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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
%Relecture : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 56}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no{} 2~\decofourright\\[6pt]Sujet 56 -- mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }1 \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Ce QCM comprend $5$ questions indépendantes.}

\emph{Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.}

\emph{Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse
choisie. Aucune justification n’est demandée.}

\emph{Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.}

\medskip

\textbf{QUESTION 1}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} Si le discriminant
d’un polynôme
du second degré
est strictement
positif, alors ce
polynôme admet
2 racines
positives.&
\textbf{b.~~} Si le discriminant
d’un polynôme
du second degré
est strictement
négatif, alors ce
polynôme admet
2 racines
négatives.&
\textbf{c.~~} Si un polynôme
du second degré
est toujours
strictement
positif, alors ce
polynôme
n’admet pas de
racine.&
\textbf{d.~~}Si le discriminant
d’un polynôme
du second degré
est nul, alors ce
polynôme admet
le nombre 0 pour
racine.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{QUESTION 2}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\begin{minipage}[t]{3.5cm}\textbf{a.~~}
L’équation

 $\cos x =-\frac{1}{2}$
admet 2 solutions dans l’intervalle
 $\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$.
\end{minipage}&
\begin{minipage}[t]{3.5cm}\textbf{b.~~}
 L’équation
 
$\cos x= -\frac{1}{2}$
admet 1
solution dans
l’intervalle $[0 ; \pi[$.
\end{minipage}&
 \begin{minipage}[t]{3.5cm}\textbf{c.~~}
L’équation

$\sin x = -\frac{1}{2}$ admet 1
solution dans
l’intervalle \mbox{$[0 ; \pi[$}.
\end{minipage}&
 \begin{minipage}[t]{3.5cm}\textbf{d.~~}
\L’équation

$\sin x= -\frac{1}{2}$ admet 2
solutions dans
l’intervalle $\left]-\frac{\pi}{2} ;\frac{\pi}{2}\right]$.
\end{minipage}
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{QUESTION 3}

\medskip

La courbe représentative d’une fonction $f$, définie et dérivable sur l’ensemble
des nombres réels, est donnée ci-dessous avec ses tangentes, aux points A
et B d’abscisses respectives 2 et 4. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm,labelFontSize=\scriptstyle,labelsep=0.1pt,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-3.5,-5.8)(9,7)
\multido{\n=-3+1}{13}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-4.5)(\n,6.2)}
\multido{\n=-4+1}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-3.5,\n)(9.2,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,]{->}(0,0)(-3.5,-4.5)(9.5,6.4)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](2,-2) \psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](4,-1)
\uput[dl](3.8,-1){B} \uput[dr](2,-2.1){A} 
\psplot[linewidth=1pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{-2.7}{5.7}{ x x x 0.125 neg mul 0.75 add mul 0.5 sub mul 3 sub }
\psplot[linewidth=1pt,linecolor=orange,plotpoints=3000]{-1}{9}{x  4 sub}
\psplot[linewidth=1pt,linecolor=amethyst,plotpoints=3000]{-3}{9}{x 0.5 neg mul 1  add}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $f(0) = 1$ &\textbf{b.~~} $f'(2) = 1$&\textbf{c.~~}$f'(2) = -2 $& \textbf{d.~~} $f'(4) = 0,5$.
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{QUESTION 4}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l’ensemble des nombres réels $\R$ par :
$g(x)= x^3 - \np{0,0012}x + 1$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $g$ est strictement
croissante sur~$\R$.&
\textbf{b.~~} $g$ est croissante
sur~$R$.&
\textbf{c.~~} $g$ est constante
sur l’intervalle
\mbox{$[- 0,02~;~0,02]$}.&
\textbf{d.~~} $g$ est
décroissante sur
l’intervalle
\mbox{$[- 0,02~;~0,02]$}.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{QUESTION 5}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}

\textbf{a.~~} L’équation
\mbox{$(\e^x)^2 = 1$} 
admet deux solutions
dans $\R$.

&\textbf{b.~~} L’ensemble de
définition de la
fonction
exponentielle est
\mbox{$]0~;~+ \infty[$}.

&\textbf{c.~~} La fonction
dérivée de la
fonction
$x\mapsto \e^{-x}$ est la
fonction $x \mapsto \e^{-x}$.

& \textbf{d.~~} L’ensemble de
définition de la
fonction
exponentielle est
$\R$.
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }2  \hfill 5 points}

\medskip

Lorsqu’il s’entraîne au tennis, Roger utilise un lance-balle.

Cette machine lance les balles soit sur le coup droit soit sur le revers du joueur.
On la remplit de balles et on la programme de la façon suivante : deux tiers des
balles seront lancées sur le coup droit du joueur, le reste sur son revers.
On s’intéresse à la réussite des frappes de Roger pendant une séance
d’entraînement.

\begin{description}
\item[]On note $D$ l'évènement : \og le joueur reçoit la balle sur son coup droit \fg.

\item[]On note $\overline{D}$ l’évènement contraire de l’évènement D.
\end{description}

Roger réussit $\dfrac{9}{10}$ de ses coups droits et 75\,\% de ses revers.

