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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 55}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no{} 2~\decofourright\\[6pt]Sujet 55 -- mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }1 \hfill (5 points)}

\medskip

\emph{Cet exercice est un QCM et comprend cinq questions. Pour chacune des questions, une seule
des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.}

\emph{Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre
correspondante à la réponse choisie.}

\emph{Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches
au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.}

\emph{Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse incorrecte ou une question sans
réponse n’apporte ni ne retire de point.}

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip

Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point
d'abscisse 0 est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$y=x+1$  &\textbf{b.~~}$y=\e x$ &\textbf{c.~~$y=\e^x $}& \textbf{d.~~}$y= x-1 $ .
\end{tabularx}

\smallskip

\textbf{Question 2}

\medskip

La fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) = \e^{-2x+6}$ admet pour dérivée la fonction $f'$ définie
sur $\R$ par :
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}$f'(x) = \e^{-2x+6}$  &\textbf{b.~~} $f'(x) = -2\e^{-2x+6}$\\\textbf{c.~~}$f'(x) = -2x\e^{-2x+6}$& \textbf{d.~~}$f'(x) = (-2x + 6)\e^{-2x+6}$ .
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip
Dans le repère orthonormé \Oij, le vecteur $\vv{AB}$ représenté ci-dessous est égal à :

\begin{center}
\psset{labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-0.75,-0.5)(7.5,3.5)
\multido{\n=0+1}{8}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,3.2)}
\multido{\n=0+0.2}{37}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,3.2)}
\multido{\n=0+1}{4}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(7.2,\n)}
\multido{\n=0+0.2}{17}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=lightgray](0,\n)(7.2,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt]{->}(0,0)(7.4,3.3)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](1,3)(7,1)
\uput[l](1,3){A} \uput[dl](7,1){B}\psset{arrowscale=1.8}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=darkgray]{->}(0,0)(0,1)\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=darkgray]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=darkgray]{->}(1,3)(7,1)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vv{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vv{\jmath}$}

\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$-2\vv{\imath} + 6 \vv{\jmath}$  &\textbf{b.~~}$-6\vv{\imath}+ 2\vv{\jmath}$ &\textbf{c.~~}$2\vv{\imath} -6\vv{\jmath}$& \textbf{d.~~}$6\vv{\imath}- 2\vv{\jmath}$ .
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\sin x -\cos x$. Parmi les quatre propositions suivantes, une seule est correcte. Laquelle ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{1}{X}}
\textbf{a.~~} $f$ est une fonction paire. \\\textbf{b.~~}$f$ est une fonction impaire. \\\textbf{c.~~}$f$ n’est ni paire ni impaire.\\ \textbf{d.~~}$f (0)=0$ .
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip

Dans le plan muni d’un repère, on considère la droite $(d)$ d’équation : $5x-2y+8=0$.  

La droite $(d)$ a pour coefficient directeur :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\vv{u}(2 ;5)$ &\textbf{b.~~}$\dfrac{5}{2}$ &\textbf{c.~~}$\dfrac{ 2}{5}$& \textbf{d.~~} $ -2$.
\end{tabularx}



\vspace{0.75cm}

 \textbf{\textsc{Exercice }2 \hfill 5 points}
 
\medskip

Un fermier souhaite réaliser un enclos rectangulaire pour des poules et des poussins, adossé à un mur de sa ferme afin d’économiser du grillage. Ainsi, il ne grillagera que 3 côtés de son enclos.

Il possède $28$~mètres de grillage. Il souhaite construire un enclos d’aire maximale.

On appelle $x$ la longueur du côté de l’enclos perpendiculaire au mur.

\begin{center}
\begin{pspicture}(7,3)
\psline(0,0)(5,0)\psline(1,1.2)(6,1.2)\psline(0,0)(1,1.2)\psline(5,0)(6,1.2)
\psline(0,0)(0,0.6)\psline(1,1.2)(1,1.8)\psline(5,0)(5,0.6)\psline(6,1.2)(6,1.8)
\psframe[fillstyle=crosshatch](5,0.6)\psline(0,0.6)(1,1.8)\psline(5,0.6)(6,1.8)
\psframe(0,1.2)(7,2.1)\pspolygon[fillstyle=crosshatch](0,0)(0,0.6)(1,1.8)(1,1.2)
\pspolygon[fillstyle=crosshatch](5,0)(5,0.6)(6,1.8)(6,1.2)
\psline[linestyle=dashed] {<->}(5.6,0)(6.5,1.2)
\uput[r](6,0.7){$x$}
\end{pspicture}
\end{center}

On appelle $\mathcal{A}$ la fonction qui à un nombre $x$ associe $\mathcal{A}(x)$ l’aire de l’enclos. La fonction $\mathcal{A}$ est ainsi définie sur 
l’intervalle $[0~;~14]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que l’aire $\mathcal{A}(x)=-2x^2+28x$.
\item Montrer que la forme canonique de $\mathcal{A}(x)$ est $-2(x-7)^2+98$.

