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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 58}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no{} 2~\decofourright\\[5pt]Sujet 58 mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }1 \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Ce QCM comprend $5$ questions indépendantes.}

\emph{Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.}
 
\emph{Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse
choisie. Aucune justification n’est demandée.}

\emph{Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une absence de
réponse n’apporte ni ne retire de point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$, $\e^{2x}+\e^{4x}$ est égal à

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\e^{6x}$ &\textbf{b.~~} $\e^{2x}(1+\e^{2})$&\textbf{c.~~}$\e^{3x}(\e^{x}+\e^{-x})$& \textbf{d.~~} $\e^{8x^2} $.
\end{tabularx}

\item Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère les vecteurs $\vv{u}(-5~;~2)$ et \mbox {$\vv{v}(4~;~10)$} et la droite (d) d'équation : $5x + 2y + 3 = 0$.

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\vv{u}$ et $\vv{v}$  sont colinéaires &\textbf{b.~~} $\vv{u}$ est un vecteur normal à la droite (d) &\textbf{c.~~} $\vv{u}$ et $\vv{v}$  sont orthogonaux& \textbf{d.~~} $\vv{u}$ est un vecteur directeur de (d) .
\end{tabularx}

\item La dérivée $f'$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(2x-1)\e^{-x}$  est : 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}  $2x\e^{-x}$ &\textbf{b.~~}$-2x\e^{-x}$ &\textbf{c.~~}$(-2x+3)\e^{-x}$& \textbf{d.~~}$2\e^{-x}+(2x-1) \e^{-x}$  .
\end{tabularx}

\item Pour tout réel $x$, on a $\sin(\pi+x)=$

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $-\sin (x)$ &\textbf{b.~~} $\cos (x)$&\textbf{c.~~}$\sin (x)$& \textbf{d.~~} $-\cos (x)$ .
\end{tabularx}
\smallskip

\begin{multicols}{2}
 \item Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative est donnée ci-contre. La tangente à la courbe au point A est la droite T.


\psset{unit=0.95cm,labelFontSize=\scriptstyle,labelsep=0.1pt,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-1.5,-2.8)(3.5,3.5)
\multido{\n=-1+1}{8}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-2.1)(\n,3.2)}
\multido{\n=-2+1}{6}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-1.1,\n)(6.1,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,]{->}(0,0)(-1.2,-2.2)(6.1,3.3)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](0,3) 
\uput[dl](0,0){O} \uput[dr](0.2,3.2){A} \uput[u](1.7,-2){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[d](0.5,-1.1){\red T}
%\pscurve[linewidth=0.45pt,linecolor=blue,plotpoints=5000](0,3)(0.9,0)(1,-0.2)(2,-1.6)(3,-1.7)(4,-1.5)(5,-1.3)(5.9,-1)
\psplot[linewidth=1pt,linecolor=red,plotpoints=3000]{0}{1}{x 5 neg mul 3 add}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=2000]{-0.1}{6}{0.9 x sub 2.71828 x 0.5 mul exp div 3.333 mul}
\end{pspicture}
\end{multicols}

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$f'(0)=3$  &\textbf{b.~~}$f'(0)=\frac{1}{5}$  &\textbf{c.~~}$f'(0)=5$& \textbf{d.~~}$f'(0)=-5$.
\end{tabularx}
 
\end{enumerate}

\vspace{0.75cm}

\textbf{\textsc{Exercice }2 \hfill 5 points}

\medskip

La population d’une ville A augmente chaque année de 2\,\%. La ville A avait \np{4600} habitants en 2010.

La population d’une ville B augmente de $110$ habitants par année. La ville B avait \np{5100} habitants en 2010.

