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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Première série générale}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{2020}}
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\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat Première  Métropole-La Réunion~\decofourright\\[6pt]série générale e3c \no 5 année 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - Première générale}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée mais il peut être nécessaire d'effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire de point.

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \sin(x) - x$. 

Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie  ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$f$ est paire&\textbf{b.~~}$f$ est impaire&\textbf{c.~~}Pour tout réel $x$,\: $f(x +2\pi) = f(x)$&\textbf{d.~~}Pour tout réel $x$,\: $f(x +\pi) = - f(x)$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip

Dans l'intervalle $]-\pi~;~\pi]$, l'équation $2 \cos(x) - \sqrt{3} = 0$ a pour solutions :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$- \frac{\pi}{6}$ et $\frac{\pi}{6}$&\textbf{b.~~}$- \frac{\pi}{4}$ et $\frac{\pi}{4}$&\textbf{c.~~}$- \frac{\pi}{3}$ et $\frac{\pi}{3}$&\textbf{d.~~}$- \frac{2\pi}{3}$ et $\frac{2\pi}{3}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip

\parbox{0.65\linewidth}{Soit ABCD un parallélogramme tel que :

AB $= 3$, AD $= 4$ et $\widehat{\text{BAD}} = \dfrac{\pi}{3}$.

Alors $\vect{\text{DA}} \cdot  \vect{\text{DC}}$ est égal à :} \hfill
\parbox{0.33\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(4.5,3)
\pspolygon(0,0)(4,0)(5.5,2.6)(1.5,2.6)%ADCB
\uput[dl](0,0){A}\uput[dr](4,0){D}\uput[ur](5.5,2.6){C}\uput[ul](1.5,2.6){B}
\psarc(0,0){0.6}{0}{60}
\rput(0.8,0.5){$\frac{\pi}{3}$}
\end{pspicture}}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$12$&\textbf{b.~~}$- 12$&\textbf{c.~~}$6$&\textbf{d.~~}$- 6$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij.

On considère la droite $\left(d_1\right)$ d'équation $3x - 4y + 1 = 0$. La droite $\left(d_2\right)$ perpendiculaire à $\left(d_1\right)$ et passant par le point A(1~;~1) a pour équation :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$4x + 3y = 0$&\textbf{b.~~}$4x + 3y - 7 = 0$&\textbf{c.~~}$x + y - 2 = 0$&\textbf{d.~~}$-4x + 3y + 1 = 0$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip
Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij. Les droites $(d)$ et $\left(d'\right)$ d'équations respectives $2x - y + 5 = 0$ et $-4x + 2y + 7 = 0$ sont:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}confondues&\textbf{b.~~}sécantes&\textbf{c.~~}parallèles&\textbf{d.~~}perpendiculaires\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au dix millième.}

\medskip

On étudie un test de dépistage pour une certaine maladie dans une population donnée. On sait que 1\,\% de la population est atteint de la maladie. Des études ont montré que si une personne est malade, alors le test se révèle positif dans 97\,\% des cas et si une personne n'est pas malade, le test est négatif dans 98\,\% des cas.

Pour une personne à qui on fait passer le test de dépistage on associe les évènements :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $M$ : la personne est malade,
\item[$\bullet~~$] $T$ : le test est positif.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter sur la copie l'arbre de probabilité suivant en utilisant les données de l'exercice.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$M~~$}}
	{\TR{$T~~$}
	\TR{$\overline{T}~~$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{M}~~$}}
	{\TR{$T~~$}
	\TR{$\overline{T}~~$}
	}
}
\end{center}


\item Justifier que $P\left (\overline{M} \cap T\right ) = \np{0,0198}$.
\item Montrer que  $P(T) = \np{0,0295}$.
\item Calculer $P_T(M)$.
\item Une personne dont le test se révèle positif est-elle nécessairement atteinte par cette maladie?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

On s'intéresse à la consommation d'essence d'un véhicule en fonction de sa vitesse.

\medskip

\textbf{Lecture graphique}

Le graphique ci-dessous représente la consommation d'essence en litres pour $100$~km en fonction de la vitesse en km.h$^{-1}$ du véhicule.

\begin{center}
\psset{xunit=0.08cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-5,-1)(135,16)
\multido{\n=0+5}{28}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,14)}
\multido{\n=0+1}{15}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(135,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(135,15)
\uput[r](0,15){consommation en litres pour 100 km}
\uput[u](120,0){vitesse en km.h$^{-1}$}
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](30,11)(35,7)(40,5)(45,4.1)(50,4)(55,4.1)(60,4.4)(65,4.85)(70,5.15)(75,5.85)(80,6.1)(85,6.4)(90,7.06)(95,7.6)(100,8)(105,8.3)(110,8.9)(115,9)(120,9.25)(125,9.85)(130,10)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{30}{130}{x dup mul 20 mul 1600 x mul sub 40000 add x dup mul div}
\end{pspicture}
\end{center}

Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes:

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la consommation du véhicule lorsque celui-ci roule à 40 km.h$^{-1}$ ?
\item Pour quelle(s) vitesse(s) le véhicule consomme-t-il 8 litres pour 100 km ?
\item Pour quelle vitesse la consommation du véhicule semble-t-elle minimale ?
\end{enumerate}

\textbf{Modélisation}

\medskip

Si on note $x$  la vitesse du véhicule en km.h$^{-1}$, avec $30 \leqslant x \leqslant 130$, la consommation d'essence en litres pour 100 km est modélisée par la fonction $f$ d'expression :

\[f(x) = \dfrac{20x^2  - \np{1600}x + \np{40000}}{x^2}.\]

On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [30~;~130].

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que pour tout $x \in [30~;~130],$

\[f'(x) = \dfrac{800\left (2x - 100\right )}{x^3}.\]

\item Démontrer la conjoncture de la question 3.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $u_n = \dfrac{n+2}{n+1}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_0$,\, $u_1$,\,$u_2$ puis $u_{99}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_n - 1$ en fonction de $n$.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a :
		
\[u_{n+1} - u_n = \dfrac{- 1}{(n+1)(n+2)}.\]

		\item En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item Soit $a$ un nombre réel dans l'intervalle ]1 ~;~2].

Recopier et compléter sur la copie le programme Python suivant pour qu'il permette de déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n \leqslant a$, où $a$ est un nombre de l'intervalle ]1~;~2].

\begin{center}
\begin{python}
Def seuil(a) :
	n = 0
	while (n+2) / (n+1) ... a : 
		n = ...
	return ... 
\end{python}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}