\end{enumerate}
\item Quatre courbes ont été tracées sur le graphique ci-dessous. Identifier celle qui représente la fonction $\mathcal{A}$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.05cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-1,-2)(120,200)
\multido{\n=0+10}{12}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,190)}
\multido{\n=0+2}{58}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,190)}
\multido{\n=0+20}{10}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(114,\n)}
\multido{\n=0+4}{48}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=lightgray](0,\n)(114,\n)}
 \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=10,Dy=20,]{->}(0,0)(114,195)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{14}{x x mul  2 neg mul x 28 mul add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{14}{ x x mul  2 neg mul x 28 mul add neg 196 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{56}{84}{ x 56 sub x 84 sub  mul 0.5 neg mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{84.5}{111.5}{x 98 sub 2  exp 7 add}
\uput[r](12,54){\blue $\mathcal{C}_2$}\uput[r](12,154){\blue $\mathcal{C}_1$}\uput[r](52,34){\blue $\mathcal{C}_3$}\uput[r](104.5,54){\blue $\mathcal{C}_4$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Dresser le tableau de variation de la fonction $\mathcal{A}$.
\item Pour quelle valeur de $x$ l’aire de l’enclos est-elle maximale ? Donner la valeur de cette aire.
\end{enumerate}

\vspace{0.75cm}

 \textbf{\textsc{Exercice }3 \hfill (5 points)}
 
\medskip

Le plan est muni d’un repère orthonormé \Oij.

On considère les points A, B et C de coordonnées : A$(7~;~-2)$, B (7~;~4) et C (1~;~1).
\begin{enumerate}
\item Montrer que $y=1$ est une équation de la droite $(d_1)$ passant par C et perpendiculaire à (AB).
\item Que représente cette droite pour le triangle ABC ?
\item Donner une équation de la droite $(d_2)$, hauteur du triangle ABC issue du sommet B.
\item On appelle H le point d’intersection des droites $(d_1)$ et $(d_2)$.
Donner en justifiant la valeur du produit scalaire : $\vv{AH}\cdot \vv{CB}$.
\end{enumerate}


\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,labelsep=0.1pt,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-2,-4.5)(11,8)
 \multido{\n=-1+1}{13}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-4)(\n,7.5)}
 \multido{\n=-4+1}{12}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-1.5,\n)(11.2,\n)}
 \psaxes[linewidth=0.95pt]{->}(0,0)(-1.5,-4)(11,7.5)
\uput[dl](0,-0.2){\footnotesize O}\uput[l](6.8,-2){A}\uput[l](6.8,4){B}\uput[l](0.9,0.9){C}
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](1,1)(7,4)(7,-2)
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0.75cm}

 \textbf{\textsc{Exercice }4 \hfill (5 points)}
 
\medskip

La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d’ouvrir une médiathèque qui pourra contenir \np{100000} ouvrages au total. Pour l’ouverture prévue le 1\up{er} janvier 2020, la médiathèque dispose du stock de \np{35000} ouvrages de l’ancienne bibliothèque, augmenté de \np{7000} ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Chaque année, le bibliothécaire est chargée de supprimer 5\,\% des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et d’acheter \np{6 000} ouvrages neufs.

On appelle $u_n$ le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1\up{er} janvier de l’année (2020+$n$).

On donne $u_0 = 42$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Justifier que, pour tout entier naturel n, on a $u_{n+1} = u_n\times  0,95+6$.
\item On propose ci-dessous un programme en langage Python :
\begin{python}
def suite(n) :
u=42
for i in range(n) :
u=0.95*u+6
return u
\end{python}

Expliquer ce que permet de déterminer ce programme.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer que \np{4000} nouveaux ouvrages par an au lieu des \np{6000} prévus.

On appelle $v_n$ le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1\up{er} janvier de l’année (2020+$n$).

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On admet que $v_{n+1} = 0,95\times v_n + 4$ pour tout entier naturel $n\geqslant 0$ avec $v_0 = 42$.

On considère la suite $(w_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $w_n= v_n-80$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,95$ et préciser son premier terme $w_0$.
		\item En déduire l’expression de $w_n$ puis de $ v_n$ en fonction de $n$.

	\end{enumerate}
\item On donne ci-dessous un programme en langage Python.

\begin{center}
\begin{python}
def objet(A) :
v=42
n=0
while v<A :
v=0.95*v+4
n=n+1
return n 
\end{python}
\end{center}

L’appel à la fonction objet(70) renvoie 27. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
\end{enumerate}
\end{document}