Pour tout entier $n$, on note $u_n$ le nombre d'habitants de la ville A et $v_n$ le nombre d'habitants de la ville B à la fin de l'année $2010+n$.

\begin{enumerate}
\item  Calculer le nombre d'habitants de la ville A et le nombre d'habitants de la ville B à la fin de l’année 2011.
\item Quelle est la nature des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ ?
\item Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$ et calculer le nombre d’habitants de la ville A en 2020.
\item Donner l'expression de $v_n$ fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$ et calculer le nombre d’habitants de la ville B en 2020.
\item Reproduire et compléter sur la copie l'algorithme ci-dessous qui permet de déterminer au bout de combien d’années la population de la ville A dépasse celle de la ville B.

\begin{center}
\begin{tabular}[]{|l|}
\hline
def année ():\\
\hspace{0.6em} u =4600\\
\hspace{0.6em} v =5100\\
\hspace{0.6em} n =0\\
\hspace{0.6em}while ... :\\
\hspace{1em} u =...\\
\hspace{1em} v =...\\
\hspace{1em} n =...\\
return n\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}
\vspace{0.75cm}

 \textbf{\textsc{Exercice }3 \hfill 5 points}
  
\medskip

Soit $h$ la fonction définie sur $[-6~;~26]$ par :
\[h(x)=-x^3+30x^2-108x-490.\]

\begin{enumerate}
\item  Soit $h'$ la fonction dérivée de $h$. Exprimer $h'(x)$ en fonction de $x$.
\item On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $h$ et $\mathcal{C}'$ celle de $ h'$.
\begin{enumerate}
\item  Identifier $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ sur le graphique orthogonal ci-dessous parmi les trois courbes $\mathcal{C}_1$,$\mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$ proposées.
\item Justifier le choix pour $\mathcal{C}'$.
\end{enumerate}

\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.003cm,labelFontSize=\scriptstyle,labelsep=0.1pt}
\begin{pspicture}(-11,-800)(35,1625)
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=2,Dy=200]{->}(0,0)(-10,-800)(31.5,1625)
\def\Func{ x x x neg 30 add mul  108 sub  mul 490 sub }
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-6}{26}{\Func}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-6}{26}{x x 3 neg mul 60 add mul 108 sub}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=2pt,linecolor=blue, linestyle=dotted]{-6}{26}{x x 3  mul 60 sub mul 108 add}
\uput[ul](26.5,640){$\mathcal{C}_3$} \uput[u](12.,940){$\mathcal{C}_2$} \uput[ur](-6,-450){$\mathcal{C}_1$}
\end{pspicture}
\item Soit ($\mathcal{T}$) la tangente à $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse 0. Déterminer son équation réduite.
\item Étudier le signe de $h'(x)$ puis dresser le tableau de variation de la fonction $h$ sur $[-6~;~26]$. 
\end{enumerate}

\emph{\footnotesize L'intervalle d'études a été changé  car les graphiques ne correspondaient pas aux intervalles donnés $[0~;~26]$ ou $[0~;~30]$}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice }4 \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise qui fabrique des aiguilles dispose de deux sites de production, le site A et le site B. Le site A produit les trois-quarts des aiguilles, le site B l’autre quart. Certaines aiguilles peuvent présenter un défaut. Une étude de contrôle de qualité a révélé que :
\begin{itemize}
\item 2\,\% des aiguilles du site A sont défectueuses ;
\item 4\,\% des aiguilles du site B sont défectueuses.
\end{itemize}
Les aiguilles provenant des deux sites sont mélangées et vendues ensemble par lots.

On choisit une aiguille au hasard dans un lot et on considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item $A$ : l’aiguille provient du site A ;
\item $B$ : l’aiguille provient du site B ;
\item $D$ : l’aiguille présente un défaut.
\end{itemize}

L’évènement contraire de $D$ est noté $\overline{D}$

\medskip

\begin{minipage}[]{7cm}
\begin{enumerate}
\item D’après les données de l’énoncé, donner la valeur de la probabilité de l’évènement $A$ que l’on notera $p(A)$.
\item Recopier et compléter sur la copie l'arbre de probabilités ci-dessous en indiquant les probabilités sur les branches.
\item Quelle est la probabilité que l’aiguille ait un défaut et provienne du site A ?
\item Montrer que $p(D)=0,025$.
\item Après inspection, l’aiguille choisie se révèle défectueuse. Quelle est la probabilité qu’elle ait été produite sur le site A ?
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hspace{10em}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~~}\taput{$\dots$}}
	{
	\TR{$D$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{D}$}\tbput{$\dots$}
	}
\pstree{\TR{$B$~~}\tbput{$\dots$}}
	{\TR{$D$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{D}$}\tbput{$\dots$}
	}
}

\end{document}