On note $S$ l'évènement : \og La frappe de Roger est un succès \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner $ p\left(\overline{D}\right)$.
\item Compléter l’arbre pondéré situé en \textbf{annexe 1} représentant la situation.
\item Calculer $p\left(\overline{D}\cap S\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
\item Montrer que la probabilité que la frappe de Roger soit un succès est égale à 0,85.
\item Sachant que la frappe que vient de réaliser Roger est un succès, calculer la probabilité que ce soit sur un revers. Arrondir l résultat au centième.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }3 \hfill 5 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \Oij. On considère le triangle OAB où O est l’origine du repère, A le point de coordonnées (8~;~0) et B celui de coordonnées (0~;~6).

On considère le point E, milieu du segment [AB].

La figure est donnée en \textbf{annexe 2}, elle sera complétée au fur et à mesure et sera rendue avec la copie.

On rappelle que dans un triangle, la médiane issue d’un sommet est la droite
passant par ce sommet et par le milieu du côté opposé et que le centre de gravité d’un triangle est le point de concours de ses trois médianes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer les deux (3 \emph{sic}) produits scalaires suivants :
	\begin{enumerate}
		\item $\vv{\text{OA}}\cdot\vv{\text{OB}}$
		\item $\vv{\text{OA}}\cdot\vv{\text{OE}}$
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que l’équation $1,5x + y - 6 = 0$ est une équation cartésienne de la médiane issue du point B dans le triangle OAB. Tracer cette médiane sur la figure annexe.
		\item Déterminer une équation de la médiane issue de O dans le triangle OAB.
		\item Déterminer les coordonnées du point G, centre de gravité du triangle OAB.
Placer le point G sur la figure annexe.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice }4 \hfill 5 points}
  
\medskip

En 2016, a été lancée une plate-forme de streaming par abonnement.

Le tableau suivant donne le nombre d’abonnés (en million) au 31 décembre de
chaque année de 2016 jusqu’en 2019.
\begin{center}
\begin{tabular}[]{|m{4.85cm}|*{4}{c|}}
\hline
Rang de l’année &1& 2& 3 &4\\\hline
31 décembre de l’année :& 2016& 2017& 2018& 2019\\\hline
Nombre d’abonnés (en millions) &12& 13,7& 15,8& 18,2\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Les responsables de cette plate-forme étudient l’évolution du nombre d’abonnés afin
d’adapter leurs investissements.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quelle a été en pourcentage l’évolution du nombre d’abonnés entre 2016 et
2017 ?
\item Expliquer pourquoi le taux moyen d’évolution par an entre 2016 et 2019,
arrondi au centième, est de 14,89\,\%.
\item On considère que le nombre d’abonnés a augmenté de 15\,\% par an à partir de
2016. On décide de modéliser ce nombre d’abonnés (en millions) par une
suite de premier terme 12.

Préciser la nature de cette suite et sa raison.
\item Quel sera selon ce modèle, le nombre d’abonnés au 31 décembre 2020 ?
\item Pour déterminer en quelle année, selon ce modèle, sera obtenu l’objectif de
40 millions d’abonnés, on a défini en langage Python la fonction Seuil ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabular}[]{|c|l|}
\hline
1& def Seuil():\\
2&  \hspace{1em}n=2016\\
3&  \hspace{1em}A=12\\
4&  \hspace{1em}while \ldots :\\
5&  \hspace{1em}\phantom{w}A= \dots\\
6&  \hspace{1em}\phantom{w}n=n+1\\
7&  \hspace{1em}return n\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Recopier et compléter les instructions 4 et 5 afin que ce programme fournisse
l’année où cet objectif sera atteint.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\textsc{Annexes} (à rendre avec la copie)}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Annexe} 1 (exercice 2)}

\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,levelsep =3cm,labelsep=0.51pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$D$~}\taput{$\frac{2}{3}$}}
	{
	\TR{$S$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{S}$}\tbput{$\dots$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{D}$~}\tbput{$\dots$}}
	{\TR{$S$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{S}$}\tbput{$\dots$}
	}
}
\end{center}

\vspace{2.5cm}

\textbf{\textsc{Annexe} 2 (exercice 3)}

\bigskip

\begin{center}
\psset{labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(7.5,9.5)
\pspolygon*[linewidth=1pt,linecolor=lightyellow,opacity=0.3](0,6)(8,0) 
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,7.2)}
\multido{\n=0+0.2}{48}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,7.2)}
\multido{\n=0+1}{8}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(9.35,\n)}
\multido{\n=0+0.2}{37}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](0,\n)(9.35,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,]{->}(0,0)(0,0)(9.5,7.4)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](4,3)(0,6)(8,0)
 \uput[ur](4,3){E} \uput[ur](8,0){A} \uput[ur](0,6){B} 
\psline(0,6)(8,0)
\psset{arrowscale=2}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=darkgray]{->}(0,0)(0,1)\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=darkgray]{->}(0,0)(1,0)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vv{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vv{\jmath}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}