item En déduire le tableau de signes de $f'(x)$ sur [0~;~3].
\item En déduire le tableau des variations de $f$ sur [0~;~3] puis la valeur exacte du maximum de
$f$ sur [0~;~3].
\item Soit A le point d’abscisse 1 de $\mathcal{C}_f$ et soit $\mathcal{T}$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $0,5$.

Qui, de la droite (AO) ou de la droite $\mathcal{T}$, a le plus grand coefficient directeur ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }4 \hfill 5 points}

\medskip

$150$ élèves d’un établissement sont inscrits aux activités du midi :
\begin{itemize}
\item $30$ sont inscrits en musique.
\item $45$ sont inscrits en sport.
\item $75$ sont inscrits en cinéma.
\end{itemize} 

Chaque élève pratique une et une seule activité. 
\begin{itemize}
\item Parmi les élèves inscrits en musique, 30\,\% sont des filles.
\item Parmi les élèves inscrits en sport, 60\,\% sont des filles.
\item Parmi les élèves inscrits en cinéma, 72\,\% sont des filles.
\end{itemize}
On choisit au hasard un élève inscrit aux activités du midi.

On note : 
\begin{itemize}
\item $F$ l’évènement : \og l’élève choisi est une fille \fg,
\item $M$ l’évènement : \og l’élève choisi est inscrit en musique \fg,
\item $S$ l’évènement : \og l’élève choisi est inscrit en sport \fg, 
\item $C$ l’évènement : \og l’élève choisi est inscrit en cinéma \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter l’arbre pondéré représentant la situation.
\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt,levelsep=2.5cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$M$~~}\taput{$\np{0.2}$}}
	{
	\TR{$F$}\taput{}
	\TR{$\overline{F}$}\tbput{}
	}
\pstree{\TR{$S$~~}\tbput{}}
	{\TR{$F$}\taput{}
	\TR{$\overline{F}$}\tbput{}
	}
\pstree{\TR{$C$~~}\tbput{}}
	{\TR{$F$}\taput{}
	\TR{$\overline{F}$}\tbput{}
	}
}
\end{center}
\item Calculer la probabilité que l’élève choisi soit une fille inscrite en musique.
\item Montrer que la probabilité que l’élève choisi soit une fille est égale à $0,6$.
\item Les évènements $M$ et $F$ sont-ils indépendants ?
\item Sachant que l’élève choisi est un garçon, calculer la probabilité qu’il soit inscrit en cinéma.
\end{enumerate}
\end{document}