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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 57}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no{} 2~\decofourright\\[6pt]Sujet 57 -- mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }1 \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Ce QCM comprend 5 questions indépendantes.}

\emph{Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.}

\emph{Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse
choisie. Aucune justification n’est demandée.}

\emph{Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de
réponse n’apporte ni ne retire de point.}

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip

Dans un repère orthonormé, on considère la parabole $\mathcal{P}$ d’équation $y = 2x^2 + 4x - 11$, de
sommet S et d’axe de symétrie la droite $\mathcal{D}$. Quelle est la bonne proposition ?

\begin{description}
\item[A.~~] S$(-4~;~5)$ et $\mathcal{D}$ a pour équation $y = 5$.
\item [B.~~] $S (-1~;~-17)$ et $\mathcal{D}$ a pour équation $x = -1$.
\item[C.~~] $S (-1~;~-13)$ et $\mathcal{D}$ a pour équation $x = -1$.
\item [D~~.] $S (-1~;~-13)$ et $\mathcal{D}$ a pour équation $y = -1$.
\end{description}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip

Une expérience aléatoire met en jeu des évènements $A$ et $B$ et leurs évènements contraires
$\overline{A}$ et $\overline{B}$. L’arbre pondéré ci-dessous traduit certaines données de cette expérience aléatoire.

On a alors :
\begin{multicols}{2}
\begin{description}
\item[A.~~]$ p(B) = 0,5$
\item[B.~~]$p(A \cap B) = 0,9$
\item[C.~~]$p_A(B)  = 0,18$
\item[D.~~]$p_B(A) =  \dfrac{9}{13}$
\end{description}
\begin{minipage}[t]{4.5cm}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt,levelsep=2.5cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~}\taput{$\np{0,6}$}}
	{
	\TR{$B$}\taput{$\np{0.3}$}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{$\np{0.7}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A}$~}\tbput{$\np{0,4}$}}
	{\TR{$B$}\taput{$\np{0,2}$}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{$\np{0,8}$}
	}
}
\end{minipage}
\end{multicols}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip

On considère le nombre réel $a = \dfrac{18\pi}{5}$.


Un des nombres réels suivants a le même point image que le nombre réel $a$ sur le cercle
trigonométrique. Lequel ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $\dfrac{3\pi}{5}$ &\textbf{B.~~} $\dfrac{63\pi}{5}$&\textbf{C.~~}$\dfrac{-12\pi}{5}$& \textbf{D.~~}$\dfrac{-3\pi}{5}$
\end{tabularx}


\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x\e^x$.

La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f'$. On a alors :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $f'(x) = \e^x$ &\textbf{B.~~} $f'(x) = (1 + x)\e ^x $&\textbf{C.~~}$f'(x) = x\e^x$& \textbf{D.~~} $f'(x) = 2x\e^x$.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip

Parmi les relations suivantes, quelle est celle qui permet de définir une suite géométrique de
terme général $u_n$ ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $u_n =\dfrac{u_{n-1}}{2}$ &\textbf{B.~~} $u_n = u_{n-1} + 2$&\textbf{C.~~}$ u_ n = 2u_{ n-1}^2$& \textbf{D.~~} $u_n = 2u_{n-1} + 10$.
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

 \textbf{\textsc{Exercice }2 \hfill 5 points}
  
\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x -63$.
On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f'(x)$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$.
\item Établir le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
\item Justifier que la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $-1$ est la droite $\mathcal{D}$ d’équation
$y= -64$.
\item Déterminer en quels points de la courbe $\mathcal{C}$ la tangente à la courbe est parallèle à la droite
d’équation $y = 3x - 100$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }3 \hfill 5 points}

\medskip

Pour placer un capital de \np{5000} euros, une banque propose un placement à taux fixe de 5\,\%
par an. Avec ce placement, le capital augmente de 5\,\% chaque année par rapport à l’année
précédente. Pour bénéficier de ce taux avantageux, il ne faut effectuer aucun retrait
d’argent durant les quinze premières années.

On modélise l’évolution du capital disponible par une suite $\left(u_n\right)$. On note $u_n$ le capital
disponible après $n$ années de placement.

On dépose \np{5000} euros le 1\up{er} janvier 2020. Ainsi $u_0 = \np{5000} $.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $u_2 = \np{5512,5}$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Préciser son premier terme et sa raison.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Justifier que le capital aura doublé après $15$ années de placement.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }4 \hfill 5 points}

\medskip

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points A$(-2~;~1)$, B$(1~;~2)$ et
E$(0~;~-5)$. 

On appelle $\mathscr{C}$ le cercle de centre A passant par B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier qu’une équation du cercle $\mathscr{C}$ est $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 10.$
\item Calculer $\vv{AB}\cdot\vv{AE}$.
\item Que peut-on en déduire pour les droites (AB) et (AE) ?
\item Déterminer une équation cartésienne de la droite (AE).
\item Calculer les coordonnées des points d’intersection de (AE) et du cercle $\mathscr{C}$.
\end{enumerate}
\end{document}