\documentclass[10pt,a4paper,french]{article}
\usepackage{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{mathtools}% fleqn sans effet après asmmath  aignement à gauche  
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amstext ,mathrsfs}
\usepackage[psamsfonts]{eucal}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{multirow,multicol}
\usepackage[euler]{textgreek}
\usepackage{textcomp,enumitem}
\usepackage[table,dvips]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pythonhighlight}
\usepackage{listings}[frame=none]
%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pst-func,pst-3d,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3cm, right=3cm, top=1.9cm, bottom=2.4cm]{geometry}
\usepackage{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {épreuve de contrôle continu},
pdftitle = {e3c},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\definecolor{aliceblue}{rgb}{0.94, 0.97, 1.0}
\definecolor{amethyst}{rgb}{0.6, 0.4, 0.8}
\definecolor{lightyellow}{rgb}{1.0, 1.0, 0.88}
\usepackage[np]{numprint}
\renewcommand\arraystretch{1.3}
\newcommand{\e}{\text{e}}
%\frenchbsetup{StandardLists=true}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 62}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no 2~\decofourright\\[5pt]Sujet 62 mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }1 \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Ce QCM comprend 5 questions indépendantes.}

\emph{Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.}

\emph{Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse
choisie. Aucune justification n’est demandée.}

\emph{Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une absence de
réponse n’apporte ni ne retire de point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $c$ un nombre réel strictement supérieur à 1. Sur l’ensemble des nombres réels, la
fonction polynôme $f$ définie par $f(x) = x^2 + 2x + c$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}  change de signe exactement 2 fois &\textbf{b.~~}change de signe exactement une fois &\textbf{c.~~}est toujours positive& \textbf{d.~~}est toujours négative .
\end{tabularx}
\end{center}
\item Si $x$ est un nombre réel appartenant à l’intervalle $[ - \pi ; 0] $ tel que $\cos x =\frac{3}{5}$
 alors $\sin x$ a pour valeur 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{4}{5}$ &\textbf{b.~~} $-\dfrac{4}{5}$&\textbf{c.~~}$ -\dfrac{2}{5}$& \textbf{d.~~}On ne peut pas savoir .
\end{tabularx}
\end{center}

\item Le quadrilatère ABCD est un carré. On a :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\vv{AB}\cdot\vv{AD}= 0$ &\textbf{b.~~} $\vv{AB}\cdot\vv{AC}= 0$&\textbf{c.~~}$ \vv{AB}\cdot\vv{AB}= 0$& \textbf{d.~~} $\vv{AB}\cdot\vv{DC} = 0$.
\end{tabularx}
\end{center}


\item La droite d’équation $2x - y + 1 = 0$ coupe l’axe des abscisses au point A de
coordonnées :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $A(0~;~1)$ &\textbf{b.~~} $A\left(\frac{1}{2}~;~0\right)$&\textbf{c.~~}$A(0~;~- 1)$& \textbf{d.~~} $A(-\frac{1}{2}~;~0)$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item Pour tout réel $x$, $\frac{\e^x}{ \e^{-x}}$ est égal à

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $- 1$ &\textbf{b.~~} $ \e^{-2x}$&\textbf{c.~~}$(\e^x)2$& \textbf{d.~~}$\e^0$.
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }2 \hfill 5 points}

\medskip

Un biologiste étudie une population de bactéries dans un milieu fermé. À l’instant initial, il y a \np{10 000} bactéries et la population augmente de 15\,\% par heure.

On modélise la situation par une suite $(u_n)$ pour laquelle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente une estimation du nombre de bactéries au bout de $n$ heures.
On a donc $u_0= \np{10000}$.
\begin{enumerate}
\item  Expliquer pourquoi la suite $\left(u_n\right)$ vérifie pour tout entier naturel $n$ :

$u_n=\np{10 000} \times 1,15^n$.
\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$. On précisera le premier terme et la raison.
\item Combien y aura-t-il de bactéries au bout de 10 heures ?
\item On considère la fonction suivante définie en langage Python.

\begin{python}
def bacteries(N) :
u=10000
	for i in range(N) :
u=u*1.15
	return u
\end{python}

On a appelé cette fonction en donnant différentes valeurs au paramètre $n$ et l’on a dressé le tableau suivant.

\begin{center}
\begin{tabular}[]{|m{7em}|*{4}{c|}}\hline
$n$ &10&  100& \np{1 000}& \np{10 000}\\\hline
Bactéries (N)& \np{40 455} &$1,2 \times 10^{10}$ &  $4,99 \times 10^{64}$ & $3,052 \times 10^{307}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Quelle interprétation peut-on donner de ces résultats dans le contexte de l’exercice ?
\item Lorsque la population atteint \np{200000} bactéries, le biologiste répand un désinfectant afin de tester son efficacité. Une heure plus tard, il reste \np{4000}  bactéries. Quel est le pourcentage de diminution du nombre de bactéries ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }3 \hfill 5 points}

\medskip

Claire joue régulièrement à un jeu de simulation de tournois de judo en ligne. Les
adversaires qu’elle combat sont générés automatiquement de manière aléatoire selon le
niveau atteint dans le jeu.

Elle a atteint le niveau le plus élevé, celui de la ceinture noire. Les scores relevés par le jeu
montrent qu’elle gagne dans 45\,\% des cas si son adversaire est ceinture noire et dans 70\,\%
si son adversaire n’est pas ceinture noire.

Claire commence un tournoi et un premier adversaire est généré par le jeu. À ce niveau la
probabilité d’affronter un adversaire ayant une ceinture noire est 0,6.

On note :

\begin{itemize}
\item $N$ l’évènement : \og l’adversaire est ceinture noire \fg{} ;
\item $G$ l’évènement : \og Claire gagne le combat \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous modélisant cette situation.

\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.5,labelsep=0.1pt,levelsep=2.5cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$N$~}\taput{}}
	{
	\TR{$G$}\taput{}
	\TR{$\overline{G}$}\tbput{}
	}
\pstree{\TR{$\overline{N}$~}\tbput{}}
	{\TR{$G$}\taput{}
	\TR{$\overline{G}$}\tbput{}
	}
}
\end{center}

\item Calculer la probabilité que l’adversaire soit ceinture noire et que Claire gagne son
tournoi.
\item Montrer que la probabilité que Claire gagne son combat est $0,55$.
\item Claire vient de perdre un combat. Quelle est la probabilité que le combat ait été
contre une ceinture noire ?
\item On considère dans cette question que la probabilité que Claire gagne est $0,55$. Elle
fait deux combats successifs.

On note $X$ la variable qui compte le nombre de victoires.
Donner la loi de probabilité de $X$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }4 \hfill 5 points}

\medskip

On modélise la valeur de vente (en milliers d’euros) d’une voiture électrique en fonction du
nombre $x$ d’années à partir de sa mise sur le marché par la fonction $f$ définie sur l’intervalle
[0~;~10] par

\[f(x) = 35\e^{-0,22x} .\]

\smallskip
\begin{enumerate}
\item Calculer $f(0)$. Quel est le prix de vente de cette voiture au moment de la mise sur le
marché ?
\item Donner une valeur approchée du prix de vente au bout de $5$ ans et $6$ mois.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable et on note $f'$ sa fonction dérivée. Montrer
que pour tout $x$ appartenant à [0~;~10], $f'(x) = - 7,7\e^{- 0,22x}$.
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
\item Un client souhaite revendre sa voiture dès que celle-ci aura un prix de vente inférieur
à \np{10000} euros. Après combien de mois après avoir acheté sa voiture pourra-t-il la
revendre ?
\end{enumerate}
\end{document}